高中数学必修二-圆的方程典型例题

1、高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例 1 求过两点a(1 , 4)、b (3 , 2)且圆心在直线y =0上的圆的标准方程并判断点p (2 , 4)与圆的关系解法一：（待定系数法）解法二：（直接求出圆心坐标和半径）例 2 求半径为 4，与圆x 2 +y 2 -4 x -2 y -4 =0相切，且和直线y =0相切的圆的方程说明：圆相切有内切、外切两种例 3 求经过点a(0 , 5)，且与直线x -2 y =0和2 x +y =0都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上a，故只需确定圆心坐标又例 4、 设

2、圆满足：(1)截y轴所得弦长为 2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3 :1，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l：x -2 y =0的距离最小的圆的方程分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个 条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线 的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方 程1类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5 已知圆o ： x2 +y 2=4 ，求过点 p (2，4)与圆o相切的切线说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要

3、注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解）例 6 两圆c ： x12 +y 2 +d x +e y +f =0 与 c ： x 2 +y 21 1 1 2+d x +e y +f =0 相交于 a 、 b 两 2 2 2点，求它们的公共弦 ab 所在直线的方程分析：首先求 a 、 b 两点的坐标，再用两点式求直线 ab 的方程，但是求两圆交点坐标的过程 太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧例 7、过圆x2 +y 2=1 外一点 m (2,3)，作这个圆的两条切线 ma 、 mb ，切点分别是 a 、 b ，求直线 ab 的

4、方程。练习：1求过点m (3,1)，且与圆( x -1)2 +y 2 =4相切的直线l的方程2、过坐标原点且与圆x 2 +y 2 -4 x +2 y +52=0相切的直线的方程为3、已知直线5x +12 y +a =0与圆x 2 -2 x +y 2 =0相切，则a的值为.类型三：弦长、弧问题例 8、求直线l : 3 x -y -6 =0 被圆 c : x2 +y 2-2 x -4 y =0 截得的弦 ab 的长.22 22 222y 2例 9、直线 3x y 2 3 0截圆x 2 y 2 4得的劣弧所对的圆心角为例 10、求两圆x 2 y 2 x y 2 0和x2 y 25的公共弦长类型四：直

5、线与圆的位置关系例 11、已知直线3x y 2 3 0和圆x 2 y 2 4，判断此直线与已知圆的位置关系.例 12、若直线y x m与曲线y4 x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.例 13、圆(x 3) (y 3) 9 上到直线 3x 4 y 11 0的距离为 1 的点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答练习 1：直线x y 1 与圆 x2 y 22ay 0 (a 0)没有公共点，则 a 的取值范围是练习 2 ：若直线y kx 2 与圆 (x 2) (y 3) 1有两个不同的交点，则k的取值范围是 .3、 圆x y 2x 4 y 3 0 上

6、到直线 x y 1 0的距离为 2 的点共有（ ）（a ）1 个 （b ）2 个 （c ）3 个 （d ）4 个4、 过点p 3， 4 作直线 l，当斜率为何值时，直线ly与圆c ：x 12 24有公共点，如图所示oxe3p2 2类型五：圆与圆的位置关系例 14、判断圆c : x12 +y 2 +2 x -6 y -26 =0 与圆 c : x 2 +y 22-4 x +2 y +4 =0的位置关系，例 15：圆x 2 +y 2 -2 x =0和圆x 2 +y 2 +4 y =0的公切线共有条。练习1：若圆x 2 +y 2 -2 mx +m 2 -4 =0 与圆 x 2 +y 2 +2 x -

7、4 my +4 m 2 -8 =0相切，则实数m的取值集合是.2：求与圆x2+y2=5 外切于点 p ( -1,2)，且半径为 2 5 的圆的方程.类型六：圆中的对称问题例 16、圆x 2 +y 2 -2 x -6 y +9 =0关于直线2 x +y +5 =0对称的圆的方程是例 17、自点a(-3，3)发出的光线l射到x 轴上，被 x 轴反射，反射光线所在y的直线与圆c：x2 +y 2-4 x -4 y +7 =0相切（1）求光线 （2）光线自l 和反射光线所在的直线方程 a 到切点所经过的路程ma cng o bxa图类型七：圆中的最值问题例 18、圆x 2 +y 2 -4 x -4 y

8、-10 =0上的点到直线x +y -14 =0的最大距离与最小距离的差是例 20：已知a( -2,0)，b (2,0)，点p在圆( x -3) 2 +( y -4) 2 =4上运动，则pa + pb的最小值是.42 2 22 2练习：1：已知点p( x, y)在圆x 2 +( y -1) 2 =1上运动.（1）求y -1x -2的最大值与最小值；（2）求2 x +y的最大值与最小值.2 、已知点 a( -2, -2), b ( -2,6), c (4, -2) ，点p在圆 x2+y2=4 上运动，求 pa + pb + pc的最大值和最小值.类型八：轨迹问题例 21、基础训练：已知点 m 与两

9、个定点 o (0,0)，a(3,0)的距离的比为12，求点 m 的轨迹方程.例 22、已知线段ab的端点b的坐标是（4，3），端点a在圆( x +1) 2 +y 2 =4上运动，求线段ab的中点 m 的轨迹方程.例 23、如图所示，已知圆o ： x +y =4与y轴的正方向交于a点，点b在直线y =2上运动，过b 做圆 o 的切线，切点为 c ，求 dabc 垂心 h 的轨迹分析：按常规求轨迹的方法，设h ( x , y )，找x , y的关系非常难由于h点随b，c点运动而运动，可考虑h，b，c三点坐标之间的关系做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹

10、方程已知，可考虑代入法5例 24、已知圆的方程为x 2 +y 2 =r 2，圆内有定点p ( a , b )，圆周上有两个动点a、b，使pa pb，求矩形apbq的顶点q的轨迹方程练习：1、由动点p向圆x2+y2=1引两条切线pa、pb，切点分别为a、b，apb=600，则动点p的轨迹方程是.练习巩固：设a( -c,0), b (c,0)( c 0)为两定点，动点p到a点的距离与到b点的距离的比为定值a (a 0)，求p点的轨迹.2、已知两定点a( -2,0)，b (1,0)，如果动点p满足pa =2 pb，则点p的轨迹所包围的面积等于4 、已知定点b (3,0)，点a在圆x 2 +y 2 =

11、1上运动，m是线段ab上的一点，且am =13mb，问点m的轨迹是什么？6例 5、已知定点b (3,0)，点a在圆x 2 +y 2 =1上运动，aob的平分线交ab于点m，则点m的轨迹方程是.练习巩固：已知直线y =kx +1与圆x 2 +y 2 =4相交于a、b两点，以oa、ob为邻边作平行四边形 oapb ，求点 p 的轨迹方程.类型九：圆的综合应用例 25、 已知圆x 2 +y 2 +x -6 y +m =0与直线x +2 y -3 =0相交于p、q两点，o为原点，且op oq ，求实数 m 的值例 26、已知对于圆x2 +( y -1) 2=1 上任一点 p ( x , y )，不等式x +y +m 0恒成立，求实数 m