空间向量与立体几何3空间向量的数量积运算

1、3 1.3 空间向量的数量积运算知识点一求求两向量的数量积 如图所示，已知正四面体 O-ABC 的棱长为 a， r uuur| = |解 uuur CA = 120 uuur ABuuur = AB = a2cos120uuur OC uuur OAuuurCAuuur uuurAB （ OA uuur uuurAB CA , a2cos120 0uuur uuur uuurAO | = a，且 AB ，AO = 120uuur， AB反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如 uuur uuur AB ，AC 60时， AB ，CA 120.已知长方体 ABCDA1

2、B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为 AB1的中点，F为 A1D1的中u点uru，试计uu算uur：1)BC uuur ED1 ； uuur2)BF AB1 ；uuuruuuur3)EF FC1 .uuur 解 如图所示，设 AB a，ADb，AA1c，则 |a| |c |2， |b| 4， ab bc ca0.1）（2）3）uuru uuuur 1 BC ED1 = b （c a ）+b= | b |2 = 42 = 16 .2 uuur uuur 1 BF AB1= （c a + b ）（ a + c ）= | c |2 | a |2 = 2222 = 0.2 uuur uuuur

3、1 1 1 1 1 1 2 1 2 EF FC1 = 2（ca）2b （2ba）2（abc） （2ba） 2|a|2 4|b|22.知识点二 利用数量积求角如图，45， OAB 60，在空间四边形 OABC 中， OA8，AB6，AC4，BC5， OAC 求 OA 与 BC 所成角的余弦值uuur 解 . 因 BC uuuruuurAC uuru 所以 OA BCuuur uuur=|OA |AC |cos=8 4cos13516 2 24,uuur AB , uuur OA uuur， AC uuurACuuurOA86cos120uuurOAuuAurB OA | | ABuuur uuu

4、r| cos OA , AB uuur所以 cos OA,uBuCru=OABC|OA|BC|24 16 2 3 2 285即 OA 与BC所成角的余弦值为 352 2.【反思感悟】 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转 化为两向量的夹角问题 需注意的是： 转化前后的两个角的关系可能相等也可能 互补在二面角 l中， A，B，C，Dl，ABCD 为矩形， P，PA， 且 PAAD，M、N依次是 AB、PC 的中点(1)求二面角 l 的大小；(2)求证： MN AB； (3)求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小(1)解 PA， l? PAl，又ADl，PAAD=A ， l平面

5、PAD， lPD， 故ADP 为二面角 由 PA=AD 二面角 -l- 的平面角，得 ADP=45 .-l-的大小为 45 .uuru （ 2）证明 PC PD DC，uuur 1 1 1 1 1 PN 2PC2PD2DC2（ADAP）2DC， uuur AN PNPA PN AP， uuur 1uuur 1 1 AN AD AP DC ，uuuur MN AN AM1 1 221 uuur 1 1 1 AD AP DC DC2 2 2 21uuur 1 AD 2AP ， uuur AD AB MN AB.ADAB，APAB uuur0， AP AB 0，(3)解 设 AP a，uuuur 由

6、 (2)得 MN1uuurAPuuur AN AD21 uuur 1 AD AP21 uuur 1 1 2AP 2APAP2a2，uuur | AP |AD| a， uuuur| MN cos uuur uuur AN 2， |AP|?|AN |2即异面直线 PA 与 MN 所成角为 45 .知识点三 利用数量积证明垂直关系如图所示， m，求证： l lm，ln，证明 在 内作任一直线 g，分别在 l，m，n，g 上取非零向量 l，m，n，g. 因为 m 与 n 相交，所以向量 m， n 不平行 由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对（x，y），使 gxm yn.将上式两边与向量 l 作

7、数量积， 得 l g xl m yl n.因为 l m 0， l n0，所以 l g0, 所以 lg.即 lg.这就证明了直线 l 垂直于平面 内的任意一条直线， 所以 l .【反思感悟】 证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直， 即证 明两向量数量积为零， OA BC，OBAC，求证： OC AB. uuru uuru uuur中uuurOA BC = 0 ， OB AC = 0. uuur+ CB )已知：在空间四边形 OABC 证明 OA BC，OBAC，CBuuur uuur uuru uuru OC AB （ OB +BC ） （ AC uuru = OB AC OBCB B

8、CACBC uuru =OB CBBC（ACCB）uuru uuur uuur= OB CBBCAB BC （ AB BO）BCAO0， uuur OC AB ， OCAB. 课堂小结 ： 空间两个向量 a，b 的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：ab |a|b|cos a， b，这里 a， b表示空间两向量所成的角 （0 a，b ）空间向量的数量积具 有平面向量数量积的运算性质 应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题， 可以求两直线 夹角问题和线段长度问题即 （1）利用 ab? ab0 证线线垂直 （a， b 为非零向量 ） （2）利用ab|a|b|cosa，b，cos|aa|bb

9、|，求两直线的夹角 (3)利用 |a|2aa，求解有关线段的长 度问题一、选择题1若 a，b均为非零向量，则 ab|a|b|是 a与 b共线的 ( A 充分不必要条件B 必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件答案 A解析 ab |a|b|cos a， b |a|b| ? cosa，b 1? a， b 0， 当 a 与 b 反向时，不能成立2已知 a， b均为单位向量，它们的夹角为60，那么 |a3b|等于()A. 7 B. 10D4答案 C解析 |a 3b|2 (a 3b)2 a26ab9b21 6cos60 913.3对于向量 a、b、c 和实数 ，下列命题中真命题是 ( )A 若

10、a b 0，则 a 0 或 b 0B若 a 0，则 0 或 a 0C若 a2 b2，则 ab 或 a bD若 ab ac，则 b c答案 B解析 A 中若 ab，则有 ab0，不一定有 a 0，b 0.C 中当|a|b|时， a2 b2，此时不一定有 ab或 a b.D 中当 a0时， abac，不一定有 bc.4已知四边形 ABCD 满足： *6 OCBC0，BCCD0，CD DA0，DA*6 OC0， 则该四边形为 ( )A 平行四边形B梯形C平面四边形D空间四边形答案 D5已知 a、b 是平面 内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线 l 上，则 ca 0且 cb 0 是 l 的 (

11、)A 充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 B二、填空题6已知向量 a、 b满足条件： |a|2，|b| 2，且 a与 2ba互相垂直，则 a与 b的夹 角为 答案 45解析 因为 a 与 2b a 垂直，所以 a(2ba) 0.即 2a b|a|20，所以 2|a|b| cosa， b |a|20， 所以 4 2cos a， b 40? cos a， b 22，所以 a与 b的夹角为 45.7. 已知线段 AB,BD 在平面内 ,ABD=120 ,线段 AC ,如果 AB=a,BD=b,AC=c, 则 uuura2 b2 c2 ab uuru| CD |为 答

12、案 uuru uuur 解析 |CD |2 | AB BDAC|2uuur uuur uuur AB 2BD2 AC2 2 AB BD2 AB AC2BDACa2b2c22abcos60a2b2 c2ab. uuru|CD | a2b2 c2 ab. a2b2c2ab.8已知 |a|3 2，|b| 4，m a b，n a b， a，b 135 ，mn，则 .答案 32解析 由 mn 0，得 （ab） （a b） 0，列方程解得 2.三、解答题uuuur uuur9. 如图，已知 E 是正方体 ABCD-A 1B1C1D1的棱 C1 D1的中点， 试求向量 A1C1与 DE 所成角的余弦值 .解

13、uuur AB a， ADb， AA1c， 则 |a| |b| |c|m.ab bc ca 0.uuuur uuur 又 A1C 1 A1B1 B1C1 AB ADab， uuur 1 1 DE DD 1D1EDD 12D1C1c2a.uuuur 1 A1C1DE（ab） （c2a）1 2 1 1 2 1 2 acbc2a22ab2a2 2m2.uuuur 又| A1C 1 | 2m，|DE | 2m， uuuur uuuur A1C1uuur cos A1C1 ，DE = uuuur uuur DE|A1C1 |?|DE |122m210 5 10 .2m2 m10已知在平行六面体 ABCD

14、ABCD中， AB4，AD3，AA 5， BAD90， BAA DAA 60.(1)求 AC 的长(如图所示 )；uuuur (2) 求 AC 与AC的夹角的余弦值uuuur uuur uuur uuur解 (1) AC= AB + AD + AA,uuuur uuur uuur uuur|AC|2 = ( AB+AD + AA )2uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur =| AB|2 + | AD|2+ | AA|2 + 2 ( AB AD + AB AA = 42u +uu 3ur2 + 52 +2(0+10+7.5)= 85.|AC| 85.uuuur uuur(2) 方法一 设 AC 与 AC 的夹角为 ,uuur 2 2四边形 ABCD 是矩形 ,| AC | = 32