勾股定理题目类型总结

1、经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1. 如图/B=Z ACD90 , At=13,Ct=12, BC=3,则 AB的长是多少类型二：勾股定理的构造应用2、 如图，已知：在中，一三-匸，-二，崔- 1:.求：BC的 长.举一反三 【变式1】如图，已知：匚，f，用上三于P. 求证:Bb【变式2】已知：如图，/ B二/ D=90,Z A=60, AB=4 CD=2求：四边形 ABCD的面积类型三:勾股定理的实际应用4. 一辆装满货物的卡车，其外形高米，宽米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这 辆卡车能否通过该工厂的厂门？7ViD1X绑一15、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全

2、国各地农村进行 电网改造，某地有四个村庄 A、B、C D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计 划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你 帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm高AE为4cm EC是上底面的直 径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程. 类型四：利用勾股定理作长为再的线段6. 作长为/、宀、H的线段举一反三【变式】在数轴上表示f的点。类型五：逆命题与勾股定理逆定理7、如果 ABC勺三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c判断 ABC的形状。举一

3、反三【变式1】四边形ABC中, Z B=90, AB=3 BC=4 CD=12 AD=13求四边形ABCD勺面积【变式2】如图正方形ABCD E为BC中点，F为AB上一点,1且 BF$ AB请问FE与DE是否垂直请说明。经典例题精类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3: 4,斜边长是20 ,求此直角三角形的 面积【变式1】若直角三角形的三边长分别是 n+1, n+2, n+3,求n类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30，点A处有一所中学, AP= 160m假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机

4、在公 路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由，如果受影响，已 知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒【变式】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边 长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABC冶有多少个单位正三角形平行四边形 ABCD 的面积是多少（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。在BCD由条件-3 ，想到构造含角的直角三角形，为此作二二-X于D,_三匸J而求出BC的长.解析：作2，再由勾股定理计算出AD血丄比于D则因丸 ,类型三：数学思想方法方程的思

5、想方法3. 如图所示，已知 ABC中，/ C=90 ,Z A=60,：，求-、的值。B举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD,使点D落 边的点F处，已知 AB=8cm BC=10cm求EF的长。类型一：勾股定理的直接用法答案T/ ACD90。丹AD =13, CD=12 二 AC二AD CD = 13 2 122 =25 二 AC=5 又丁/ ABC=90 且 BC=3 由勾股定理可得 AB=ACBC =5 2 32 =16 /.AB= 4 二 AB 的 长是4.类型二：勾股定理的构造应用 思路点拨： 则有皿二丄*启二巧A3_600 = 300 昨的两个锐角互余）二2（在妣中，如果一

6、个锐角等于三厂 那么它所对的直角边等于斜边的一半）根据勾股定理，在中，-丄11-1一.根据勾股定理，在三丄儿匚中，UD=少1 = j7L-15g = 65 . 二 BC = ED + DO= 65 + 15= SO解析：连结BM根据勾股定理，在昭MP中，加事胪-加.而在BiAMP中，贝肪艮据勾股定理有MF0 -血.二-又.二甘二二门 （已知）.苗=誠 -CM）+曲0.在pbcm中，根据勾股定理有 BMCM2=SC2 , . 加=肘+血 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC或延长AB DC交于F, 或延长AD BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边 选

7、第三种较为简单。解析：延长 AD BC交于 E。A二/ 60,/ B=90,.AE=2AB=8 CE=2CD=,4.B=A-AB2=82-42=48, BE= =恥。 TDE二 CE2-CD2=42-2 2=12,. DE= =。丄1_ S 四边形 ABC=SABES CDEF AB BE CD- DE=类型三：勾股定理的实际应用【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线米处，且 CDLAB,与地面交于H解：OC= 1米（大门宽度一半），0。=米 （卡车宽度一半）/F在Rt OC中，由勾股定理得=JF-佰=0 . 6米，.*f

8、)C H=0 . 6 + 2 . 3 = 2 . 9（米）2 . 5（米）.因此高度上有米的余 4/i量，所以卡车能通过厂门.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算 线路长，然后进行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD = 3,AB+BC+C03图（3）中，在 Rt ABC中 I ” 亠 同理图（3）中的路线长为:-图（4）中，延长EF交BC于 H,贝卩FH丄BC BH= CH30,5/ =1主， f 邑由/ FBH=-及勾股定理得：EA = ED= FB= FC=】； EF= 1 2FH= 1-此图

9、中总线路的长为 4EA+EM I八如图，在Rt ABC中，EC=底面周长的一半=10 cm 根据勾股定理得（提问：勾股定理） AC= * “厂厂=一 I匸 =10.77（ cm）（勾股定理）.答：最短路程约为1 0.77 cm思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于丄，直角边为/和1的直角三角形斜边长就是,，类似地可作宀作法：如图所示(1)作直角边为1 (单位长)的等腰直角 ACB使AB为斜边；(2)以AB为一 条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；(3)顺次这样做下去，最 后做到直角三角形-/-，这样斜边、-存、胪的长度就是u O解析：可以把看作是直角三角形的斜边

10、，I7 ，为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3和1。作法：如图所示在数轴上找到 A点，使0A=3作ACLOA且截取AC=1以0C 为半径，以0为圆心做弧，弧与数轴的交点 B即为- - o思路点拨：要判断厶ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c故只有从该条件入手，解决问题。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c 得：2 2 2 2 2 2 2a -6a+9+b-8b+16+c-10c+25=0, 二(a-3) +(b-4) +(c-5) =0。v (a-3) 0,

11、 (b-4) 0, (c-5) 0。a=3 , b=4, c=5ov 32+42=52,a 2+b2=c2o 由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。【答案】：连结 AC/ B=90, AB=3 BC=4B AC二AB+BC=25 （勾股定理）二 AC=5v aC+CD=169, aD=169 二 AC+CD=AD/ ACD=90 (勾股定理逆定理)十4 A 一分析：本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明：a2+b2=c2即可证明.厶亠- 1. ,J l： :;：1 I : -二強4十2 +沪 0所以 AB

12、C是直角三角形.【答案】答：DEI EF。证明：设 BF=a 贝S BE=EC=2a, AF=3a AB=4a, EF2二BF+BE二a2+4a2=5a2; DE2二cE+CD=4a2+16a2=20a2。连接 DF （如图）DF2二AF+AD=9a2+16a2=25a2。： DF2二EF+DE, FE 丄 DE思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过 比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积解析：设此直角三角形两直角边分别是 3x, 4x,根据题意得：(3x) 2+ (4x) 2= 202化简得x2= 16;直角三角形的面积=-x 3xx

13、 4x=6x2= 96思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为 n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2=(n+3) 2化简得：n2 = 4 n= 2,但当 n= 2 时，n+1 = 10,二 n = 2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题 目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2= a2+b2的变形：b2= c2 a2=(c a) (c+a)来判断。例 如：对于选择D,v82工(40+3

14、9)X( 40 39)， 以8，39，40为边长不能组成直角三角形。解：连结 AC vZ B=90, AB=3 BC=4 AC二AB+BC=25（勾股定理二 AC=5 vAC+CD=169, aD=169.aC+cDaDJ.丄Z ACD=90 （勾股定理逆定理） S 四边形 abc=Smbc+Sxac= AB- BC+ AC- CD=36思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A,实质上是看A到公路的距离是 否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其 长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖

15、拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作 AB1 MN 垂足为 Bo 在 Rt ABP中，vZ ABP= 90, Z APB= 30, AP=160,丄 AB=IAP= 80o （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半）v点A到直线MN的距离小于100m,.这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么 AC= 100(m),3600, BC= 60o同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD= 100（m）, BD= 60（m）, CD= 120(m)o拖拉机行驶的速度为：18km/h = 5m/s

16、 t = 120m 5m/s=24s o答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。【答案】（1）单位正三角形的高为亠，面积是一.二(2)如图可直接得出24 X 平行四边形ABCD有24个单位正三角形，因此其面积(3)过A作AK2丄BC于点K （如图所示），则在Rt ACK中,AC = /aK1 + KC 故 思路点拨：由nr，再找出二、上的关系即可求出庄和：的值解：在 Rt ABC中，/ A=60,Z B=90 - /A=30,贝卜一二，由勾股定理，得：/：， ：