高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)汇编

1、2学习-好资料数学必会基础题型平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量 ：既有大小又有方向的量。记作： ab 或 a 。2. 向量的模 ：向量的大小（或长度），记作： | ab | 或 | a | 。3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。若 e 是单位向量，则 | e |=1 。4. 零向量：长度为 0 的向量。记作： 0 。【 0 方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。 ab =-ba 。8. 三角形法则：ab +bc =ac ； a

2、b +bc +cd +de =ae ； ab -ac =cb （指向被减数）9.平行四边形法则 ：以 a , b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a +b ， a -b 。10.共线定理： a =lb a / / b 。当 l0 时， a与b 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。同向；当 l0 时， a与b反向。12.向量的模： 若 a =( x, y ) ，则 | a |= x 2 +y 2 ， a =|a |2 ， | a +b |= ( a +b )213.数量积与夹角公式： a b=|a | |b | cosq；cos q =a b | a | |b |14.平行与垂直

3、： a / / b a =lb x y =x y ； a b a b=0 x x +y y =0 1 2 2 1 1 2 1 2题型 1.基本概念判断正误 ：（1） 共线向量就是在同一条直线上的向量。（2） 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4） 四边形 abcd 是平行四边形的条件是 ab =cd 。（5） 若 ab =cd ，则 a、b、c、d 四点构成平行四边形。 （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。 （7）若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。（8）若 ma =mb ，则 a =b 。更多精品文档

4、学习-好资料（9） 若 ma =na ，则 m =n 。（10） 若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。（11） 若 a b=|a | |b | ，则 a / / b 。（12） 若 | a +b |=|a -b | ，则 a b 。题型 2.向量的加减运算1.设 a 表示“向东走 8km”, b 表示“向北走 6km”,则 | a +b |=。2.化简 ( ab +mb ) +( bo +bc ) +om =。3.已知 | oa |=5 , | ob |=3 ,则 | ab | 的最大值和最小值分别为 、 。4.已知 ac为 ab与 ad 的和向量，且 ac =a , bd

5、=b ，则 ab =， ad =。5.已知点 c 在线段 ab 上，且 ac =35ab ,则 ac =bc ， ab =bc 。题型 3.向量的数乘运算1.计算：（1） 3(a +b ) -2( a +b ) =12.已知 a =(1,-4), b =( -3,8) ，则 3a - b =2（2） 2(2 a +5b -3c ) -3( -2a +3b -2 c ) = 。题型 4.作图法球向量的和1 3已知向量 a , b ，如下图，请做出向量 3a + b 和 2a - b 。2 2ab题型 5.根据图形由已知向量求未知向量1. 已知在 dabc 中， d 是 bc 的中点，请用向量 a

6、b，ac 表示 ad 。2. 在平行四边形 abcd 中，已知 ac =a , bd =b ，求 ab和ad 。题型 6.向量的坐标运算1. 已知 ab =(4,5) ， a(2,3) ，则点 b 的坐标是 。2. 已知 pq =( -3, -5) ， p (3,7) ，则点 q 的坐标是 。3. 若物体受三个力 f =(1,2) , f =( -2,3) , f =( -1,-4) ,则合力的坐标为 。1 2 3更多精品文档学习-好资料4. 已知 a =( -3,4) ， b =(5, 2) ，求 a +b ， a -b ， 3a -2b 。5. 已知 a(1,2), b (3,2) ,向量

7、 a =( x +2, x -3 y -2) 与 ab 相等，求 x, y 的值。 6.已知 ab =(2,3) ， bc =( m, n ) ， cd =( -1,4) ，则 da =。7.已知 o 是坐标原点， a(2, -1), b ( -4,8) ，且 ab +3 bc =0 ，求 oc 的坐标。题型 7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知 e , e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：1 2a. e +e 和e -e 1 2 1 2b. 3e -2e 和4e -6e 1 2 2 1c. e +3e 和e -3e 1 2 2 1d. e 和e -e 2 2 12

8、.已知 a =(3,4) ，能与 a 构成基底的是（ ）3 4 4 3 3 4 4a. ( , ) b. ( , ) c. ( - , - ) d. ( -1, - )5 5 5 5 5 5 3题型 8.结合三角函数求向量坐标1. 已知 o 是坐标原点，点 a 在第二象限， | oa |=2 ， xoa =150 ，求 oa 的坐标。2. 已知 o 是原点，点 a 在第一象限， | oa |=4 3 ， xoa =60 ，求 oa 的坐标。题型 9.求数量积1.已知 | a |=3,| b |=4 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，求（1） a b，（2） a (a +b ) ，1（3） (

9、 a - b ) b，（4） (2 a -b ) (a +3b ) 。22.已知 a =(2, -6), b =( -8,10) ，求（1） | a |,| b | ，（2） a b，（3） a (2a +b ) ， （4） (2 a -b ) (a +3b ) 。题型 10.求向量的夹角1. 已知 | a |=8,| b |=3 ， a b=12 ，求 a 与 b 的夹角。2. 已知 a =( 3,1), b =( -2 3, 2) ，求 a 与 b 的夹角。 更多精品文档学习-好资料3.已知 a(1,0) ， b(0,1) ， c (2,5) ，求 cos bac 。题型 11.求向量的模

10、1.已知 | a |=3,| b |=4 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，求（1） | a +b | ，（2） | 2 a -3b | 。12.已知 a =(2, -6), b =( -8,10) ，求（1） | a |,| b | ，（5） | a +b | ，（6） | a - b | 。23.已知 | a |=1，|b |=2 ， | 3a -2b |=3 ，求 | 3a +b | 。题型 12.求单位向量 【与 a 平行的单位向量： e =a| a |】1.与 a =(12,5) 平行的单位向量是 。12.与 m =( -1, ) 平行的单位向量是 。2题型 13.向量的平行与垂直

11、1.已知 a =(6,2) ， b =( -3, m ) ，当 m 为何值时，（1） a / / b ？（2） a b ？2.已知 a =(1,2) ， b =( -3, 2) ，（1） k 为何值时，向量 ka +b 与 a -3b 垂直？ （2） k 为何值时，向量 ka +b 与 a -3b 平行？3.已知 a 是非零向量， a b=a c，且 b c ，求证： a (b -c ) 。题型 14.三点共线问题1.已知 a(0, -2) ， b (2, 2) ， c (3,4) ，求证： a, b , c 三点共线。更多精品文档学习-好资料2.设 ab =22( a +5b ), bc =

12、-2a +8b, cd =3(a -b ) ，求证： a、b、d 三点共线。3.已知 ab =a +2b , bc =-5a +6b, cd =7 a -2b ，则一定共线的三点是 。 4.已知 a(1,-3) ， b (8, -1) ，若点 c (2 a -1, a +2) 在直线 ab 上，求 a 的值。5.已知四个点的坐标 o (0,0) ， a(3,4) ，b ( -1,2) ，c (1,1)，是否存在常数 t ，使 oa +tob o=c 立？题型 15.判断多边形的形状1. 若 ab =3e ， cd =-5e ，且 | ad |=|bc | ,则四边形的形状是 。2. 已知 a(

13、1,0) ， b (4,3) ， c (2, 4) ， d (0,2) ，证明四边形 abcd 是梯形。成3.已知 a( -2,1) ， b (6, -3) ， c (0,5) ，求证： dabc 是直角三角形。4.在平面直角坐标系内， oa =( -1,8), ob =( -4,1), oc =(1,3) ,求证： dabc 是等腰直角三角形。题型 16.平面向量的综合应用1.已知 a =(1,0) ， b =(2,1) ，当 k 为何值时，向量 ka -b 与 a +3b 平行？ 2.已知 a =( 3, 5) ，且 a b ， | b |=2 ，求 b 的坐标。3.已知 a与b 同向，

14、b =(1,2) ，则 a b=10 ，求 a 的坐标。3.已知 a =(1,2) ， b =(3,1) ， c =(5,4) ，则 c =a +b 。4.已知 a =(5,10) ， b =( -3, -4) ， c =(5,0) ，请将用向量 a , b 表示向量 c 。更多精品文档学习-好资料5.已知 a =( m,3) ， b =(2, -1) ，（1）若 a 与 b 的夹角为钝角，求 m 的范围；（2）若 a 与 b 的夹角为锐角，求 m 的范围。6.已知 a =(6,2) ， b =( -3, m) ，当 m 为何值时，（1） a 与 b 的夹角为钝角？（2） a 与 b 的夹角

15、为锐角？7.已知梯形 abcd 的顶点坐标分别为 a(-1,2) ， b (3,4) ， d (2,1) ，且 ab / / dc ， ab =2cd ， 求点 c 的坐标。8.已知平行四边形 abcd 的三个顶点的坐标分别为 a(2,1) ，b ( -1,3) ，c (3,4) ，求第四个顶点 d 的坐标。9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30 角，求 水流速度与船的实际速度。10. 已知 dabc 三个顶点的坐标分别为 a(3,4) ， b (0,0) ， c (c ,0) ，（1）若 ab ac =0 ，求 c 的值；（2）若 c =5

16、 ，求 sin a 的值。【备用】1. 已知 | a |=3,| b |=4,| a +b |=5 ，求 | a -b | 和向量 a , b 的夹角。2. 已知 x =a +b ， y =2 a +b ，且 | a |=|b |=1 ， a b ，求 x, y 的夹角的余弦。1. 已知 a =(1,3), b =( -2, -1) ，则 (3a +2b ) (2a -5b) =65 。4. 已知两向量 a =(3, 4), b =(2, -1) ，求当 a +xb与a -b 垂直时的 x 的值。5. 已知两向量 a =(1,3), b =(2,l) ， a与b 的夹角 q为锐角，求 l的范围

17、。变式：若 a =( l, 2), b =( -3,5) ， a与b 的夹角 q 为钝角，求 l 的取值范围。更多精品文档学习-好资料选择、填空题的特殊方法：1.特例法例：全品p27：4。因为 m,n 在 ab,ac 上的任意位置都成立，所以取特殊情况，即 m,n 与 b,c 重合时，可以得到 m =n =1 ，m +n =2 。2.代入验证法例：已知向量 a =(1,1),b =(1,-1), c =( -1, -2) ，则 c =（ d ）1 3 1 3 3 1 3 1a. - a - b b. - a + b c. a - b d. - a + b2 2 2 2 2 2 2 2变式：已知 a =(1,2), b =( -1,3), c =( -1,2) ，请用 a , b 表示 c 。解： 设 c =xa +yb ，则 ( -1,2) =x(1,2