1.5 高等代数 行列式按行(列)展开

1、 引言引言 ,312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa 2223 11 3233 aa a aa 可见，三级行列式可通过二级行列式来表示可见，三级行列式可通过二级行列式来表示 2123 12 3133 aa a aa 2122 13 3132 aa a aa 一、余子式、代数余子式一、余子式、代数余子式 定义定义在在 n 级行列式级行列式 中将元素中将元素

2、 所在的所在的 ij a det() ij a 第第 i 行行与第与第 j 列划去，剩下列划去，剩下 个元素按原位置个元素按原位置 2 (1)n 次序构成一个次序构成一个 级的行列式，级的行列式，1n 111,11,11 1,11,11,11, 1,11,11,11, 1,1,1 jjn iijijin iijijin nn jn jnn aaaa aaaa aaaa aaaa 称之为元素称之为元素 的的余子式余子式, ,记作记作 ij M ij a ij ijij AM( 1), 令令 称称 为元素为元素 的的代数余子式代数余子式 ij a ij A 注：注： 行列式中每一个元素分别对应着一

3、个余子式行列式中每一个元素分别对应着一个余子式 和一个代数余子式和一个代数余子式 无关，只与该元素在行列式中的位置有关无关，只与该元素在行列式中的位置有关 元素元素 的余子式和代数余子式与的余子式和代数余子式与 的大小的大小 ij a ij a 元素除元素除 外都为外都为 0，则，则 ij a . ijij da A 1.1.引理引理 二二 、行列式按行、行列式按行(列列)展开法则展开法则 若若n 级行列式级行列式 d = 的的 中第中第 i 行所有行所有 det() ij a 证：证： 先证的情形，即先证的情形，即 ijnn aa 111,11 1,11,11, 00 nn nn n nnn

4、 n aaa d aa a a 由行列式的定义，有由行列式的定义，有 1 121 1 2 () 121, ( 1) n nn n jj jjnjnj j jj daaaa 11 121 11 () 121, ( 1) n n n jjn jjnjnn jjn aaaa 11 11 11 () 11, ( 1) n n n jj nnjnj jj aaa 111,1 1,11,1 n nn nnn aa a aa . nnnn aA nnnn a M 结论成立。结论成立。 一般情形：一般情形： 111,111,11 1,11,11,1,11, 1,11,11,1,11, 1,1,1 0000 i

5、 jjjn iijijijin iijijijin nn jnjn jn j n aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa a 111,11,111 1,11,11,11,1, 1,11,11,11,1, 1,1,1 ( 1)( 1) 0000 jjnj iijijinij n inj iijijinij nn jn jnnnj ij aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa a ( 1)i j ijij a M 2() ( 1) nij ijij a M ( 1). ij ijijijij aMa A 结论成立。结论成立。 111,111,11 1,11,11,1,11, 1,1

6、1,11,1,11, 1,1,1 ( 1 0000 ) jjjn iijijijin n i iijijijin nn jnjn jnn ij aaaaa aaaaa aaaaa aaaa a a 2.2.定理定理 行列式行列式 d 等于它的任一行（列）的各元素与其等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，对应的代数余子式乘积之和，即即 1122jjjjnjnj da Aa Aa A 1122iiiiinin da Aa Aa A n ikik k a A 1 , in1, 2, , . n kjkj k a A 1 , jn1, 2, , . 或或 行列式按行（列）展开法则

7、行列式按行（列）展开法则 证证 12 11121 12 00 0000 iiin n nnnn aaa d aa a a aa 1122 , iiiiinin a Aa Aa A 111211112111121 12 121212 000000 nnn iiin nnnnnnnnnnnn aaaaaaaaa aaa aaaaaaaaa 1, 2, , .in 例例1. .计算行列式计算行列式 311 2 5134 . 2011 1533 d 解：解： 11 13 01 53 d 5 11 0 0 0 5 1 1 511 11 11 55 0 511 620 55 0 1 362 ( 1) 55

8、 40. 例例2. .证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式 123 2222 123 1 1111 123 1111 (). n n nij j i n nnnn n aaaa aaaa daa aaaa 证证 用数学归纳法用数学归纳法. . 时，时， 21 12 11 ,aa aa 2n 0 1 假设对于假设对于 级范德蒙行列式结论成立，即级范德蒙行列式结论成立，即1n 0 2 结论成立结论成立 121 222 121 1 11 222 121 111 (). n n nij j i n nnn n aaa aaa daa aaa 把把 从第从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的行开始，后面一

9、行减去前面一行的 n d 倍，得倍，得n a 121 222 112211 121212 112211 1111 0 0 0 nnnn nnnnnn nnnnnn nnnnn aaaaaa aa aaa aaaad aaaaaaaaa 下证对于下证对于 n 级范德蒙行列式级范德蒙行列式 结论也成立结论也成立. n d 121 222 1 112211 121212 112211 ( 1) nnnn n nnnnn nnnnnn nnnnn aaaaaa aa aaa aaaa aaaaaaaaa 121 222 1 121 121 222 121 111 ( 1)()()() n n n nn

10、nn nnn n aaa aaa aaaaaa aaa 121 222 121121 222 121 1 11 ()()() n nnnnn nnn n a aa aaaaaaaaa aaa ij j i n aa 1 (). 范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少两个相等中至少两个相等 12 0, , , nn daaa 注：注： 121 11 ()()()() nnnnij j i n aaaaaaaa 1n d 例例3. .计算行列式计算行列式 12 222 12 12 12 222 111 . nnn nnn n n n n n aaa aaa d aaa aaa 3.3.推论推论 行列式行

11、列式任一行任一行（列列）的元素与）的元素与另一行另一行（列列）的）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ijijninj a Aa Aa Aij 1122 0,. ijijinjn a Aa Aa Aij 1122 0,. 证证det() ij daj把行列式按第行展开，有 111 1 11 1 1 , n iin jjjnjn jjn nnn aa aa a Aa A aa aa 可可得得换换成成把把), 1(nkaa ikjk 111 1 11 1 1 , n iin ijinjn iin nnn aa aa a Aa A aa aa 行行第第

12、j 行行第第 i 相同相同 ijijninj a Aa Aa Aij 1122 0,. 1122 0. ijijinjn a Aa Aa A 当当 时时, , ij 同理可证同理可证, , n ikjk k dij a A ij 1 , 0,. n kikj k dij a A ij 1 , 0,. 综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质： 例例3. .设设 求求 35 21 1105 , 1 313 2413 d 解解. . 11121314 AAAA 1105 1 313 2413 1111 4. 和和 11213141. MMMM 11121314 AAAA 11213141 MMMM 11213141 AAAA 1 1 1 521 105 3 1 13 413 0. 例例4. .证明：证明： k kkk kr k kkkrrr rrk r rrr aabb cc aabb cc bb aa aa bb 111111 111 11 1 11 111 1 1 1 00 00 . 证明证明 对