2012015全国卷数列汇编理科

1、2011-2015全国卷数列汇编（理 科）第六章数列第一节等差数列与等比数列题型73等差、等比数列的通项及基 本量的求解1. ( 2011全国理17-1 )等比数列an的各项均为 正数，且2a1 3a2 1， a32 9a2a6 .(1)求数列an的通项公式；2. (2013全国U理3)等比数列a的前n项和为Sn，已知 S3 a2 10a1, a5 9，贝3().A.B.C.D.3. (2015全国H理 a1 a3 a5 21，贝a3A. 21 B.42a74)(C.等比数列an满足a1 3 , ).63 D. 84已知an为等比数列，a4 a7 2 ,)题型74等差、等比数列的求和 题型75

2、等差、等比数列的性质应用4(2012全国理5)玄5玄68，贝V a1 a10(B. 5A. 7C. 5D. 75. (2013课标全国I,理7)设等差数列an的前n 项和为 Sn,若 Sm- 1 = 2, Sm = 0, Sm + 1 = 3, 则 m =().A . 3 B . 4 C . 5 D. 66. (2014全国I理17)已知数列an的前n项和为 Sn , 31 = 1 ,an 0 , anan 1 Sn 313又a1 - ，- an 是以为首项，3为公比的等比数列. , 其中为常数.(I )证明：an 2 an ；(U)是否存在，使得an为等差数列？并说 明理由12分题型76判断

3、或证明数列是等差、等 比数列7. (2014全国U理17-1 )已知数列an满足內1 , an 1 3a. 1 .1(I)证明an ?是等比数列，并求 an的通项公式；1 1an 17. (I)证明：T an 1 3an 1，二 an 13(an )，即： 3，即an3n2222 (an 1题型77应用等差数列与等比数列的综合第二节数列的通项公式与求和题型78数列通项公式的求解8.(2012全国理5)aa6 8，则 a1 a10 (A. 7C. 5已知an为等比数列，34 a7 2 , )B. 5D. 79. (2013课标全国I,理14)若数列an的前n 项和& 3an 3，则an的通项公式

4、是an =3310. (2015全国理17-1) $为数列a的前n项和， 已矢口 an 0 an 2an 4Sn 3 .(1)求an的通项公式；题型79数列的求和11. (2011全国理17-2)等比数列an的各项均为 正数，且2a, 3a2 1 , a32 9a2a6 .(1) 求数列an的通项公式；(2) 设b gc ga?gan,求数列的前n项bn和.12. (2012 全国理 16)数列 an 满足 an1 ( 1)nan 2n 1，则a”的前60项和为.13. (2014 全国 U 理 17-2 )已知数列 an满足a 1， an 1 3an 1 .(I)证明a1g是等比数列，并求a

5、n的通项公式;1(U)证明一a11a2an14. ( 2015全国I理17-2 )Sn为数列an的前n项和，已知an 0，2an 2an 4Sn 3 （1）求an的通项公式;(2)设 bn1，求数列bna*an 1的前n项和.15.（2015全国H理16）设Sn是数列an的前n项和，且 a11,an 1Sn S 1) 则Sn第三节数列的综合题型80数列与不等式的综合第六章试题详解1.【解析】（1）设数列an的公比为q.由af 9a?a6得得 2a1 3ag 1，所以a1 3 .故数列an的通项公式为1an2.分析 先设出公比q，然后根据已知条件列出方 程组，求出a,.解析：设公比为q，因为S3

6、 a2 10ai,a5 9，所以a1 a2 a3 a? 10印，所以 a1q2 9, a1q4 9,a1q4 9,解得ai 9故选C.3.解析由题意可设等比数列的公比为q，则由得，aq4 21.又因为a1 3，所以q4 q2 6 0 .解得q2 2或（舍去），所以 as a5 ay a1 a? as q2 21 2 42 .故选ai a3 a5212a1a1qq23B.评注是考查的重点.本题考查了等比数列的通项公式 及一元二次方程的解法，注意最后一步要能将ay 写成“ a1q2 a3q2 a5q2 的形式，再提出等差数列与等比数列的基本概念和性质aa3 a5“ 2 ”q4.解析2 2 2 ”a

7、,qa3qa5q方法一：利用等比数列的通项公式求解36 c3 c由题意得印ay r r 2 29 8，所以q 12，asa6 a1q a1q a1 q 8印 19aioai 1 q7故选D.方法二：利用等比数列的性质求解.8，解得；6寫8，解得；：42，或；：42 -所以_3q ai12，或1 qaiq。b 1 q9 7.故选 D.所以a15答案：C解析：T Sm1 = - 2， Sm = 0， Sm+ 1= 3, am = Sm Sm-1 = 0 ( 2) = 2，Sm = 3 0= 3.d = am +1 am = 3 2 = 1.T Sm= ma1 + m ； 1 x 1 = 0， a1

8、 又 T am+1 = a1 + m x 1 = 3，二 m= 5.故选 C.6.【解析】:(I )由题设 anan 1 5 1 ， 两式相减am + 1 = Sm + 1an lan 2Sn11 ,an 1an 2anan 1，由于an 0，所以6分由题设a1 = 1 ，aSi 1 ， 可得a2an 2 an(D)知a3假设an为等差数列，则a”a2,a3成等差数列，二 a1 a3 2a2，解得 4 ；证明4时，an为等差数列：由an 2 an 4知数列奇数项构成的数列a2m1是首项为1,公差为4的等差数列32m 1 4m 3令 n 2m 1,则 m ，二 a数列偶数项构成的数列 的等差数列

9、a2m 4m2n 1 (n 2m 1)a2m是首项为3,公差为4令n 2m,则m号，3n2n 1 (n 2m)an 24，使得an为等差数列.3q31a4a7 8，解得 a：;，或 a：所以an 2n 1( n N*),因此，存在存在 8解析 方法一：利用等比数列的通项公式求解36 o由题意得a4 a72 29 8，所以a5a6 aq dq aq 8 731q 2, a18a, a1o a1 1 q97.故选 D.3q3112，或 q3ai所以9.答案：(一2)解析：T 5 fan 1，a19o a 1 qn- 1233n7.故选D.方法二：利用等比数列的性质求解 由 a4 a7 2 m a5

10、a6Sn223an23an1当nA2时, 一，得an 即 = 2.an 1a1 = S1 = |a1 3，- a1 = 1.2an 2an 4Snan是以1为首项，2为公比的等比数 列，an = ( 2)n 1.10解析 (1)由2可得 an+1 2an+1 4Sn+1 3又因为an 0，所式一式得an an+1 an+1 an 2以 an+1 an 2、/2 2当 n 1 时 a1 2a1 4S 3 即 a1 （舍去），所以an是首项为 差数列，通项公式为an=2n 1 11.【解析】（1）设数列a a； 9a4，所以 q2 1 .792aiai3 0，解得a1 3或3，公差为2的等的公比为

11、q.由a3 9a2a6得由条件可知q 0，故q 由 2a1 3a2 1 得 2a1 3a1q 1，所以印3 故数列an的通项公式为3bnlog3 ailog 3 a2 Lgan故丄亠bnn n 1b2bn122nn 1 ?1 ,解析因为am ( 1)nan 2n1,所以a21a1 ,a32a1 ,2a1 , a815a1 ,a9a1 , a1017a1 ,a57a1 ,a58113B ,a592a1 ,所以a5a6a7a8La57a58a59a60所以数列占的前n项和为二.bnn 112. 分析利用数列的递推式的意义结合等差数 列求和公式求解.a47ai , a5a1 ,a69a1 , a7a

12、112 a1 ,a223,L ,a60119 a1a1a2 L a60qa2a3a415102341026 42 L234213.解析：(I)证明:*an 13an又a113._5*an 1是以3222213 &n.31an -3，即an2221830111an 11，二 an 1 -3(an T)，即：3(an -)(U)证明：由(I)知an1 2an3n 1N*)为首项，3为公比的等比数列.11111I1313丄丄 丄丄丄 -1 (丄门-aa2an3323n1 12(3)23a 2an214.解析(1)2由a2an4Sn32可得an + 12an+14Sn + 13式式得2nan+1an+1an20 .又因为an0，所以an+1an 2 .当n 12时，a12a124S1 3 即 a1為3 0，解得a1 3或a11 （舍去），所以an是首项为3,公差为2的等差数列，通项公式为an=2n 1 .b 11 1 1 1(2) 由an =2 n1可得bnanan 12n1 2n 32 2n 1 2n 3记数列bl前n项和为Tn，则11 1 1 11 1