第14讲 中位线及其应用

1、第十四讲 中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中 点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应 用例 1 如图 2-53 所示abc 中，adbc 于 d，e，f，abc 的面积分析 由条件知，ef，eg 分别是三角形 abd 和三角形 abc 的中位线利 用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出abc 的高 ad 及 底边 bc 的长解 由已知，e，f 分别是 ab，bd 的中点，所以，ef 是abd 的一条 中位线，所以由条件 ad+ef=12(厘米)得ef=4(厘米)，从而 ad=8(厘米)，由于 e，g 分别是 ab，ac

2、 的中点，所以 eg 是abc 的一条中位线，所以bc=2eg=26=12(厘米)，显然，ad 是 bc 上的高，所以例 2 如图 2-54 所示abc 中，b，c 的平分线 be，cf 相交于 o，agbe 于 g，ahcf 于 h(1) 求证：ghbc；(2) 若 ab=9 厘米，ac=14 厘米，bc=18 厘米，求 gh分析 若延长 ag，设延长线交 bc 于 m由角平分线的对称性可以证明 abgmbg，从而 g 是 am 的中点；同样，延长 ah 交 bc 于 n，h 是 an 的中点，从而 gh 就是amn 的中位线，所以 ghbc，进而，利用abc 的三边长可求出 gh 的长度(

3、1)证 分别延长 ag，ah 交 bc 于 m，n，在abm 中，由已知，bg 平 分abm，bgam，所以abgmbg(asa)从而，g 是 am 的中点同理可证achnch(asa)，从而，h 是 an 的中点所以 gh 是amn 的中位线，从而，hgmn， 即hgbc(2)解 由(1)知，abgmbg 及ach nch，所以ab=bm=9 厘米，ac=cn=14 厘米又 bc=18 厘米，所以bn=bc-cn=18-14=4(厘米)，mc=bc-bm=18-9=9(厘米)从而mn=18-4-9=5(厘米)，说明 (1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分 线三线合一(即等

4、腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定 理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平 分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”(2) “等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三 角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形， 这条平分线垂直于对边”同学们不妨自己证明(3) 从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“b，c 的平 分线”改为“b(或c)及c(或b)的外角平分线”(如图 2-55 所示)， 或改为“b，c 的外角平分线”(如图 2-56 所示)，其余条件不变，那 么，结论 ghbc 仍然成立同学们也不妨试证例 3

5、如图 2-57 所示p 是矩形 abcd 内的一点，四边形 bcpq 是平行 四边形，a，b，c，d分别是 ap，pb，bq，qa 的中点求证：a c=bd分析 由于 a，b，c，d分别是四边形 apbq 的四条边 ap，pb， bq，qa 的中点，有经验的同学知道 abcd是平行四边形，ac 与 bd则是它的对角线，从而四边形 abcd应该是矩形利用 abcd 是矩形的条件，不难证明这一点证 连接 ab，bc，cd，da，这四条线段依次是apb， bpq，aqb，apq 的中位线从而abab，bcpq，cdab，dapq，所以，abcd是平行四边形由于 abcd 是矩形，pcbq 是平行 四

6、边形，所以abbc，bcpq从而abpq，所以 abbc，所以四边形 abcd是矩形，所以ac=bd 说明 在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩 大已知的作用如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边 形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用因此注意归纳总结，积累经 验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的例 4 如图 2-58 所示在四边形 abcd 中，cdab，e，f 分别是 ac， bd 的中点求证：分析 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取 ad 中点证 取 ad 中点 g，连接 eg，fg，在acd 中，eg

7、是它的中位线(已知 e 是 ac 的中点)，所以同理，由 f，g 分别是 bd 和 ad 的中点，从而，fg 是abd 的中位线，所以在efg 中，efeg-fg 由，例 5 如图 2-59 所示梯形 abcd 中，abcd，e为 bc 的中点，ad=dc+ab求 证：deae分析 本题等价于证明aed 是直角三角形，其中aed=90在 e 点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形 的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形 aed 的斜边(即 梯形另一腰)的一半，则问题获解证 取梯形另一腰 ad 的中点 f，连接 ef，则 ef 是梯形 abcd 的中位线， 所以因

8、为 ad=ab+cd，所以从而1=2，3=4，所以2+3=1+4=90(ade 的内角和等于 180)从而aed=2+3=90，所以 deae例 6 如图 2-60 所示abc 外一条直线 l，d，e，f 分别是三边的中 点，aa ，ff ，dd ，ee 都垂直 l 于 a ，f ，d ，e 求证：11111111aa +ee =ff +dd 1111分析 显然 adef 是平行四边形，对角线的交点 o 平分这两条对角线， oo 恰是两个梯形的公共中位线利用中位线定理可证1证 连接 ef，ea，ed由中位线定理知，efad，deaf，所以 adef 是平行四边形，它的对角线 ae，df 互相平

9、分，设它们交于 o，作 oo l于 o ，则 oo 是梯形 aa e e 及 ff d d 的公共中位线，所以1111111即 aa +ee =ff +dd 1111练习十四1 已知abc 中，d 为 ab 的中点，e 为 ac 上一点，ae=2ce，cd，be 交于 o 点，oe=2 厘米求 bo 的长2 已知abc 中，bd，ce 分别是abc，acb 的平分线，ahbd 于 h，afce 于 f若 ab=14 厘米，ac=8 厘米，bc=18 厘米，求 fh 的长3 已知在abc 中，abac，adbc 于 d，e，f，g 分别是 ab，bc， ac 的中点求证：bfe=egd4 如图 2-61 所示在四边形 abcd 中，ad=bc，e，f 分别是 cd，ab 的中点，延长 ad，bc，分别交 fe 的延长线于 h，g求证：ahf=bgf5 在abc 中，ahbc 于 h，d，e，f 分别是 b