双曲线讲义教师版

1、一、双曲线知识点总结：1.双曲线的泄义（1）第一泄义：当IIWJ IP竹11=21片坊I时,P的轨迹不存在;当1刊-|“2|1=2心尸2|时，P的轨迹为亘斤、&为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平而内到立点F与泄直线/（泄点F不在泄直线/上）的距离之比是常数e（1）的点的 轨迹为双曲线2.双曲线的标准方程与几何性质标准方程匚一=1(以0) cr b-2 2二-件=1(恥0) cr b性质焦点(c,0), (-u0),(0,c),(0r)焦距2(范碉1 x l a. y e 7?1 y l a.x e R顶点(d,0), (-a.O)(0r),(0Q对称性关于X轴.y轴和原点对称离心率= G(

2、l.-KC) a准线丄cy = c渐近线bX =+ xay = + x b与双曲线二-二=1共渐近线的双曲线系方程为：4-4=） tr lr与双曲线*-*“共純的双曲线为存沪】 等轴双曲线，-严=启的渐近线方程为y = x ,离心率为e = Ji；1 注意左义中“陷阱 问题1：已知刁（一5,0）迅（5,0）, 一曲线上的动点P到斥，场距离之差为6,则双曲线的方程为2.注意焦点的位置3问题2：双曲线的渐近线为y = -x,则离心率为2二、双曲线经典j型:1. 定义题：1.某中心接到英正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正四、正北两个观测点同时听到 了一声巨响，正东观测点听到的时间比苴他两观测点

3、晚4s.已知观测点到该中心的距离 都是1020m.试确左该巨响发生的位豊.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均 在同一平而上)【解题思路】时间差即为距离差，到两立点距藹之差为左值的点的轨迹是双曲线型的.解析如图，以接报中心为原点0,正东.正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设 A、B. C 分别是西、东、北观测点，则 A (-1020, 0), B (1020, 0), C (0, 1020)设P(x,y)为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA = PC ,故P在AC的垂直平分 线P0上，P0的方程为y二一X,因B点比A点晚4s听到爆炸声，故PB 一 PA =3

4、40X4=1360 由双曲线泄义知P点在以A. B为焦点的双曲线依题意得圧680, c二1020,:.b2=c2-a2=0202 -6802 =5x3402 故双曲线方程为厶-上一=1 68025 x 3402用 y=-x 代入上式，得x = 6805 , T PB|PA ,. x = -680 V5, y = 680EPP(-680 F|+|7 F|F|-P4F-P5F-P6F 的值是() A9 B16 C18D27解析|AF|&F| = |F|EF|=EF|RF|=6,选c4. P是双曲线二一= 10上0)左支上的一点，U氏分别是左.右焦点.且焦距a b为2c,则APF.F,的内切圆的圆心

5、的横坐标为()(A) -(B) -b (C) -c (D) a + b-c解析设APF.F,的内切圆的圆心的横坐标为由圆的切线性质知，- P斥=1C 一 I -1 - (c) 1= 2a =X()= -a22 2 25. 若椭圆+ = (in n A 0)与双曲线二一 2_ = 1a b A 0)有相同的焦点F“ F“mnabP是两条曲线的一个交点，则PFJPFJ的值是()A. m -aB. -(m-a)C. m2 - a2D. yfm -y/a【解析】椭圆的长半轴为皿.丹;| +坊| = 2丽(1)双曲线的实半轴为 用-|昭| = 2需(2)(1)2_(2门4|/7讣|昭| = 4(加_町=

6、用月=川_故选A.2. 求双曲线的标准方程2 21已知双曲线C与双曲线二一匚二1有公共焦点，且过点(3/2 , 2).求双曲线C的方程.164【解题思路】运用方程思想，列关于ubc的方程组解析解法一：设双曲线方程为亠一 7V=1.由题意易求匚2頁.又双曲线过点(3运， a /r(3 血)242), 、一二二 1 旷b1又:詁4 (25 ) 子二12,歹二8.故所求双曲线的方程为二一匚二112 82r解法二：设双曲线方程为一 - =b16 _k 4 + R 2 2将点(3迈，2)代入得Ft所以双曲线方程为匚一?=11Z o2. 已知双曲线的渐近线方程是y = |,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此

7、双曲线的方程为:解析设双曲线方程为F-4/=2,当20时，化为于乡=1, .2=10.:兄=20,422I c)当兄 - 2、一- = 102 = 20 ,-2Y 442 2 2 2综上，双曲线方程为=1或=12055203. 以抛物线),2 = 8y/3x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是X Av = 0的双曲线方程为解析抛物线2 =的焦点F为(2、你,0),设双曲线方程为F3b=几，/I 222/. = (2)2 ;.2 = 9,双曲线方程为乂一22 = 13934 已知点M(3,0), N(3,0), 3(1,0),动圆C与直线MN切于点B ,过M . N与圆C 相切的两直线相交于点P,则

8、P点的轨迹方程为2 2A. %2- = l(x 1)8 8c.宀” 0)解析PM PN=BM BN = 2, P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲 线的右支，选B3. 与渐近线有关的问题2 21若双曲线二-二=10上0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 6T b，率为（）A. y2B. V3C. 75D. 2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素沟通a.bc的关系1 -解析焦点到渐近线的距离等于实轴长，故b = 2a、X =. = + . = 5,所以e = aa【需师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程2.双曲线罕-

9、再一1的渐近线方程是（）492 439A y = xB y = xC y = xD y = x3 924解析选C3.焦点为（0, 6）,且与双曲线4-r =有相同的渐近线的双曲线方程是（）A一=1B-=1 C-=1D=11224122424122412解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方而考虑，选B4.过点（1, 3）且渐近线为y = -x的双曲线方程是2V-2【解析】设所求双曲线为一一y2 =k（1）4 ”135点3）代入二亠-亍代入:354y2 x2即为所求.I PFX 1:1 PF21=3:2,则 HPFF：的而积为()【评注】在双曲线升齐中,令二-二=0 =丄上=0即为其渐近

10、线根据这 cr lra b-点，可以简洁地设待求双曲线为屮-器而无须考虑其实、虚轴的位置.4几何 1设P为双曲线x2- = 1上的一点，斥，巧是该双曲线的两个焦点，若A. 6/3B12C. 123D. 24【解析】双曲线的实.虚半轴和半焦距分别是：a = 2屈c = E设：用=3 匚|P列=2 厂.|P| = 2d = 2,. = 2.于是可=6,月=4.玳+巧|2=52 =応巧，故知是直角三角形，ZFxP 290 .=|*| = |x6x4 = 12.选 B.5.求弦1 双曲线x2-y2 = 1的一弦中点为（2, 1）,则此弦所在的直线方程为（）A. y = 2x 1B. y = 2x 2C

11、. y = 2x 3D. y = 2x +3【解析】设弦的两端分别为人（）3也 儿）.则有:y,-y2 _ xt+x2弦中点为（2, 1）,x +x. =41 -故直线的斜率&=11 + =2则所求直线方程为：y-l = 2（x-2）=y = 2x-3,故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要 有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：2.在双曲线x2- = 上，是否存在被点M （1, 1）平分的弦如果存在，求弦所在的直线 2方程：如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【正