34_专题五　圆的计算与证明

1、专题五圆的计算与证明专题五圆的计算与证明 研题型解易 圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一,占有较大的比重,通常结合 三角形、四边形等知识综合考查,以计算题、证明题的形式出现,解答此类问 题要熟练掌握圆的基本性质,特别是切线的性质与判定,利用圆的性质求线段的 长、角度或阴影部分的面积等. 类型一切线的性质与判定类型一切线的性质与判定 题型特点题型特点 主要以解答题的形式出现,第(1)问主要是判定切线,有时也会考查一些小的 填空、选择题.考查内容以切线的性质与判定为主. 方法规律方法规律 判定切线的方法: (1)若切点明确,则“连半径,证垂直”.常见方法:全等转化、平行转化、直径 转化、中线转

2、化等,有时可结合相似、勾股定理证垂直; (2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”.常见方法:角平分线定理、等腰三角 形三线合一. 解题策略解题策略 典例典例1已知直线PD垂直平分O的半径OA于点B,PD交O于点C、D,PE是 O的切线,E为切点,连接AE,交CD于点F. (1)若O的半径为8,求CD的长; (2)证明:PE=PF; (3)若PF=13,sin A=,求EF的长. 5 13 思路点拨思路点拨(1)连接OD,构造直角三角形,再利用垂径定理即可求得. (2)利用等角对等边的性质,证相关角相等即可. (3)注意角的转换,将A转换到已知的直角三角形中. 解解(1)连接OD, 直线PD垂直

3、平分O的半径OA于点B,O的半径为8, OB=OA=4,BC=BD=CD, 在RtOBD中,BD=4, CD=2BD=8. 1 2 1 2 22 ODOB3 3 (2)证明:PE是O的切线,PEO=90, PEF=90-AEO,PFE=AFB=90-A, OE=OA,AEO=A,PEF=PFE,PE=PF. (3)过点P作PGEF于点G,可知G为EF的中点, PGF=ABF=90,FPG=A, 在RtPGF中,FG=PFsinFPG=PFsin A=13=5, EF=2FG=10. 5 13 高分秘笈高分秘笈关于圆的大部分题目,常需作辅助线来求解.现对圆中辅助线的作法 归纳总结如下: 1.有关

4、弦的问题,常作弦心距,构造直角三角形. 2.有关直径的问题,常作直径所对的圆周角. 3.直线与圆相切的问题,常连接过切点的半径,得到垂直关系,或选圆周角找出 等角关系. 当堂巩固当堂巩固 1.(2018南充)如图,C是O上一点,点P在直径AB的延长线上,O的半径为3, PB=2,PC=4. (1)求证:PC是O的切线; (2)求tanCAB的值. 解解(1)证明:如图,连接OC、BC, O的半径为3,PB=2, OC=OB=3,OP=OB+PB=5. PC=4,OC2+PC2=OP2, OCP是直角三角形, OCPC,PC是O的切线. (2)AB是O的直径,ACB=90, ACO+OCB=90

5、. 又BCP+OCB=90,BCP=ACO. OA=OC,A=ACO,BCP=A. 又P=P,PBCPCA,=, 在RtACB中,tanCAB=. BC AC PB PC 2 4 1 2 BC AC 1 2 2.(2018黄石改编)如图,已知A、B、C、D、E是O上五点,O的直径BE=2 ,BCD=120,A为的中点,延长BA到点P,使BA=AP,连接PE.求证:直线 PE是O的切线. 3BE 证明证明连接EA,ED, BE为O的直径,BAE=90, A为的中点,ABE=45, BA=AP,EABA,BEP为等腰直角三角形, PEB=90,PEBE,直线PE是O的切线. BE 类型二与圆有关的

6、计算类型二与圆有关的计算 题型特点题型特点 与圆有关的计算:求线段长(或面积);求线段比;求角度的三角函数值 (实质还是求线段比). 方法规律方法规律 计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理,垂径定理,三角形的全等、相 似等知识结合.分析时要重点观察线段间的关系,选择定理进行线段或者角度 的转化,特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所 求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题. 解题策略解题策略 模式一模式一:角平分线模型角平分线模型 典例典例2(2018怀化)已知:如图,AB是O的直径,AB=4,点F,C是O上两点,连接 AC,AF,OC,弦AC平分FAB,

7、BOC=60,过点C作CDAF,交AF的延长线于 点D. (1)求扇形OBC的面积(结果保留); (2)求证:CD是O的切线. 思路点拨思路点拨(1)由扇形的面积公式即可求出答案. (2)易证FAC=ACO,从而可知ADOC,由于CDAF,所以CDOC,所以 CD是O的切线. 解解(1)AB=4,OB=AB=2, BOC=60,S扇形OBC=. (2)证明:AC平分FAB,FAC=CAO, AO=CO,ACO=CAO,FAC=ACO,ADOC, CDAF,CDOC, OC为半径,CD是O的切线. 1 2 2 602 360 2 3 模式二模式二:双切线模型双切线模型 典例典例3(2018江西,

8、20,8分)如图,在ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为 半径作圆,与BC相切于点C,过点A作ADBO交BO的延长线于点D,且AOD =BAD. (1)求证:AB为O的切线; (2)若BC=6,tanABC=,求AD的长. 4 3 思路点拨思路点拨(1)作OEAB，证OE=OC,依据切线的判定可得. (2)先求OC,OB,AB的长,再利用面积公式得ABOE=BOAD,据此可得答案. 解解(1)证明:过点O作OEAB于点E,即OEB=90. BC切O于点C,OCB=OEB=90. ADBD,ADB=90. AOD=BOC,CBD=OAD. D=90,AOD=BAD, OAD=ABD,A

9、BD=CBO, OE=OC,AB为O的切线. (2)BC=6,tanABC=,ACB=90, 4 3 AC=BCtanABC=8,AB=10. AB与BC均为O的切线, BE=BC=6.AE=AB-BE=10-6=4. 设OC=OE=x,则在RtAEO中,有(8-x)2=42+x2, 解得x=3,OB=3. SBOA=ABOE=BOAD,ABOE=BOAD, 103=3AD,AD=2. 22 68 22 OCBC 22 365 1 2 1 2 55 模式三模式三:弦切角模型弦切角模型 典例典例4(2018金华,21,8分)如图,在RtABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB长 为半径作圆,

10、分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD，已知CAD=B. (1)求证:AD是O的切线; (2)若BC=8,tan B=,求O的半径. 1 2 思路点拨思路点拨(1)连接OD,利用边角关系及等量代换,求得ADO=90即可. (2)设圆的半径为r,利用锐角三角函数定义及勾股定理求出AB的长,再利用勾股 定理列出 关于r的方程,求出方程的解即可得到结果. 解解(1)证明:连接OD, OB=OD,3=B. B=1,3=1. 在RtACD中,1+2=90,3+2=90, 4=180-(2+3)=180-90=90, ODAD, 又OD为O的半径,AD是O的切线. (2)设O的半径为r. 在RtABC中

11、,AC=BCtan B=8=4, 1 2 AB=4,OA=4-r. 在RtACD中,tan1=tan B=, CD=ACtan1=4=2, AD2=AC2+CD2=42+22=20. 在RtADO中,OA2=OD2+AD2.(4-r)2=r2+20, 解得r=. 22 ACBC 22 4855 1 2 1 2 5 3 5 2 高分秘笈高分秘笈 在圆的计算中常见的数学思想 (1)构造思想:构建矩形转化线段;构建“射影定理”基本图形研究线段 (已知任意两条线段长可求其他所有线段长);构造垂径定理模型;构造勾 股定理模型;构造三角函数模型. (2)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是其中的 相等关系建立方程,解决问题. (3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若 干个基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论, 进而找出隐藏的