补充构造异面直线所成角地几种方法

1、异面直线所成角的求法1、正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点o是任意选取的，异面直线 a和b所成角的大小，与点o的位置无关。（2）异面直线所成角的取值范围是（0, 902、熟练掌握求法（1） 求异面直线所成角的思路是： 通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利 用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。（2）求异面直线所成角的步骤： 选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。 求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 因为异面直线所成的角的范围是0v 90 ，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它

2、的补角 作为异面直线所成的角。3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理， 利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例 1 如图，长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AAi=AB=2，AD=1，点 E、F、G 分别是 DDi、AB、CCi 的中点，则异面直线 BiE与GF所成角的余弦是 第15页例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图 SA = SB = SC, 且 ASB = BSC= CSA = _ , M、N分别是AB和SC的中点.2求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.例3长方体 ABCD AiBiCiDi中，若A

3、B=BC=3 , AAi=4，求异面直线 BiD与BCi所成角的大小A.D.aJA例4如图，PA 平面ABC , ACB 90且PA AC BC a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于r练习:1.在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中, 所成角的余弦值是（A）；2M和N分别为Ai Bi和BBi的中点,那么直线 AM与CN)(B) 11o010（C）3(D)|5BiBC1AD1F1Ai（第1题）2.如图，A1B1C1 ABC是直三棱柱（三侧面为矩形C (第2题),/BCA=90 ，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC 1,_则BD1与AF1所成角的余弦值是（

4、）(B)|3. 正方体ABCD A1B1C1D1中，直线 BC1与AC（A）相交且垂直（B）相交但不垂直（C）异面且垂直（D）异面但不垂直4. 设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： 如果a丄b、b丄c，贝U a /c； 如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； 如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线； 如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面在上述四个命题中，真命题的个数是（）(A)4(B)3(C)2(D)1(E)05. 如果直线丨和n是异面直线，那么和直线 I、n都垂直的直线（A）不一定存在（B）总共只有一条（C）总共可能有一条，也可能有两条（D）有

5、无穷多条6. 如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果 E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线 EF与SA所成的角等于（A）90 （B）60 （C）45 （D）30 7 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行； CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A）（B） （C） （D） CD的中点，则求 MN和8 .如图，四面体 ABCD中，AC丄BD,且AC = 4，BD = 3，M、N分别是BD所成角的正切值为。AB、c有条。9 异面直线a、b10 .异面直线a、成60 ，过空间一点P的直线c与a、b成角都为60 ，则这

6、样的直线 b成60 ，直线c丄a，则直线b与c所成的角的范围为（(A) 30 ,90 ( B) 60 ,90 (C) 30 ,60 (D) 60 ，120 11.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形,M、N分别是BC和A1C1的中点 求MN 与AB1所成角的余弦值。A1厂A L.AC1C（第11题）12.如图，四面体 ABCD中，E为AD中点，若 AC = CD = DA = 8，AB 成角的余弦值。二共面、共线、共点问题共点问题：证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点解决此类问题的一般方法是：先证其中 两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上.共线问题：证明点共线，

7、常常采用以下两种方法：转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其 他的点都在这条直线上.共面问题：证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：根据已知条件先确定一个平面，再证明其他 点或直线也在这个平面内；分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合.1. 如图所示，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E为AB中点，F为AiA的中点. 求证：（i） E、C、Di、F四点共面；（2） CE、DiF、DA三线共点。2 如图，AB II CD，ABB，CD线。D，ACE，求证:B、E、D三

8、点共练习：1. 共点的四条直线最多能确定 个平面。2. 空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有3.已知平面平面1，点 A、B占C5八、点的平面为，则是（）A.直线ACB.直线BCC.直线CR4.已知ABC三边AB、BC、CA分别交平面于 P、Q、个。且 C 1，AB 1 R，设过 a、B、C 三D.以上全错R,求证：P、Q、R共线。5. 如果ABC和AiBiCi不在同一平面内，且 AAi、BBi、CCi两两相交，求证：三直线 AA 1、BBi、CCi 交于一点。三平行问题1、“线/线”的证明：(1)平行四边形法：如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，由 AB=pDC=pD

9、1C1,得四边形ABC1D1为平行四边形，于是BC1/AD1 ；中位线法：如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点Q是PC的中点 则由0Q是 PAC的中位线，得到OQ/PA ；“线/面”平行法：如图，若BiCi平面ABCD，过B1C1的平面交平面ABCD于MN,则B1C1 / MN ；“面/面”法：如图 若平面ABiCiDi /平面ABCD，平面 与平面AiBiCiDi、平面ABCD分别交于EF、MN，则有 EF/ MN;(5) “平行线分线段成比例定理的推论”：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。DiCiAiAiAi如图，在正方体 ABCD AiBiC

10、iDi中，E，F分别为面对角D1EAF线DiBi, AiB上的动点，且 DiE= AiF，则一-,EB1FBDiEA,EA,E A,F又丄 ，故二，所以EF/GB。EBiEGEGFB2、“线/面”的证明：“线/线”法：如图,Q为PC的中点，则U OQ /AP所以0Q /平面pad ；“面/面”法：如图若AiBiCiDi /平面ABCD,直线MN在平面ABGDi,则MN /平面ABCD ;3、“面/面”的证明：“线/面”法：如图，在平面ABiCiDi上找到两条相交直线MN、MCi均平行于平面ABCD,则有平面A|BiCiDi /平面ABCD ;例题分析：1. a /,b/ ，则a与b的位置关系（

11、）A 平行 B 异面 C 相交D 以上情况均有可能2. a，b是两条不相交的直线，则过直线b且平行于a的平面（）A .有且只有一个B.至少有一个C.至多有一个D .以上答案都不对3、已知正方体 ABCD-ABCD中，E，EF/面 ADCF分别是AB，BC的中点。求证:C4、如图，已知矩形 ABCD所在平面外一点 P, E、F分别是AB, PC的中点 求证：EF/平面PAD;5. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，点 E、F分别为棱AB、PD的中点 求证：AF /平面PCE;PFDAEP6、如图，在正方体 ABCD A|B1CiDi中，E是AA）的中点，求证： AC/平面BDE 。DiBi

12、DCAE/!DiBiDE/!7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：PB /平面AEC .B8 .已知正四棱锥 P ABCD, M、MN / 平面 PBC;N分别是PA、BD上的点，且PM : MA = BN : ND =5 ：8，求证：直线PBD、 /NB9、正方体 ABCD-A 1B1C1D1, P、QC1分别是正方形10 .已知正三棱柱 ABC A1B1C1, D为AC中点。求证：直线 ABi/平面C1DB ;Ci11 .如图：已知A1B1 C1 ABC是正三棱柱，D是AC中点.证明:AB 1 /平面DBC 1;A1C1B1B112 .如图，在斜三棱柱A

13、BC A, B1C1中，E、F分别是棱B1C1- A1A的中点，证明A1E /平面B1FCBi13 如图，在四棱锥P ABCD中，四边形 点，求证：AF /面BDE ;F是PB的中14、如图PA丄平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点。求证：AF/平面PCE;B15.如图，平面 EFGH分别平行于CD,AB , E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上，且 CD a , AB b, CD AB .(1)求证：EFGH是矩形；(2)求当点E在什么位置时，EFGH 的面积最大.DC16.如图，在四棱锥S ABCD中，SA AB 2 , SB SD 2.2，底面ABCD是菱形，且 ABC 60 , E为CD的中点侧棱 SB上是否存在点 F , 使得CF /平面