等差等比数列子数列探究

1、等差、等比数列的子数列的探究一、定义子数列若数列仮是由数列也的一些项按原来的顺序构成的一个新数列，则称数列仇是 数列伉的子数列。二、讨论等差数列是否存在等差子数列1、学生举例：（1）设an = a（a为常数），则任取一些项组成的数列都是等差子数列。（2）an = n 中有子数列 = 2n-l,bn = 2n,bn = 5n 等。391（3）aH =-H-l中有子数列b = 3n-l,bn =-n + -等222小结：只要首项不同，公差不同就可以确定不同的等差子数列。2、从具体的例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列的公差和原数列的公差之 间的关系，从而得出结论：（1）等差数列中卞标成等差数

2、列（公差为k）的项仍然成等差数列。（2）新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍。3、证明结论：设a“是等差数列，d是公差，若”卫”是子数列的相邻两项，alt - ain = （n - m）d , 当n-m = k为常数时,aH - am = （/?- m）d = kd也是常数。三、讨论等比数列是否存在等比子数列1. 学生举例：（1）设alt = a（a为常数），则任取一些项组成的数列都是等比子数列。（2）a” = 2” 中有子数列b” = 22-1 和b” = 25n 等。（3）=2（$t中有子数列仇=2（等。小结：只要首项不同，公比不同就可以确定不同的等比子数列。2. 从具体的例子中小

3、结出如何寻找等比子数列，以及子数列的公比和原数列的公比之间的关系，从而得出结论：（1）等比数列中卞标成等差数列（公差为k）的项仍然成等比数列。（2）新的等比数列的公比等于k个原等比数列的公比的积。3. 证明结论：设仏是等比数列，q是公比，若”4”是子数列的相邻两项，h=qz,当n-m = k为常数时，= qn-u = qk也是常数。四、讨论等差数列是否存在等比子数列1。学生举例：% =n中有子数列b” = 2T和 = 3心等。(自然数列是学生最容易想到的，除了自然数列之外，其他的数列不容易想到)2给出一个例子一起研究。例. 已知：等差数列a,且a=3n-1。问:等差数列仏中是否存在等比子数列(

4、1)写出%的一些项：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32,，学生 尝试后找出结果有:2, 8, 32, 128,512,-, 24心；2, 14, 9& 686, 4802,， 27T ; 2,20,200,2000,，210七 5,20,80,320,，5-4n_1 ; 2,26,338,，2-13,_1(2) 猜想：c”=24T：c”=27T；c”=210”t；= 5-4W_1:c” =213”t(3) 提问：这些猜想是否正确呢？我们可以从两个方面进行思考：通过演绎推理证明猜想为真，或者找出反例说明此猜想 为假，从而否定或修正此猜想。(4) 学生分

5、组证明猜想分析：2-4，_1的项被3除余2,从而得出利用二项式定理证明的方法。证1:(用二项式定理). 2.4”t =2 (3 + 1)T = 2 (3k +1) = 6R + 2伙 w N),即2 4,_1 除以 3 余 2,”是伉的子数列。分析：由前面几项符合推广到无穷项都符合，从而得出利用数学归纳法证明的方法。证2：(数学归纳法) 当 n二1 时，q =2 = 3x1 1 = 6 假设当 n二k 时，ck = 22kl = 3m-1 = am(in e N),那么当 n二k+1 时，ck+l =2冷4 = 4 2#t = 4 (3/n_ 1) = 3 (4/n-1)-1 = “ .由、得

6、匕是归”的子数列。(5) 同理证明c” =27T =2(6 + 1)”t =3R + 2,k w N;c” = 2 IO1 =2(94-1)1 =3k + 2,kwN,Cn=5 4n_1 = 5 (3 + l),r_1 =3k + 2,k g N;c = 213”t = 2 (12 + l)w_1 =3k + 2,k e N.（6）引申：让学生找规律一一以乙中任一项为首项，以3k + KkeN）为公比的等 比数列均是该等差数列的等比子数列（7）小结：归纳法是从特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要进一步 证明的。从归纳猜想到论证的思维方法是我们研究数学问题常用的方法。（8）思考：对给定

7、的等差数列可以构造出等比数列，不确定的等差数列中是否存在 等比数列？例2已知：数列0”是首项q=2,公差是d的等差数列。数列仇是等比数列，且 久=6，乞=。问：是否存在自然数d,使得数列是数列d”的子数列？如存 在，试求出d的一切可能值分析：先取d二1, 2, 3, 4, 5, 6。发现当d是奇数时，不可能。是奇数，.公比今为分数，则亿=2（今）心从第三项开始就不是自然数取 d=2, an: 2, 4, 6, 8,，bH: 2, 4, 8, 16,，Q” = 2/?上” =2”,丁 2” 是偶数，d二2时，数列仇是数列0”的子数列取 d二4, aj： 2, 6, 10, 14, 18,，bn:

8、 2, 6, 18, 54,，an =4n- 2,bn = 23T =2（4_1）”t =2（4R1） = 42R2伙wN）, d=4时，数列0”是数列 d”的子数列。同理*6时，数列仇也是数列伉的子数列。由此猜想当 d = 2m（fn g N）时，数列0”是数列0”的子数列。可以用二项式定理或数学归纳法 证明。证 1：（用二项式定理）在。”中，q = 2,d = 27,%2 + （一 1）2?.在/?”中，b二2,* = 2 + 2m,q = 十 =1 +7,b“ = 2（1 +加）心。令 h# = cin （k 3,则 2 （加 +1）】二2 + （/?-1） 2?. （/? + l）w

9、= 1 + （” 一 1） 加，亦t _|_ c；_l - mk2 + + + 1 = 1 + （/?-1） m，可解出 n = 14-mk2 + * 十 + . + * e N,即bk 为a”中的某一项。证2：（数学归纳法）当n二1时，*=山；假设九是%的第p项，即2 （m + l）i =2 + 2/w（p -1）,则 bk+l = bk （w? +1） =2 + 2m（p 一 1）（加 +1） =2+ 2mm（p-l）+p + l-l即仇+|是仏中的第m （p-1） +p+l项。由、得，数列0”是数列%的子数列。小结：这个问题的解决还没有完成一般情况的讨论。一是首项可以不确定，二是子数列

10、并非要前面两项相同五、课后思考(1) 例 2 中，若 6=3 呢(=引 n.m e N)?(2) 若不确定呢？(3) 等比数列是否存在等差数列？奉贤区致远高级中学高二数学竞赛试题(2006 年 5 月)一、填空题(本题16小题，每小题4分，共64分)1. 函数/W = log7在x w (0,2龙)时的单调递增区间是2. 一个等差数列共有12项，前4项的和是10,后4项的和是4,则中间4项的和是3. 定义在R上的奇函数于(小,在0,7)上是增函数，若/(l) 1）,（1）若归”是等差数列，求an的通项公式；（2）归”能否为等比数列？若可能，求出此等比数列的通项公式，若不能,说明理由三、（本题1

11、2分）设/（x） = y/ax2 + bx ,求满足下列条件的实数a的值:至少有一个正数b ,使/（切的定义域和值域相同四、（本题12分）设4（坷,儿），B（x2,y2）两点在抛物线y = 2，上，/是AB的垂直平分线。（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线/经过抛物线的焦点F?证明你的结论：（2）当直线I的斜率为2时，求/在y轴上截距的取值范闱参考答案1. (0,彳)；2. 7 :3. x 2;4. 0；5. cos 1,1;6. 5;7. V21-4;8. f；9. a/23；1310.- ;6r3兀11. 7;12.;13.2tZG 2kJ(6,-KO)；14. 3,当为偶数时,s”=，

12、当n为奇数时,S” =-n- ;2 2.72315. ;16.31/()=宀;一2解：(1)设公差为d,则由an =+ n ,得1 + (?-l)d = 2al + (n-2)J+ n ,即 - 3d + “(d +1) = 0( g Z,n 1)()当d + 1 = 0且3d = 0,即 =1“=3时，()恒成立，所以的通项公式为 an = a】+ ( 一 l)d = 2(2)若伉是等比数列，设公比为q,则由匕=21+得。4 = 2+2,361才=2存q + 3解得勺=_4, = 丁 但不满足d才=2。才+4,所以归”不可能是等比数列解：若d = 0,则对每个正数b, f(x) = J ax2 + bx的定义域和值域都是0,-fod),故。=0满足条件；若a 0, 则对正数/?, f(x) = y/ax2 +bx 的定义域D= +/?xo=-oou0 古o),但 f(x)的值域 A c 0,-kz),故 h A,即a 0不符合条件；若aF=FBA,B两点到抛物线的准线的距离相等，(/W)max故蚀的值域是a 0,y2 0,依题意，儿，儿不同时为0,上述条件O 儿=儿 O = X/ O (兀一兀)(“ + xj = 0, 兀 h x2,.x1+x2 = 0,即当且仅当x1+x2 = 0时，/经过抛物线的焦点F(2)设/在y轴