10--第十章排列、组合、二项式定理

1、2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第十章排列、组合、二项式定理一、选择题（共24题）1. （北京巻）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，齐位数字之和为奇 数的共有（A） 36 个（B） 24 个（C） 18 个（D） 6 个解：依题总，所选的三位数字冇两种情况：（1） 3个数字都是奇数，有A；种方法（2） 3个 数字中有一个是奇数，有C；A；,故共有A； + C；A；=24种方法，故选B2. （福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中 至少有1名女生，则选派方案共有（A） 108 种（B） 186 种（0 216 种（D

2、） 270 种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有斥-斥=186种，选B.3. （湖北卷）在（X-*）4的展开式中，X的幕的指数是整数的项共有A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项1亢一缶解：l；ll=C24X24_r（-y= （-l/CX-,当 r=0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24时，x 的指数分别是 24, 20, 16, 12, 8, 4, 0, 一4, 一8,其中 16, 8, 4, 0, 一8 均为 2 的解数次幕，故选C4. （湖南卷某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投

3、资方案有（）A 16 种B. 36 种C. 42 种D. 60 种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有-=36种 方案，二是在三个城市各投资1个项目，有程=24种方案，共计有60种方案，选D5. （湖南卷）若（ax-1）5的展开式中疋的系数是80,则实数a的值是A. -2B. 2ylC. V4D. 2解析：（ax-if的展开式中丘的系数（说3.（-1）了04嘖=80*3,则实数帀的值是2,选D6. （湖南卷在数字1,2, 3与符号+ , 五个尤素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A. 6B. 12C. 18D. 24解析：先排列1，3,有 = 6种

4、排法，再将“ +“一”两个符号插入.有程=2种 方法.共有12种方法，选B.7. （江苏卷）（仮-2）山的展开式中含x的正整数折数幕的项数是（A） 0（B） 2（C） 4（D） 6【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的右关知BL【正确解答】仮一+）的展开式通项为c;2（y（-）10-r = ql）10-1 x-10,因此含x3x11的正整数次幕的项其右2项选B【解后反思】多项式乘法的进位规则在求系数过程中，尽量先化简，降底数的运算级别，尽最化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令x=0在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别8.(江西卷在(x-/2

5、 的二项展开式中，含x的奇次慕的项之和为S,当x=/2时, S等于()A.2W8B. -2s008C. 2咖D.-2*解：设(x 1 ) 2006=a0x2006+aiX200+ + a2oo5x + a2oo6则当 x= JT时，有 ao ( JT) 2006+ai (/2 ) 2005+ + a2oo5 ( JT ) +a2oo6=0 (1)当 x=-s/2 时，有 an (“)2006 a】(运)(血)+a=23009 (2)(1) - (2)有丸(/7) 2005 + - + a20o5(血)二一严9-* ?3008 故选 B9.（江西卷）在（仮+|）的二项展开式中，若常数项为60,则

6、n等于（）A. 3B. 6C. 9D. 12n-3x解：fn-3r=0*,由n3r=0解得n=6故选B2rC；=602C：=6010.（辽宁卷）C： + C； + C； + C； + C；的值为（）A. 61D. 64解：原式=2-2 = 62,选B11. （全国卷I）设集合I = h2,3,4,5。选择I的两个非空子集A和B,要使B |ii小的 数人于A中最大的数，则不同的选择方法共有A. 50种B. 49种C. 48种D. 47种解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C； =10种：若集合A中有一个元素, 集合B中有两个元素，则选法种数有C；=10种；若集合A中有一个元素，集合B

7、中有三 个元素，则选法种数有C； =5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法 种数有Cf=l种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C/=10 种：若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C；=5种：若集合A 中有两个元素，集合B中付三个元素，则选法种数有C；=l种；若集合A中有三个元素， 集合B中有一个元素，则选法种数有C；=5种；若集合A中冇三个元素，集合B中有两个 元素，则选法种数有C；=l种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种 数有C；=l种：总计有49种，选B解法二：集合A、B中没有柑同的元素，且都不是空集，从5个元素中

8、选出2个元素，有C；=10种选法，小的给A集合，人的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C/=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较人九索的一组的给B集合，共2x10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C； =5种选法，再分成1、3； 2、2： 3、1两组，较小 元素的一组给A集合，较人元素的一组的给B集合，共有3x5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C；=l种选法，再分成1、4： 2、3： 3、2； 4、1两组, 较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4x1=4种方法；总计为10+2015+4=49种方法。选B（1 1012. （全国卷I）在

9、X-丄 的展开式中，X的系数为I2X丿A. -120B. 120C. -15D. 15解析：在（X- ）10的展开式中，x4项是C（x）7（-）3=-15x4,选C.2x2x13. （全911） 5名七愿者分到了所学校支教，毎个学校至少去一名，忐愿者，则不同的分派方 法共有(A) 150种(B) 180 种(0 20C 种(D)280种解:人数分配上冇1二2与1,1,3两种方式，若是1,2,2,则冇 =60种若是1丄3,则仃x&=90种，所以共有150种，选A14.(山东卷)己知集合 2 5 ,B= 1,2 ,C= 1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构 成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的

10、不同点的个数为(A)33(B) 34(C) 35QD)36解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C1C=36但集合E、C中有相同元素1,由5. 1, 1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36-3 = 33个，选A15(山东卷)己知X2i V的展开式中第三项与第五项的系数之比为一2,其中i2=-i,14则展开式中常数项是(A)-45i(B) 451(C) -45(D)45解：第三项的系数为一C第五项的系数为C：,由第三项与第五项的系数之比为一右町4O-5ry(X严(一芒=(一i)萤 丁令40-5r=0,解得r=8,故所求的常数项为(-i)SC=45,选A16.(山东卷)已知(X?

11、-的展开式中第三项与第五项的系数之比为存则展开式中常数项是(A)-l(B)l(C)-45(p5解：第三项的系数为C：，第五项的系数为C：，由第三项与第五项的系数之比为色可得nnn14= 10,则4O-5r= (-l)rCX,令 40-5r=0,解得 r=8,故所求的常数项为(-1)$(4=45,选D17.(天津卷)将1个颜色互不和同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每 个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A. 10种B. 20种C. 36种D52种解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里 的球的个数不小于该盒子的编号，

12、分情况讨论：1号盒子中放1个球，其余3个放入2号 盒子，有C：=4种方法：1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C； = 6种方法；则不同的放球方法有10种，选A.18.(浙江卷)若多项式x2+x10 =a0+a1(x+l) (x+l)2 +a10(x+l)10,则吗=(A)9(B)10(0-9(D)-10【考点分析】本题考査二项式展开式的特殊值法，基础题。令x=-2,得a0 -aj +a2a9 4-a10 = 22 +210,令x=0,得a0 + aj + a2+ +a9 + a10 =019.(浙江卷)函数F:|1,2,3|T|1,2,3|满足f(F(x)= F(x),则这样的函数个

13、数共有 (A)l 个(B)4 个(C)8 个(D)10 个【考点分析】本题考查抽象函数的定义，中档题。解析：f(f(x)= f(x)即 f(X)= X20 (浙江卷)在二项式(X + 1的展开式中，含X3的顶的系数是(0)40(A)15(B)20(C)30解析：含X3的项的系数是 4=20,选B21.(重庆卷)若(3仮一斗的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为(A) -540(B) -162(C) 162(D) 540解析：若3仮-的展开式中各项系数之和为2 =64, 11 = 6,则展开式的常数项为一540,22.(重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习.每班至少1名，最

14、多2名则 不同的分配方案有(A) 3 0 种(B) 9 0 种(0180 种(D) 2 7 0 种解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名.则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有牢=15种方法,再将3组分到3个班，共有15 = 90种不同的分配方案，选B.23. (M庆卷)(2x-3)的展开式中X2的系数为(A) -2160(B) -1080(C) 1080(D) 2160解：I；ll=Cj(2x)5_r(-3y=由 5-r=2 解得 r=3,故所求系数为(一3P x 2? x C； = 1080 故选 B 24. (M庆卷)高三(一)班学要安排毕业晚

15、会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A） 1800（B） 3600（C） 4320（D） 5040解：不同排法的种数为程笛=3600,故选B二、填空题（共21题25. （安徽卷）设常数a0, （ax? +去展开式中x3的系数为扌，则a =。丄-lr31解：Txi = Cr2tx 2 由 Xs21 x 2 =丘,得= 2,由C：a4r =知a二一。巾 “ 2 226. （北京卷）在（/7-）7的展开式中，X2的系数中（用数字作答）.X7-3r令号一得円故X2的系数为(-2)xC = -14（ 2、27（北京巻）在x-_ 的展开式中，

16、2的系数是.（用数字作答）Ix丿解：I；+1 = C；X7-r（-）, = （-2）rC；X7-2r，令 72r = 3,解得 r = 2,故所求的系数为（-2）笃=84 X28. （福建卷）（x2 -）2展开式中X?的系数是用数字作答）X解：（X2 - ）5展开式中，X4项为1=4（疋产（一丄）2=1（,该项的系数是10. XX29. （广东卷）在（X-）11的展开式中，X5的系数为X解：Z+1 =C；x”（一兰）11 = （-2）11_r C x2r_11 = 2r -11 = 5 = r = 8 X所以x5 的系数为（-2）n-rC/-r =（-2）3C=-132030. （湖北卷）某工

17、程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程必须在工程丙完成后立即进行。那么安 排这6项工程的不同排法种数是一（用数字作答）解：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，町得有&=20种不同排法。31（湖北卷）安排5名歌于的演出顺序时，要求某名歌于不第一个出场，另一名歌于不最后一个出场，不同排法的总数是（用数字作答）解：分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手第一个出场，有Y种排法（2）不最后一个出场的歌手不第一个出场，有AA程种排法，故共有78种不同排法32. （湖南卷）若（ax-1）5的展开式中X3的系

18、数是-80,则实数3的值是.解：（ax-1）5的展开式中X3的系数C；（ax）3 （-1）21033=- 80则实数a的值是一233. （江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一 列有种不同的方法（用数字作答）。【思路点拨】木题考査排列组介的基木知识.【正确解答】由题意町知，内同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C沁 C； = 1260【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段也是基础方 法,在高中数学中，只右这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论令很多相通Z处,当遇到 比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简，达

19、到求解的目的34. （辽宁卷）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3爼新队员现从中选出3爼队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的 排法有种（以数作答）【解析】两老-噺时，有QxC；崔=12种排法，两新一老时，有C；C； x = 36种排法，即共有48种排法【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想35（全国卷I）安排7位工作人员在5月1 口到5月7 口值班，每人值班一天，其中甲、 乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种。（用数字作答）解析：先安排甲、乙两人在后5天值班，有& =20种排法，其余5人再进行排

20、列，有4=120 种排法，所以共有20x120=2400种安排方法。36 （全国口）在（x4+i）10的展开式中常数项是 （用数字作答）解析：心=C（X4）10_r（i）r =瑤xg要求常数项，即405i=0,nJ得p=8代入通项公式可得X = =4537. （陕西卷）（3x士尸展开式厂3的系数为 （用数字作答）解析：（3x-）12展开式中，才彳项为C13（3x）2.（-）1O=594X_3, X-3的系数是594.38. （陕西卷）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不 同去，甲和丙只能同去或同不去，町以分情况讨论，甲.丙同去，则乙不去，有C；=240 种选法；甲、丙同不去，乙去，有C；=240种选法：甲、乙、丙都不去，有=120种选法，共有600种不同的选派方案.39.（陕西卷）（2x-展开式中常数项为（用数字作答）13（=）6展开式中常=6042.（天津卷）（2x +却1的二项展开式中X的系数是（用数学作答）解析:40.（陕西卷）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同