等额本息还款和等额本金还款计算公式的推导解析

1、等额本息款和等额本金还款计算公式的推导众所周知，银行住房贷款的分期付款方式分为等额本息付款和等额本金方式付款两 种方式两种付款方式的月付款额各不相同，计算方式也不一样。网上分别有着两种 还款方式的计算公式然而，对于这两个公式的来源却很少有解释，或者解释是粗略 的或错误的。本人经过一段时间的思考，终于整明白了其中的原理，并且运用高中 数学理论推导出了这两个计算公式。本文将从原理上解释一下着两种还款方式的原 理及计算公式的推导过程。无论哪种还款方式，都有一个共同点，就是每月的还款额也称月供）中包含两个 部分：本金还款和利息还款：月还款额=当月本金还款+当月利息式1其中本金还款是真正偿还贷款的。每月

2、还款之后，贷款的剩余本金就相应减少：当月剩余本金=上月剩余本金一当月本金还款直到最后一个月，全部本金偿还完毕。利息还款是用来偿还剩余本金在本月所产生的利息的每月还款中必须将本月本金所 产生的利息付清：当月利息=上月剩余本金x月利率式2其中月利率=年利率勻2。据传工商银行等某些银行在进行本金等额还款的计算方 法中，月利率用了一挺孙子的算法，这里暂且不提。由上面利息偿还公式中可见，月利息是与上月剩余本金成正比的，由于在贷款初 期，剩余本金较多，所以可见，贷款初期每月的利息较多，月还款额中偿还利息的 份额较重。随着还款次数的增多，剩余本金将逐渐减少，月还款的利息也相应减 少，直到最后一个月，本金全部

3、还清，利息付最后一次，下个月将既无本金又无利 息，至此，全部贷款偿还完毕。两种贷款的偿还原理就如上所述。上述两个公式是月还款的基本公式，其他公式都 可由此导出。下面我们就基于这两个公式推导一下两种还款方式的具体计算公式。1等额本金还款方式等额本金还款方式比较简单顾名思义，这种方式下，每次还款的本金还款数是一样 的因此：当月本金还款=总贷款数 论款次数当月利息二上月剩余本金 月利率二总贷款致X（1-（还款月数一1）三还款次致）呦利率当月月还款额=当月本金还款 +当月利息=总贷款致X1迹款次数+ （1（还款月数1）还款次数）X月利率总利息=所有利息之和二总贷款数X月利息率X （还款次数（1十2十3

4、+。+还款次数1逊款次数）其中1+ 2 + 3十+还款次数1是一个等差数列，其和为（1+还款次数1） X还 款次数1）/ 2=还款次数X（还款次数1）/ 2所以，经整理后可以得出：总利息二总贷款数X月利率X （还款次数+1）吃由于等额本金还款每个月的本金还款额是固定的，而每月的利息是递减的，因此， 等额本金还款每个月的还款额是不一样的。开始还得多，而后逐月递减。2等额本息还款方式等额本息还款方式的公式推导比较复杂，不过也不必担心，只要具备高中数列知识 就可以推导出来了。等额本金还款，顾名思义就是每个月的还款额是固定的。由于还款利息是逐月减少 的，因此反过来说，每月还款中的本金还款额是逐月增加的

5、.首先，我们先进行一番设定：设：总贷款额=A还款次数=B还款月利率二C月还款额=X当月本金还款=Yn （n二还款月数）先说第一个月，当月本金为全部贷款额二 A，因此：第一个月的利息=AXC第一个月的本金还款额丫仁X 第一个月的利息=X AXC第一个月剩余本金一总贷款额 一第一个月本金还款额A (X AX C)=AX( 1 + C) X再说第二个月，当月利息还款额一上月剩余本金 X月利率第二个月的利息一(AX (1 + C) X) XC第二个月的本金还款额Y2=X 第二个月的利息X (AX (1 + C) X ) XC第二个月剩余本金=第一个月剩余木金 一第二个月本金还款额AX (1 + C)

6、X (X AX (1 十 C) X ) XC)AX (1 + C) XX + (AX (1 + C X ) XCAX (1 + C) X (1+ C) X +(1 + C) XXAX (1 + C) 2X +(1 + C) XX (1+ C2表示(1 + C的2次方第三个月，第三个月的利息一第二个月剩余本金 X月利率第三个月的利息一(AX (1十C) 2- X +(1 + C) XX ) XC第三个月的本金还款额 丫3=X第三个月的利息=x (AX (1 十 C) 2X +(1 十 C)氷)C第三个月剩余本金二第二个月剩余本金 一第三个月的本金还款额=AX (1 + C) 2- X +(1 +

7、 C) XX(X (AX (1 + C) 2 X +(1 + C) XX ) XC)=AX (1 + C) 2 X +(1 + C) XX (X (AX (1 + C) 2XC+ X +( 1 + C) XX ) XC)=AX (1 + C) 2X (1 + C)(X 十X +(1 + C) XX X (1 + C)=AX (1 + C) A X 十(1 + C) XX +( 1 十 C) 2XX上式可以分成两个部分第一部分：AX (1 + C) 3第二部分：X +( 1 + C) XX +(1 + C) 2XX =XX 1+( 1 + C) + ( 1 + C) 2通过对前三个月的剩余本金公

8、式进行总结，我们可以看到其中的规律：剩余本金中的第一部分 二总贷款额X( 1十月利率)的n次方，(其中n =还款月 数)乘红余本金中的第二部分是一个等比数列，以(1+月利率)为比例系数，月还款 额为常数系数，项数为还款月数 n。推广到任意月份：第n月的剩余本金=AX (1 + C) ?n-XXSn (Sn为(1 + C)的等比数列的前n项和)An表示n次方，全文皆是。根据等比数列的前n项和公式：1+ Z+ Z2 + Z3 +.+ Zn 1=( 1 Z?n)/( 1 Z) 可以得出xxsn= XX (1( 1 + C) ?n)/( 1( 1 十 C)=XX (1 + C) ?r 1)/ C所以，

9、第 r 月的剩余本金=AX (1 + C) ?r-X X (1 + C) ?r 1)/C 由于最后一个月本金将全部还完，所以当r等于还款次数时，剩余本金为零设r=B还款次数)剩余本金=AX (1 + C) ?B XX ( 1 十 C) ?B 1)/ C= 0从而得出月还款额X = AXCX (1 + C) ?Br( 1 + C) ?B 1)二总贷款额X月利率X(1 +月利率)？还款次数珂(?000保吕剩还款次数-1将X值带回到第r月的剩余本金公式中第r月的剩余本金=AX (1十C) ?r AXCX (1十C) ?B/(1 + C) ?B 1) X( 1 + C) ?r 1)/C=AX (1 + C) ?r( 1 + C) ?BX (1+ C) ?r 1)/(1 + C) ?B 1)=AX (1 + C) ?B-( 1 + C) ?r/( 1 + C) ?B 1)第r月的利息=第r1月的利余本金X月利率=AXCX (1 十 C) ?B( 1 + C) ? (r 1)/( 1 + C) ?B 1)第r月的木金还欲顺=X 第r月的利息=AXCX (1 + C) ?B/( 1 + C) ?B 1) AXCX ( 1+ C) ?B( 1 + C) ?( r 1)/( 1 + C) ?B 一 1)=AXCX (1 + C) ? (n- 1)/( 1 + C) ?B一 1)总还款额=XX