线性回归方程——非线性方程转化为线性方程

1、线性回归方程非线性方程转化为线性方程例 1(2015 高考全国卷) 某公司为确定下一年度投入某种产品的 宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位： t ) 和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8 年的宣传费 ?和? 年销售量 ?(?= 1,2, ? ,8)数据作了初步处理， 得到下面的散点图及一些统计量 的值.?46.65636.8289.81.61469108.8表中? ?=?， ?=18 8?=1?(I )根据散点图判断， ?= ?+ ?与? ?= ?+ ?，哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传费 x的回归方程类型 (给 出判断即可，不必说明理由) ；(II )根据

2、( I )的判断结果及表中数据，建立y关于 x 的回归方程；(III )已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 ?= 0.2?- ? ，根据( II )的结果回答下列问题：(i )年宣传费 ?= 49时，年销售量及年利润的预报值是多少？( ii )年宣传费 ?为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 (?1, ?1) , (?2 ,?2) ， (?,?),其回归直线 ?= ?+ ?的?斜率和截距的最小二乘估计分别为： ? (?-?)(?-?)?= ?=?1?2 ， ?=?- ?. ?=1(?-?) 2答案】 ( )?= ?+ ?适? 宜作为年销售量 ?关于年宣传费 ?的回归方程类

3、型； () ?= 100.6 + 68?；()(i) 答案见解析； (ii)46.24千元 .【解析】( I )由散点图可以判断， ?= ?+ ?适宜作为年销售量 ?关于年宣传费 ?的回归方程类型 8(II )令?= ?，先建立 ?关于?的线性回归方程，由于 ?= ?=1(8?-?)(?2-?) = 1018.6.8 =68， ?=1(?-?) 21.6?=? ?- ?=563- 68 6.8=100.6 ，?关于?的线性回归方程为 ?= 100.6 + 68?，因此 ?关于 ?的? 回归方程为 ?= 100.6 + 68 ?.(III )()由( II )知，当 ?=49时，年销售量 ?的预

4、报值 ?= 100.6 + 6849=576.6，年利润 z 的预报值为 ?=? 576.6 0.2 - 49 = 66.32 .）根据（ II ）的结果知，年利润 z 的预报值 ?=? 0.2（100.6 + 68?）- ?= -? + 13.6?+ 20.12 ， 例 2某地级市共有 200000 中小学生， 其中有 7%学生在 2017 年享受了“国家精准扶贫”政策， 在享受“国家精准所以当 ?=13.66.8，即 ?= 46.24 时，?取?得最大值 .故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大5:3:2 ，为进一步帮助扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难

5、、特别困难，且人数之比为这些学生， 当地市政府设立“专项教育基金”， 对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000 元、1500 元、2000元。经济学家调查发现， 当地人均可支配年收入较上一年每增加?%，一般困难的学生中有 3?%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2?%转为一般困难，特别困难的学生中有 ?%转为很困难。现统计了该地级市 2013 年到 2017 年共 5 年的人均可支配年收入， 对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和 表中统计量的值，其中年份 ?取 13 时代表 2013 年， ?与 ?(? 万元)近似满足关系式?= ?1?2?2?，其中 ?1,

6、?2为常数。( 2013 年至 2019 年该市中学生人数大致保持不变)其中 ?= log 2?，? ?= 5 ?5?=1 ?()估计该市 2018 年人均可支配年收入；()求该市 2018 年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据(?1,?1),(?2,?2),? , (? ?,?) ，其回归直线方程?= ?+? ? 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ?= ?=?1? (?(-?-)?(?)?2-?) , ?= ?-? ?.【答案】() 2.8 (万) ; () 1624 万 .【详解】()因为 ?=? 15 (13 + 14 + 15 + 16 + 17

7、) = 15，所以 ?5?=1 (?- ?)?2 = (-2 )2 + (-1 )2 + 12 + 22 = 10. 55 ( ?-?)?( ? ?-?) 1 1由?= log2 ?得?=log2 ?1? +?2?，所以 ?2 =?=15?(?-?)?2?= 10 ，log2?1 =?-?2?=? 1.2 - 10 15= -0.3 ，?所以 ?1? = 2-0.3 = 0.8，所以 ?= 0.8 210. 当?= 18时，2018年人均可支配年收入 ?= 0.8 21.8 = 0.8 3.5 = 2.8(万)()由题意知 2017 年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共2000007%=1

8、4000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000 人、 4200 人、 2800 人， 2018 年人均可支配收入比 2017 年增长0.8 21.8 -0.8 21.70.11.7= 20.1 - 1 = 0.1 = 10%所以 2018 年该市特别困难的中学生有 2800(1 -10%)=2520 人， 很困难的学生有 4200(1 - 20%)+280010%=3640 人 一般困难的学生有 7000(1 - 30%)+420020%=5740 人 .所以 2018 年的“专项教育基金”的财政预算大约为57401000+36401500+25202000=1624 万 .例 3

9、近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内 优惠力度较大， 吸引越来越多的人开始使用扫码支付 某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支 付的人次，用 x表示活动推出的天数， y 表示每天使用扫码支付的人次 (单位：十人次 ) ，统计数据如表 l 所示： 表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图(1) 根据散点图判断，在推广期内， ?= ?+ ?与?= ? ?(c ，d均为大于零的常 数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型 ?( 给出判断即可，不必说明理由 ) ；(2) 根据(1) 的判断结果及表

10、 1中的数据，求 y关于 x 的回归方程，并预测活动推 出第 8 天使用扫码支付的人次；参考数据：1其中?= 1?,?= 17 7?=1?7参考公式： 对于一组数据 (?1,?1?),(?2,?2?),?(,?,?) ，其回归直线 ?= ?+ ?的斜率和截距的最小二乘估计公式分别 ? ?=1? ?-?为： ?= ?=?1 ? ?, ?= ?- ?. ?2?-?2?=1 ?【答案】( 1)?= ?(2)3470【详解】( 1)根据散点图判断， ?= ? ? ?适宜作为扫码支付的人数 ?关于活动推出天数 ?的回归方程类型； (2)?= ? ?，两边同时取常用对数得： 1?= 1?(?) = 1?+

11、? 1?； 设 1?= ?,?= 1?+? 1?7?=1? ?-?7?50.12-7 4 1.5470.25，?2?-7?2?=1 ?140-7 42=28 =l ?= 0.54 ，?= 4, ?= 1.54, 7?=1?2?= 140 ，l?=把样本中心点 (4,1.54) 代入 ?= 1?+? 1?, 得: ?= 0.54+ 0.25?， l ?= 0.54 + 0.25?，?关于?的回归方程式： ?= 10 0.54+0.25? = 100.54 (10 0.25 )?= 3.47 10 0.25 ?；把?= 8代入上式， ?= 3.47 102 = 347 ； 活动推出第 8天使用扫码

12、支付的人次为 3470 ；例 4近年来， 随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展 某汽车交易市场对 2017 年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”1图1进行统计，得到频率分布直方图如图（1）记“在 2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在（8 ?,?16 ”为事件 ?，试估计 ?的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中 ?（?单位：年 ）表示二手车的使用时间， ?（ 单位：万元）表示相应的二手车的平均交易价格由散点图看出，可采用?= e?+?作? 为二手车平均交易价格 ?关于其使用年限?的回归方程，相关数据如下表（表中?=

13、 ln? ?，? ?= 110 ?1?0=1?）：根据回归方程类型及表中数据，建立?关于 ?的回归方程；该汽车交易市场对使用 8年以内 （含 8年）的二手车收取成交价格 4%的佣金，对使用时间 8年以上 （不含 8年）的 二手车收取成交价格 10%的佣金在图 1 对使用时间的分组中， 以各组的区间中点值代表该组的各个值 若以 2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金附注： 对于一组数据 （?1,?1）,（?2,?2?）,? （?,?），其回归直线 ?= ?+ ?的?斜率和截距的最小二乘估计分别为?=?=?1?2?-?2?, ?= ?-? ?；参考数据： e2

14、.95 19.1 ?,?e1.75 5.75 ?,?e0.55 1.73 ?,?e-0.65 0.52?,?e-1.85 0.16 答案】（ 1）0.40 ；（2） ?= e3.55-0.3? 0.29 万元详解】（1）由频率分布直方图得， 该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在 （8,12 的频率为 0.074 = 0.28 ，在（ 12,16 的频率为 0.03 4 = 0.12 , 所以?（?） = 0.28+ 0.12 = 0.402）由 ?= ?+?得? ln?= ?+ ?，?即 ?关于 ?的线性回归方程为 ?= ?+ ? 1?0?=1?-?10? 79.75-10 5.

15、5 1.9因为?= ?1?=0?1=?1?2?-?1100?2?= 79.37855-1-100 55.5521.=9 -0.3 ，?= ?- ?=? 1.9 - （-0.3 ）5.5= 3.55所以 ?关于 ?的线性回归方程为 ?= 3.55 - 0.3?， 即?关于 ?的回归方程为 ?=e3.55-0.3?根据中的回归方程 ?= e3.55-0.3? 和图 1，对成交的二手车可预测：使用时间在 （ 0，4的平均成交价格为 e3.55-0.3 2= e2.95 19.1 ，对应的频率为0.2；使用时间在 （ 4，8的平均成交价格为 e3.55-0.3 6= e1.75 5.75 ，对应的频率

16、为0.36；使用时间在 ( 8，12的平均成交价格为 e3.55-0.3 10= e0.55 1.73，对应的频率为 0.28； 使用时间在 ( 12，16 的平均成交价格为 e3.55-0.3 14= e-0.65 0.52，对应的频率为 0.12； 使用时间在 ( 16，20 的平均成交价格为 e3.55-0.3 18= e-1.85 0.16，对应的频率为 0.04 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为( 0.2 19.1 + 0.36 5.75 ) 4% + (0.28 1.73 + 0.12 0.52 + 0.04 0.16)10% = 0.29092 0.29万元?

17、与用水量 ?的回归方程类型；由于 ?=8?=1(?-? ) (? ?-?) -7512=?8?=1(?-? ) 2374 -2.0 ， ?=? ?- ?=38 + 2 11=60例 5菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害， 但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药， 食用时需要用清水清洗干净， 下表是用清水 x（ 单位：千克）清洗该蔬菜 1千克后， 蔬菜上残留的农药 y（单位：微克） 的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值y（微克）x （千克）?82 (?- ?) ?=18 (?- ?) ）根据散点图判断 ?= ?2?+ ?适? 宜作为蔬菜农药残量 ）令 ?= ?

18、2，先建立 y 关于 w的线性回归方程，?=18 (?- ?) (?- ?)?=18 (?- ?) ( ?- ?) ?=13381110374121751其中 ?= ?2（I ）根据散点图判断， ?= ?+? ?与?= ?2?+ ?，? 哪一个适宜作为蔬菜农药残量 ?与用水量 ?的回归方程类型（给 出判断即可，不必说明理由） ； （ ） 若用解析式 ?= ?2?+ ?作? 为蔬菜农药残量 ?与用水量 ?的回归方程，求出 ?与 ?的回归方程 （c ， d 精确到 0.1）（ ）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20 微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要附：参考公式：回归方程?= ?+ ?中斜率和截距的最小