微积分II课程第4章中值定理导数的应用

1、第四章第四章 中值定理与导数的应用 4.1中值定理教学目的：1理解罗尔定理与拉格朗日中值定理;2掌握定理的初步应用；3 了解柯西中值定理。教学重点：罗尔定理和拉格朗日定理及初步应用。教学难点：定理的初步应用。教学方法：讲解法、启发式教学时数：2学时教学过程：在上一章，已经讨论了函数f(X)的导数，本章将讨论导数的应用，主要有以下三个方面,1导数用于讨论未定式的极限，2研究函数的图象即曲线的某些性态，3解决一些实际问题。这些应用的理论基础是中值定理，它相当于导数与其应用之间的桥梁。、中值定理微分中值定理包括：罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。(一) 罗尔定理1 定理：若函数y二f (x)满足:(

2、1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f(a) = f (b)，即在两端点处的函数值相等；，则至少存在一点(a,b)，使得f( J =0。2 几何解释10.5-y =f(x )E2-0.5El-1_-101234567如图，如果连续光滑的曲线、二f (x)在点A、B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点c (匕，f()处的切线平等 X轴。显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取得，由此启发了我们的证明思路3、定理的证明：函数f(x)在闭区间ia,b上连续，所以在闭区间a,b上一定存在最大值m和最小值m. 若m = M，则f (x) =M x乏a b】，则在(a,

3、b)内恒有f x) = 0 ,那么(a,b)内的每一点都可取作,定理成立。 若m = M，则必是m ： M，因f (a) = f (b)，所以m和m中至少有一个不等于f(a)，不妨设 M = f (a)，则在(a,b)内至少有一点，使得 f( J = M 因f)= M是最大值，所以无论 x为正或负，总有：f：x) - f()乞0(a,b)碧x 5,有 f(因f)存在及极限的保号性有：fJ)-f()f ( ) = limx0Axto味同理，当x 0时，有 f(x)-f()_ oLX4说明：注1.罗尔定理中的三个条件是充分条件，缺一不可否则结论不一定成立.(即：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足，

4、其结论可能不成立.)(反例见教材p146图4-2 ), 女口 f(x) =|x|在区间上除f(0)外，满足罗尔定理的条件，但在区间上13找不到一点能使 f(x) = 0.注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的，如sin xf (x) = cosx0 _ x _ b43 二 5 二x -4 4此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足,但是却存在=和=二，使2f(2)m注3.罗尔定理是定性的结果它只肯定了至少存在一个,而不能肯定的个数，也没有指出实际计算的值的方法.但对某些简单情形，可从方程中解出.(如p145例1) 例1不求导数，判断函数 f (x) = (x ：；1)(x _ 2)(

5、x _ 3)的导数等于零(f (x) = 0)有几个实根，以及它所在范围。解：因 f (一1) = f(2) = f (3) =0，而f(X)在7,2卜12,3 上满足罗尔定理的条件；因此，在(1,2)内至少存在一点 刍，使得f (勺)=0，即J是f(X)= 0的一个根。在(2,3)内至少存在一点2，使得2) = 0，即2是f(x)=0的一个根。而f (x)是二次多项式，只能有两个实根分别在开区间(-1,2)、(2,3)内。实际上，罗尔定理的端点条件要求非常强，将它去掉后就有(二) 拉格郎日定理1拉格朗日中值定理：设函数y二f (x)满足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内

6、可导。 则在(a,b)内至少存在一点，使得匸()=f(b) -f(a)，或 f (b) = f (a) f( )(b - a)，(a,b)b a也称微分中值定理。说明：若有f(a)二f(b)，则为罗尔定理。2几何解释如图p47,在连续光滑的曲线段 y = f (x)上至少存在一点c(J f(),在该点C 处的切线平行于弦 AB。3 证明：(略)其指导思想是作辅助函数：(x) = f(x)-f - fibf2(a)用罗尔定理证明。4 两个推论推论1若函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数 厂(x)=0，则函数f(x)在区间(a,b) 内是常数。例 2 求证 arctan x arc cot

7、 x =2证明：令 f (x)二 arctanx arccotx&)=吉一吉=0 . f(x)二 C (C 为常数)即 arctan x arc cot x 二 C令 x=i，则 arctanl arccotl 二;，即 C = 2所以 arctan x arc cot x =2推论 2 如果 f(x), g(x)在(a,b)内任意一点 f(x) = g(x)，则 f (x), g(x)在(a,b)内至多相差一个常数(不定积分处需要)(三) 柯西定理 1.如果函数f (x), g ( x)满足:(1) 在闭区间a,b上连续;(2) 在开区间 (a,b) 内可导,(3) 在开区间(a,b)内任意

8、一点处g (xp= 0,则在开区间 (a,b) 内至少存在一点厂(匕)，使得詔f (b)-f(a) g(b)-g(a)-fOLg(xg(a)证明(略)其指导思想是作辅助函数：(X) = f (x) - f (a)用罗尔定理证明。2说明： 显然当g(x)=x，柯西定理就是拉格朗日中值定理三个定理的关系：罗尔定理推广特例、拉格朗日定理推广特例柯西定理定理3定理的初步应用 例3函数f (x) = x3与g(x) = x2 +1在区间1,2上是否满足柯西定理条件？如果满足就求出定理中的 解：因f(x)与g(x)在区间1,2上连续，在开区间(1,2)可导，且g(x)=2x=0，所以它们满足柯西定理的条件

9、；而 f(1) = 1, f( 2)=8，g(1)=2 , g(2) =5，芦f)f(b)f(a)87所以至少存在一点，使得g厂g(b)-g(a厂5-2 = 332714即2=3所以=94说明：前面两个定理也有类似的冋题。综合应用例4证明不等式： arctanx2 - arctanx(乞 X2 - x(为：x2)证：设f (x) = arctanx ,则f(x)在Xl,x2上满足拉格朗日定理的条件，因此有:arctanx2 -arctan冷&2 - xj(x,，x2)乞1，所以有:1 +:arc tanx2 - arctanx乞 x2 - x1x例5证明当x时，ln(1，x)：x1 +x证：令

10、 f (x) =1 n(1 x)，则f (x)在闭区间0,x上连续，在开区间(0,x)可导，那么在开区间(0, x)内至少存在一点，使得,f (x) f (0) = f ( )(x 0), (0 ： x)1f(0) =0, f (x)二宀，1 +x由上式得I n 1 x) ,又 0 ：: x，- 1 ： 1： 1 x1 +匚则七十1,即二：产- a 或xa-与x等也适用。2证明：(仅证0型的情况)在点x= a处补充定义函数值 f (a)二g(a) = 0，贝y f (x)与g(x)在点a的某邻域内连续；设 x为此领域内的任意一点，则 x a(或x a)，那么在区 间-a,x 1(或 i.x,a

11、 1)上 f (x)与 g(x) 都满足柯西定理的条件，故有f(x) _ f(x)-f(a) _ f () g(x) 一 g(x)-g(a) 一 g ()所以,limx. af (x)g(x)(a - x 或 x ”：:： a)二 A (或二)3定理的应用例1求lim (1x) 4(为任意实数)3xOfL解：原式=lim (11 x)x01f 7 x)rx OCl说明：当依然是0或时，可以继续使用；但每次使用前都应检查其条件，满足g (x)0 00则用，不满足则不能使用。例2求lim 乂一即乂Xr 0x解：原式=limXr 01 -cos x3xlimXr 0sin x6xlimXr 0co

12、sx6例3求lim山a xiXr 0 X解：原式=lim 匕二lim 严X; 0 3xX; 0 3x (1 x)课堂练习：X- XXim 0limXr 01X 1 X -X -X 1二 lim 3x2-6x -:X-； 1 3x -2x-1说明：定理中是考虑lim f (x)x a“、，而不是lim( g(x) X af (x) g(x)- 定理的条件是结论的充分但不必要条件，即limXr af (x)乔J不存在时，不能断定原极限limXr af (x)而不存在，需用其它方法去处理,x2 sin-如Xm-s-用罗比达法则得limXrO1 12xsin -cos1cosx此极限不存在，但并不表示

13、2 . 1x sinlimx不存在，事实上x 0 sinxlim02 - 1x sin1xsin xX叫孟 xsin?)=0.解：原式=limXr 212cos 厶 x32cos 3x3 lim 23 x cos X2cos3x (sin3 x) 32cosx(s inx)sin6 x sin 2xXim26cos6x 二2cos2x例5求叫僭X； 0解：原式=limx 0丄(cotx V) sin xIxTO+sinxcosxlimx 0XsinxX呀cosx第四章215课堂练习lim+P194 8( 6)ln (x尹tanxlimx -2limxnaxx 、 elimx込x_二212cos

14、 xcos2 xcos2 Xv JUX-2limx -2-2cos x( sin x)limn -1 nxax aeIII-limaneax4、利用罗比达法则解决其它类型未定式即：-:型，o .：:型，100,丄）例 6 求 lim (-sinx x解：原式二x sin x limx 10 x sin xlimx )01 -cosxsin x xcosxsin xlimx 0 2cosx - xsin x说明：:-：型一般都经过通分而转化为 0型，再使用法则。例 7 求 lim xln xx；0解：原式二 lim 屮二 lim 三 lim xp 0Xr0 x x 0 x2x 0说明：对于幕函数

15、乘对数的0 ；型，一般说来将对数保留在分子而将幕函数倒在分母上。例 8 求 lim(1 - x) tan 罗X； 12解：原式二lim 一1吉二lim 七二2X T cot 2 XTin2第四章31说明：对于幕函数乘以切函数的0型，一般说来将切函数倒在分母上而变为其余函数。例9求lim xXTOln xX解：原式=xim0exln xlim eXrOlim xlnxex 0x.0二 elimvxIn x1lim.0_x2-ex 0例10求limxt1x1解:原式二bmeInxxT1 Xlim X1 -1-1e例 ii 求 lim (cot x)lnx解: (cotx)lnx = elnx1ln

16、(cot x)1limln(cot x)=limx=0 cot X 2sin xlimx 0 cosx sin x-原式二e课堂练习：（1）Xm0（cot xx)(2)lim (cotx)lnxx 0 lim xtgxxtO（4）lim（tgx严XT 4小结：罗比达法则是求未定式极限的重要工具，掌握最基本的类型以及其它未定式转化成基本 类型的方法。但注意它不是万能的，即并非所有未定式极限都能用此法则去求，如limx =x -x汁，xim孟等，事实上用第二章介绍的方法都很容易求。它与第二章所述方法是相辅相成的。作业：p1201、2、3 4.3函数的单调性极值和最值教学目的：掌握函数增减性的判别定

17、理，会求函数的单调区间，会求函数的极值 教学重点：求函数的单调区间和极值教学时数：4学时教学设计：前面我们用柯西中值定理证明了罗必达法则，今天我们用拉格朗日定理证明一下关于函数 单调性的问题。我们知道，对于任意x1、x2属于(a,b) ,不妨 x1 x2则f( x1 )f(X2)时，单调下降但对于一般的函数f(x),判断起来却是比较的困难。现在我们从导数的角度来看看。一 函数的单调性定理函数单调性的判别法：设函数f(x)在(a,b)内可导,(1) 若 X (a,b)，有 f(x) 0,则 f(x)在(a,b)上单调增加；(2) 若 -x (a,b)，有 f(x) ：0，则 f(x)在(a,b)

18、上 单调减少。注：个别点使得f(x) =0，不影响函数的单调性。证明：(略)例1讨论函数y =ex -X -1的单调性例2判定函数 y =x3的单调性(注意：有限个点使得 x =0不影响函数的 单调性)例3求函数f(x)=2x3-9x212 x - 3的单调区间例4确定函数f (x) 0时，x-ln(1+x)0,即 xln(1+x).例6证明方程x3X - 1二0有且仅有一个正根.证：设 f(X)= X3 X -1因为 f (x) = 3x2 1，0 所以f (x)在(：，：)单调增加。又 f (0) =1, f (1) =13故方程x x - 1二0有且仅有一个正根.课堂练习二、函数的极值1

19、、 定义：设函数f(x)在X0的一个、：邻域x-,xf 内有定义，对任意的 X ：= ；X0, X0 7 ，都有f(X X f(X0 ),则称f(X0为f (x)的一个极大值f (x A f(X0)，则称f(X0)为 f (x )的一个极小值。2、注意：1极小值与极大值统称极值，极小值点与极大值点统称极值点。2极值是函数值，极值点是自变量的值3极值概念是局部概念4一个函数可能有很多个极大值和极小值5极小值可能比极大值大3、极值存在的必要条件定理：若f x在x0点有极值f x0，且f x0存在，则f x0 =0。证明：(略)可能的极值点：驻点或不可导点4、极值的充分条件定理(极值的第一充分条件)

20、：设函数f(x)在X0的一个、:邻域XX0 -、：,X0丄心.吶连续且可导(f x0可以不存在)，(1)当 xGxo_j.,xo 时，x0 0，当 xfxo,xo7 时，f x0 0，则函数在 x0 点有极大 值；求出函数 f (x)= x33x29x 5的极值.(2)当xxo,xo时，f% 0，则函数在x点有极 小值。(3)当xE|X0 -、：,X0和X“X0,X0亠心时，f x0不变号，则函数在 x0点没有极值。例7求出函数f (x) =X3 -3x2 -9x 5的极值2例8求函数 y =x -号x3 (P162例2)的单调区间和极值。课堂练习5、函数极值的第二充分条件1、定理：设f X0

21、 0， f X0存在，贝U(1) 如果f % 0,则f x在X0点有极小值f X0 ；(2) 如果f ”X0 V 0,则f X在X0点有极大值f X0。例9求函数f (x) =X3 - 3x2 -24x-20的极值课堂练习三、最值问题1、 定义：对于函数f(x) , X0是区间I上的一点，若任意属于区间I上的x，都有f(x)=f( x0)则称f( x0)是f(x)在区间I上的最小值，x0为最小值点；f(x)=f( X0),则称f( X0)是f(x)在区间I上的最大值，X0为最大值点。2、注意：1函数的最大值和最小值统称最值；最小值点和最大值点统称最值点；2最值是整体概念；3最值是唯一的，最值点

22、不唯一；4连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值3、如何求连续函数在闭区间上的最值1取得最值的必要条件：驻点、不可导点、端点2求最值的一般步骤：例2求下列函数在给定区间上的最值1 y =2x3 3x2 -12x 14,-3,42 y =x 、x 0,4课堂练习4、最值的两种特殊情况(1) 如果函数在闭区间上是单调的，则两区间端点就是函数的两个最值点；(2) 如果函数在开区间上有且仅有一个极小值，没有极大值，则此极小值就是最小值；同理 如果函数在开区间上有且仅有一个极大值，没有极小值，则此极大值就是最大值。例10设产量为x，价格函数为P=75-3/2 X，单位产品成本为150 1252x求：（1

23、 ）总成本最小时的产量；（2）总收入最大时的产量；（3）总利润最大时的产量。例11由直线y = 0, x =8及抛物线y = x?围成一个曲边三角形，在曲边y = x?上求一点,使曲线在该点处的切线 与直线y =0及x二8所围成的三角形面积最 大.四、小结注意最值与极值的区别，最值是整体概念而极值是局部概念；实际问题求最值的步骤 作业：P1292、3、4、5 4.4曲线的凹向与拐点教学目的：能判别曲线的凹向，会求函数的拐点教学重点：分析函数的凹向性质，教学时数：1学时教学设计：一、曲线的凹向和拐点1、凹向及拐点的定义：如果在某个区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称曲线在这个区间上是上

24、凹 的；如果在某个区间内曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线在这个区间上是下凹的。曲线上凹和下凹的分界点称为曲线的拐点。注意：拐点是曲线上的点，因此必须用一对有序实数对来表示。2、凹向的判别定理：设函数在区间 a,b内具有二阶导数，那么（1）如果xa,b时，恒有f”x .0,则曲线在a,b内上凹；（2）如果x a,b时，恒有f ”x ：0,则曲线在a,b内下凹。例1判断曲线y =x3的凹向.3、 拐点的求法：f x =0或f d不存在的地方例2求曲线y=3x4-4x1的凹向与拐点练习P131 1、2教学目的：会求函数渐近线 教学重点：会作函数的草图 教学时数：2学时教学设计：一、曲线的渐

25、近线 4.5函数的作图能作函数的草图1、 定义：如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于o，则称此直线为曲线的渐近线。2、三种情形（1） 水平渐近线：如果lim f x；=b，则y=b是曲线的渐近线，称为水平渐近线。X 二：（2） 铅垂渐近线：如果lim f x 庄，则X=xo是曲线的渐近线，称为垂直渐近线。JXo（3） 斜渐近线：如果lim f （x （ax b） =0成立，则y=axb是曲线的一条斜渐近线。由 Jim f (x)(ax b)二 0得例1求下列曲线的渐近线(1)2y= ；(2)f(x)二2(x -2)(x 3)x 1答案（2） x =1是曲线的铅直渐近线

26、；y =2x 4是曲线的一条斜渐近线课堂练习 二、函数的作图作图的一般步骤：见书P17421 例2 作函数 ye 2的图形（P134）2兀四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究，是导数应用的综合考察 4.6导数在经济中的应用教学目的：会将导数在经济工作中运用教学重点：实际问题的运用教学时数：1学时教学设计：利用导数解决经济领域中的极值问题和极值的几何应用有很大相似之处，首先也是分析问题，确定目标函数；再就是解极值问题.应用极值知识，求目标函数的最大值和最小值 ；最后作 出结论.按实际问题的要求给出结论 .一、利润最大化例1设厂商的总收益函数和总成本函数分别为R（Q） =40Q_4Q2,

27、C（Q） =2Q2 4Q 10求利润最大时的产量、产品的价格和利润分析本例是以利润函数为目标函数，利润函数为d: = ”：（Q）二 R（Q） C（Q）二6Q236Q -10,由 0,得 Q = 3dQ根据极值判别法，知Q=3是极大值点，也就是取最大值点，此时卩=邑22二=28Q Q-科qt =44,即产量为3时价格为28，此时利润最大，最大利润是44 .解（略）利润最大化原则：因为利润函数是二-二（Q）二R（Q） -C（Q），若当产量Q二Q0时利润最大 由极值存在的必要条件，必有二（Q0） =R（Q0） -C（Q0） =0,即R（Q0） =C（Q0）.说明：利润最大时，边际收益等于边际成本，这

28、称为利润最大化原则.二、库存问题所谓“成批到货”，就是工厂生产的每批产品，先整批存入仓库；“一致需求”，就是市场对这种产品的需求在单位时间内数量相同，因而产品由仓库均匀提取放市场；“不许缺货”，就是当前一批产品由仓库提取完后，下一批产品立即进入仓库.在这种假设下，规定仓库的平均 库存量为每批产量的一半例2:现假设在一个计划期内：工厂生产总量为D ; 分批投产，每次投产数量，即批量为Q ;每批生产准备费为C1 ； 每件产品的库存费为 C2,且按批量的一半,即Q收取库存费；2 存货总费用是生产准备费与库存费之和，记作E.问题是：如何决策每批地生产数量，即批量Q,以使存货总费用 E取最小值？建立目标函数：存货总费用E的函数表达式依题设，在一个计划期内：库存费=每件产品的库存费x批量的一半=C2： Q，2生产准备费=每批生产准备费x生产批数 =C1 D .QQD