高考数学总复习含答案：函数与方程(理)知识梳理

1、00函数与方程【考纲要求】1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。【知识网络】函数与方程函数的零点二分法函数与方程的关系【考点梳理】1函数零点的理解（1） 函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达 形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与 x 轴交点的个数（2） 变号零点与不变号零点1 若函数2 若函数f ( x )f ( x )在零点 x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数在零点 x 左右

2、两侧的函数值同号，则称该零点为函数f ( x )f ( x )的变号零点的不变号零点若函数f ( x )在区间a，b上的图象是一条连续的曲线，则f ( a ) f (b) 0 是 f ( x )在区间（a，b）内有零点的充分不必要条件要点诠释：如果函数最值为 0，则不能用此方法求零点所在区间。 2用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根求y = f ( x) 与 y =g ( x) （2）求曲线f ( x) -g ( x) =0的根的交点的横坐标，实际上就是求函数y = f ( x ) -g ( x)的零点，即要点诠释：如果函数的图象不能画出，

3、应通过适当的变形转换成另外的函数。 3关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题（1）第一步中要使：区间长度尽量小；f (a)、f (b)的值比较容易计算且f ( a ) f (b ) 0，f(1)-520, 且a 1)an =,则.，当2 a 3 b 4时，函数f ( x)的零点解：用数形结合法log x =-x +b a作出y =log x2及y =log x3的图象，作出y =-x+3 及 y =-x+4由图象可知，当 a在(2,3) 内变动，b在(3,4)内变动时，显然对数函数图象与直线y =-x+b的公共点皆在区间(2,3)内，即函数f ( x)的零点x (2,3)0，故n =2

4、类型二、确定函数零点的个数例 2.二次函数y =ax 2 +bx +c中，ac 0，则函数的零点的个数是( )a.1 b.2 c.0 d.无法确定解法 1：q ac 0方程ax2+bx +c =0有两个不相等的实数根函数y =ax 2 +bx +c有两个零点，选 b.解法 2：q ac =a f (0)0 a0 f0 0，不论哪种情况，二次函数图象与 x 轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选 b. 点评：可以利用函数图象或方程的判别式.() ( )举一反三：【变式】设函数 f(x)4sin(2x1)x，则在下列区间中函数 f(x)不存在零点的是( )a4，2 c0,2b2,0 d2,4解析：

5、本题判断 f(x)0 在区间内是否成立，即 4sin(2x1)x 是否有解如图：5 1 5 1显然在2,4内曲线 y4sin(2x1)，当 x 时，y4，而曲线 yx，当 x 4，有交4 2 4 2点，故选 a.答案：a例 3.（2015 安徽三模）定义在 r上的奇函数f(x)，当 x 0 时， f(x)log (x+1),x0,1) 1= 2，则关1-x -3 , x 1,+)于 x 的函数f (x)=f(x)-a(0a1)的所有零点之和为（ ）a2a-1b2-a-1c1 -2-ad1 -2a答案：d【解析】当 -1 x 0 ，当 x -1时， -x 1 ，q f (x)为奇函数q x 0-

6、log时，f x =-f -x =12(-x+1),x-1,0)画出y = f (x)和y =a (0a1)的图像如图-1+-x -3 , x (-,-1所示：共有 5 个交点，设其横坐标从左到右分别为 x ， x ， x ， x ， x ，则1 2 3 4 5x +x x +x1 2 =-3， 4 5 =3 2 2，而 -log (-x+1)=a即log 1 3(-x+1) 2 3=a21 -x =2 3a即x =1 -2 3a所以 x +x +x +x +x =1 -21 2 3 4 5举一反三：a，故选 d.【变式 1】（2015 河东区一模）函数f (x)=x-2-lnx在定义域内零点

7、的个数为（ ）a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 答案：c【解析】由题意，函数f (x)的定义域为(0,+)；求函数f (x)=x-2-lnx在定义域内零点的个数等价于求函数y =ln x 和函数 y = x -2的图像在(0,+)上的交点个数，在同一个坐标系下画出两个函数的图像如下：由图得，两个函数图像有两个交点，故对应函数有两个零点.故选 c.【变式 2】已知函数 f ( x ) = 1 -x2，g ( x) =x +a.若方程f ( x) -g ( x ) =0有两个不相等的实根，求实数 a 的取值范围。解析：方法一： y = f ( x ) = 1 -x2 x 2 +y 2 =1（

8、 y 0 ）的图象是圆心为 (0,0) ，半径 r =1 的半圆，f ( x) = 1 -x 2 、g ( x) =x +a的图象如下：设圆心到直线y =g ( x) =x +a距离为 d , 则直线与圆相切时，d =| a |2=1，解得 a = 2 ，由上图知：当1 a 2 时，二者相交于两个公共点，当-1a 1时，二者只有一个公共点，实数 a 的取值范围： a 1, 2).类型三、用二分法求函数的零点的近似值例 4.求函数f (x)=x3+2x2 -3 x -6的一个正数零点(精确到 0.1).解：由于f (1)=-60，可取区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：区间

9、中中点函1，21.5，21.5，1.751.625，1.751.6875，1.75点1.51.751.6251.68751.71875数值-2.6250.2344-1.3027-0.5618-0.1709由上表计算可知，区间1.6875，1.75的长度 1.75-1.6875=0.06250.1，所以可以将 1.6875 的近似 值 1.7 作为函数零点的近似值.点评：应首先判断 x 的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法 求其近似值.举一反三：【变式 1】用二分法求函数f (x)=x2-5的一个正零点（精确到0.01）解：由f (2)=-1,f(2.5)=1.

10、25，f (2)f(2.5)0可知函数的一个正零点在2,2.5 区间中；取 2,2.5 的区间中点 2.25 ；计算f (2.25)=5.0625 -5 =0.0625；由于f(2)f(2.25)0，则有零点的新区间为2,2.25 取 2,2.25 的区间中点 2.125 ；计算f (2.125)=4.494425 -5 =-0.505575；由于f (2.125)f(2.25)0，则有零点的新区间为2.125,2.25；取 2.125,2.25的区间中点 2.1875 ；计算f (2.1875)=4.7851563 -5 =-0.248437；由于f (2.1875)f(2.25)0，则有零

11、点的新区间为2.1875,2.25；取 2.1875,2.25的区间中点 2.21375 ；计算f (2.21375)=4.900689 -5 =-0.099311；由于f (2.21375)f(2.25)0，则有零点的新区间为2.21375,2.25；取 2.21375,2.25的区间中点2.231875计算f (2.231875)=4.981266 -5 =-0.018734；由于f (2.231875)f(2.25)0，则有零点的新区间为2.231875,2.25；取2.231875,2.25的区间中点2.2409375；计算f (2.2409375)=5.022081-5 =0.022081；19 由于20 由于f (2.231875)f(2.2409375)0，f (2.23640625)f(2.2409375)0 时，f(x)lnxax(ar)，方程 f(x)0 在 r 上恰有 5 个不 同的实数解(1) 求 x0 时，函数 f(x)的解析式；(2) 求实数 a 的取值范围解析：(1)设 x0，f(x)是偶函数，f(x)f(x)ln(x)ax(x0 时，f(x)的图像与 x 轴恰有两个不同的交点下面就 x0 时的情况讨论1f(x) a，x当 a0，f(x)0，f(x)lnxax 在(0，)上为增函数，故 f(x)0 在(0，)上不可能有两个实根1a0 时，