椭圆常结论及其结论完全版精编版

1、最新资料推荐2 椭圆常用结论、椭圆的第二定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个（0,1） 内常数 e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 左对左，右对右 ）e 就是离心率 （点与线成对出现，22对于 x2 y2 1，左准线 l1: x a2 b22a ；右准线 l 2 : x ca222对于 y2 x2 1，下准线 l1: y a2 b22a ；上准线 l2: y cc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称2焦点到准线的距离 p a c c2 2 2 a c b（焦参数） cB1、焦半径圆锥曲线 上任意一点 M

2、 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。椭圆的焦半径公式：焦点在 x 轴（左焦半径） r1 a ex0 , （右焦半径） r2 a ex0 , 其中 e 是离心率焦点在 y 轴 MF1 a ey0, MF2 a ey0 其中 F1, F2分别是椭圆的下上焦点 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为： 左 加右减，上减下加PF1 a c, PF2 a c推导：以焦点 在 x 轴为例如上图，设椭圆上一点 P x0,y0 ，在 y轴左边 .PF根据椭圆第二定义， 1 e ，PM则 PF1 ePM e x0c22a2ccx0a2aex0最新资料推荐同理可得 P

3、F2 a ex0三、通径： 圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在 弦 ABx轴为例，坐标：b2b2c,，Bc,aa2b2弦 AB 长度：ABx2 y 2四、若 P是椭圆： x2 y2 1上的点 . F 1,F 2为焦点，若 F1PF2 ，则 PF1F 2的面积为 a2 b2推导：1如图 S PF1F2PF1 PF2 sin根据余弦定理，得2. b tan .2cos = PF 2 PF 2 F1F2 22PF1 PF2PF1 PF )2 2PF1 PF2 4c22PF1 PF24a2 2PF1 PF2 4c22PF1 PF24b2 2PF1 PF22PF1 PF2得 PF1PF

4、22b21 cosS PF1F211PF1 PF2 sin =222b21 cossin =b2sin=b2 tan1 cos 2PyB2A2xA1 PA F1O F2 A2B1最新资料推荐五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 k , 直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1, y1),B(x2, y2 ) , 则它的弦长AB 1 k2x1 x2(1 k2) (x1 x2) 4x1x2注: 实质上是由两点间距离公式推导出来的 , 只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为 y1 y2 k(x1 x2 ) ，运用 韦达定理 来进行计算当直线斜率不存在是 , 则 AB y1 y2

5、.六、圆锥曲线的中点弦问题：(1) 椭圆中点弦的斜率公式：22xy设M(x0,y0)为椭圆 2 2 1弦 AB ( AB不平行 y轴)的中点，则有： abkABa2证明：设 A(x1, y1)， B(x2,y2)，则有kAB y1 y2 ，x1 x222x12 y12 1a2 b2 1 22x22 y22 1 a2 b2 12 2 2 2x1 2x2 y1 2y2 0 整理得：a2 b222x1 x2b2，即两式相减得：(y1 y2 )( y1 y2)(x1 x2 )(x1 x2 )b2 ，2，a因为 M (x0,y0)是弦 AB的中点，所以kOMy0 2x0 y1 y2x0 2y0 x1 x

6、2所以 kAB kOMb2(2) 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。x2 y2b2x在椭圆 x2 y2 1中，以 M(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k= b2x0a2 b2a2y0最新资料推荐由( 1)得 kAB kOMkABb2x0y0七、椭圆的参数方程x acos ( 为参数 ) y bsin八、共离心率的椭圆系的方程：2222椭圆 x2y21(a b0)的离心率是ec(ca2b2)，方程x2y2t(t是大于 0的参a2b2aa2b2数， a b 0 的离心率也是 e c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程 .a22例 1、已知椭圆 x y 1上一点 P 到椭圆左

7、焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为25 1622例 2、如果椭圆 3x6 y9 1弦被点 A(4，2)平分，那么这条弦所在的直线方程是x2 y2例 3、已知直线 y x 1与椭圆 2 2 1(a b 0)相交于 A 、 B两点，且线段 AB 的ab中点在直线 l： x 2y 0上，则此椭圆的离心率为 x2例 4、 F 是椭圆42y 1的右焦点， A1,1 为椭圆内一定点，3P 为椭圆上一动点。1)PA PF的最小值为2)PA 2PF的最小值为分析：PF 为椭圆的一个焦半径， 常需将另一焦半径PF 或yAPHF0Fx准线作出来考虑问题。解：(1) 设另一焦点为 F ，则 F (-1,0)连 A F ,P FPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a AF 4 5最新资料推荐当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时 , PA PF 取得最小值为 4- 5 。（2）作出右准线 l，作 PH l交于 H ，因 a2 4，b2 3，c2 1， 所以 a 2， c 1 ， e.21 PFPH ,即2PFPH PA 2PF PA PH2当 A、P、 H 三点共线时，其和最小，最小值为a xA 4 1 3c2例 5、求椭圆 xy2 1上的点到直线 x y 6 0 的距离的最小值