3导数的应用二

1、 最新资料推荐最新资料推荐3.3导数的应用(二)3.3导数的应用(二)考情分析 高考中，重点考查利用导数研究函数最值以解决生活中的优化问题,有时还会在解析几何、不等式、平面向量等知识交汇处命题，多以解答题的形式出现，属中、高档题目.基础知识1.函数的导数与最值(1)函数汀y在区间a, b上有最值的条件：一般地，如果在区间a, b上，函数M汀y的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2) 求函数)(xfy在区间a, b上最大值与最小值的步骤：求函数在区间(a, b)内的极值；将函数)(xfy的各个极值与端点处的函数值f(a) , f(b)比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个

2、是最小值2.生活中的优化问题 生活中经 常遇到求利润最大、用料最省、 效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大(小)值的强有力的工具3 .利用导数解决生活中的优化问题 的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y = f(x)； (2)求函数的导数f (x),解方程f (x) = 0; (3)比较函数在区间端点和f (x)= 0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.注意事项1. (1)注意实际问题中函数定义域的确定.(2)在实际问题中，如果函数在区间

3、内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较. 2. (1)求函数最值时， 不可想当然 地认为极值点就是最值点， 要通过认真比较才能下结论； 另外注意 函数最值是个整体 概念，而极值是个局部 概念.(2) f (xO)= 0是y = f(x)在x = xO取极值的既不充分也不必要条件.如y=| x|在x = 0处取得极小值，但在x = 0处不可导； f(x)= x3, f (0) = 0,但 x = 0 不是 f(x) =x3 的极值点.(3) 若 y =f(x) 可导， 则f (x0)= 0是f(x) 在x = x0处取极值的必要条件. 题型一函数

4、的极值与导数 【例1 已知偶函数)(xf在R 上的任一取值都有导数,且1，汀x则曲线)(xly 在5 X处的切线的斜率()A . 2 B. -2 C. 1 D. -1【答案D【解析由得汀x可知函数的周期为4,又函数)(xf为 偶函 数，所以(2)(2)= (2)f xf xfx 即 函数的对称轴为氐 ，所引门T 、所以函数在) X处的切线的斜 率(5) (1)山，选D. 题型二 函数的最值与导数 【例2 已知函数32( If xaxbx 在点(3, (3)f 处的切 线方程为1 2270xy，且对任意的Mx丨il汀X kx 恒成立.(I )求函数()f x 的解析式；(n )求实数 k的最小值

5、；解:(I )将驱代入直线方程得沁 ,92792a.b2( )32, (3)6f x a.xbx f,2766ab联立，解得11,：也山：I ( )x32xx(I )2( )-f x xx , 21n (I)xxkx在0, x上恒成立;即21n(l)Oxxkx在0, x恒成立；设 2(hxln xxkx,(o),只需证对于任意的0? x有 0;当x(20, 30)时，V v0. 所以当x = 20时，V取得极 大值，也是最大值.此时ha= 12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.【变式3 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中， 每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式

6、可以表示为：y = 1128 000x3 380x + 8(0x120).已知甲、 乙两地相距 1005 / 7最新资料推荐千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)设汽车以x千米/小时的速度行驶时，其耗油量为f(x)= 100x1128000x3 380x + 8=x21 280 + 800x 154(0x1 20) f(40)=17.5(升)因此从甲地到乙地要耗油17. 5升. (2) f (x)=x640800x2 = x3 512 000640x2= x 80 x2 +

7、80x + 6 400640x2 又 0x120 ,令 f (x)= 0 解得 x = 80,当 0x80 时，f (x)0;当80x120时，f (x) 0. 则当x = 80时，f(x)取到最小值f(80)= 11. 25(升)因此当汽车以80千米/小时行驶时耗油最省，最小耗油量为11. 25 升. 重难点突破 【例4】 已知函 数f (x) -：3關，其中a0. (I )若a=1，求 曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线方程； (H ) 若在 区间1 IV 2上, f (x) 0恒成立，求a的取值范围. 若a2,则110感，当x变化时，f (x) , f (x)的变化情况如下

8、表：X 102,0 Id0 , 1a 1 1, a2f (x)+()-()-x) 极大值 极小值 当11 ,订贮2时，()0等价于5且 10, 00,8 215a( )20.0, 8ff即解不等式组得-5a5.因此0疋 ， 巩固提高7 / 7有极值，则ab的最大值等于().A . 2 B . 3 C . 6 D . 9 解析f (x)= 12x2 2ax 2b,由函数f(x) 在x = 1处有极值，可知函数f(x)在x = 1处的导数值为零，12 2a 2b= 0,所以a + b= 6,由题意知a , b都是正实数，所以曲cl +b22=622 = 9,当且仅当a = b= 3时取到等号.答案

9、 D 2 . 已 知函数 f(x) = 14x4 43x3 + 2x2 ,贝卩 f(x)().A .有极大值，无极小值B .有极大值，有极小值C.有 极小值， 无极大值 D .无极小值， 无极大值 解析f (x) = x3 4x2 + 4x= x(x 2)2 f (x), f(x) 随 x 变化情况如下 x ( , 0)0 (0, 2) 2 (2,+) f (x) 0 + 0 + f(x)043因此有极小值无极大值.答案C3 .已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y = 13x3 + 81x 234,则使该生产厂 家获取最大年利润的年产量为().A . 13万件B . 11万件C. 9万件D . 7万件解析y = x2 + 81,令y = 0解得x=9( 9 舍去).当 0 vxv9 时，y 0;当 x 9 时，y v0, 则当x = 9时，y取得最大值，故选C.答案C 4.函数f(x)= x3 3x2 + 1在x = 取得极小值. 解析f (x)= 3x2 6x = 3x(x 2) 当 x v0 时，f (x)0,当 0 vxv2 时，f (x)v0,当x 2时，f (x)0,故当x = 2时取得极小值.答案最新资料推荐2 5 . 若函数f