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1、高等数学复习公式 高等数学公式平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() 积的关系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin s

2、in()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 三角和的三角函数： sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 页19 共 页1 第高等数学复习公式 辅助角公式： Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/

3、(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 三倍角公式： sin(3)=3sin-4sin3() cos(3)=4cos3()-3cos 半角公式： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+co

4、s)=(1-cos)/sin 降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-

5、) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 页19 共 页2 第高等数学复习公式 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 其他： sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+

6、cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函数的角度换算 编辑本段 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin ）sin（2k cos ）cos（2k tan ）tan（2k cot ）cot（2k 公式二： 的三角函数值之间的关系：设为任意角，+的三角函数值与 sin ）sin（ ）cos cos（ ）tan （tan ）cot （cot 公式三： 的三角函数值之间的关系： -任意角与 ）sin sin（

7、 ）cos cos（ ）tan tan（ ）cot cot（ 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot ）（cot 公式五： 页19 共 页3 第高等数学复习公式 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2）sin ）cos cos（2 tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot ）tan /2cot（ ）cos sin（/2 ）sin cos（/2 tan（/2）cot

8、tan cot（/2）sin（3/2）cos sin ）cos（3/2 tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos ）sin cos（3/2 ）cot tan（3/2 ）tan cot（3/2 kZ) (以上 部分高等内容 编辑本段 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函

9、数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y;y=y，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0 页19 共 页4 第 高等数学复习公式 导数公式：1?(arcsinx)2?x?(tgx)sec2x1?2?xcsc?)(ctgx?1?)?(a

10、rccosx?tgx(secx)?secx2x1?ctgx?csc(cscx)x?1?arctgx)(xx?aa(a?)ln 2x1?11?(arcctgx)?)(logx a2x1?alnx 基本积分表：dx? C?lncosxtgxdx?2?Ctgx?secxdx? 2xcos?Csinx?ctgxdx?ln dx2?Cctgx?xdx?csc? 2xsin?C?tgx?secxdx?lnsecx ?Cx?dx?sec?secxtgx?Ccscxdx?lnctgx?cscx? ?Cx?csccscx?ctgxdxxdx1?C?arctg? 22xaaa?xax?C?adx? ax?dx1a

11、ln?C?ln 22axa?xa?2?C?shxdxchxxa?dx1?C?ln?C?chxdx?shx 22xx2aa?a?dxxdx22?Ca?x?x)?ln(?C?arcsin 22aa?x22xa? 221?nnn?Ixdxcos?I?sinxdx? 2?nnn002ax222222?C)aa?ln(x?x?dxx?a?x? 222ax 222222?Cx?x?a?x?adx?xa?ln 222xax2222?Carcsin?x?axdx?a a22 三角函数的有理式积分：2duu2xu21?，dxu?，?tgcossinx?，x 2222u1?1u?1u? 页19 共 页5 第 高等

12、数学复习公式 两个重要极限：一些初等函数： xsinx?xe?e 1lim?双曲正弦:shx x 20?x1 x?xe?ex.59045e?2.lim(1?)7182818284?:chx双曲余弦 x?x?2 xx?eshxe?thx?:双曲正切 xx?chxe?e 2）?1xarshx?ln(x? 2)ln(archx?x?x1? x11?lnarthx? x21? 三角函数公式： 诱导公式： 函数 sin ctg cos tg A 角 -tg -ctg - cos-sin sintg cos 90-ctg sin -ctg -cos90+ tg- -cos -180 -ctg- sin t

13、g sin -180+ cos tg- ctg ctg270- -tg sin-cos -tgctg- -cos sin270+ sin tgcos360-ctg- - - cos tg ctg+360sin 和差化积公式：和差角公式： ?sin?cos?)sinsin(cos?cos?sin2?sinsin 22?sinsincos(cos?cos)?sin2sincos?sin?tgtg? 22?)tg( ?tg?1tg?cos?cos?2coscos?1ctgctg? ?22?(ctg?) ?ctg?ctg?sincoscos?sin?2 22 页19 共 页6 第 高等数学复习公式 倍

14、角公式：?cos?2sin2sin3?sin?sin34?3sin2222?sin?cos2?2coscos1?1?2sin3?cos33?4coscos2?1ctg?2ctg 3?ctg2tgtg?3?3tg 2?tg?31?tg2?tg2 2?tg1? 半角公式：?cos1?cos1?cossin? 2222?sincos1?coscossin1?1?1?cos?tgctg? ?cos2sin?1?cos121?1?coscossin cab222Cabcosc?a2?bR?2 正弦定理： 余弦定理： CBsinsinAsin ?arcctgxarctgx?x?arccosxarcsin反

15、三角函数性质： 22 ）公式：高阶导数公式莱布尼兹（Leibnizn?)(k(n?k)(n)kv(uv)C?un0k?)?1(n?k)?1n(n?1)n(n?)(n?2)n(k)(n?n(n)?1)k)?uv?v?uu?vnuv?uv? !k2! 中值定理与导数应用： ?)?(a)(fb()?f(a)?b拉格朗日中值定理：f?)f(a(b)?f()f?柯西中值定理： ?)()Fa)F(b?F(拉格朗日中值定理。x?时，柯西中值定理就是(当Fx) 曲率： 页19 共 页7 第 高等数学复习公式 2?tgdx,?y其中y?弧微分公式：ds?1? ?弧长。点，切线斜率的倾角变化量；M：平均曲率：K?

16、M?.?s:从M点到Ms?y?d?.M点的曲率：K?lim?ds?s32?0?s)y(1?;?0直线：K1.K?半径为a的圆： a 定积分的近似计算： bab?)xf()?y(y?y矩形法：? 110?nnab1?ab?y?y(fx梯形法：)y(y?)? 10nn1?2nabab?)?yx)抛物线法：f(y()?y()y(?y?2y?y?4y? 12n0?n1?32n4n3a 定积分应用相关公式： sF?功：W?A?水压力：F?pmm21为引力系数,?引力：Fkk 2rb1 ?dx)xy函数的平均值：?f( a?bab12?dt)均方根：f(tab?a 空间解析几何和向量代数： 页19 共 页

17、8 第 高等数学复习公式 222 )zz)?(2点的距离：d?MM?(x?x)?(yy空间12111222 ?轴的夹角。uAB,与是向量在轴上的投影：PrjAB?AB?cosu?aPrjPrja?Prj(a?a)?2u211? ? ,?abcos是一个数量?ab?ab?ab,a?b?zyxyxzbab?ab?azxyxzy?两向量之间的夹角：cos222222bb?b?a?aazyyxxz kji? ? .ba,c?a?sinr.aac?b?a例：线速度：v?w?zxybbbzxy aaaxyz? ? b?bccosb?a?b?c?,(为锐角时，a?b)?c向量的混合积：abxyzcccxzy

18、。代表平行六面体的体积 平面的方程：?),z(A)、点法式：A(x?x?B(y?y?C(z?z?0，其中n?,B,C,Mx,y100000000Cz2、一般方程：Ax?By?D?zxy1?3、截距世方程：? cabDCz?ByAx?000?平面外任意一点到该平面的距离：d222CB?A?mtx?x?0zz?y?xx?y?000nty?,p;参数方程：yn?t空间直线的方程：?,其中sm,? 0pnm?ptz?z?0二次曲面：222zxy1?1、椭球面：? 222cab22yx同号）,?z（p,q?2、抛物面： qp22、双曲面：3222zyx1?单叶双曲面： 222cab222zxy1（马鞍面

19、）?双叶双曲面：? 222cab 页19 共 页9 第 高等数学复习公式 多元函数微分法及应用u?u?u?z?zdz?dx全微分：dz?dydx?dydu? z?x?y?x?y?y?,y)?x?f(x(全微分的近似计算：?z?dz?fx,y)yx：多元复合函数的求导法v?u?zdz?z?v(t)?z?fu(t), t?v?dt?u?tv?z?z?z?u?,y)?fu(x,y),v(xz? x?v?x?u?x?时，y)?v(x,u?u(x,y)，v当vv?u?u?dydv?dx?du?dxdy yx?x?y?隐函数的求导公式：2FFF?ydydyd?xxx?(?，?(?)x隐函数F(,y)?0，

20、 2dxFxF?ydxF?dxyyyFFz?zyx?，z)?0，?,隐函数F(x,y F?xFy?zz ?F?F FF0,uv)?F(x,y?)?(F,Gv?u?vu?隐函数方程组：J? G?GGG0?v),G(xy,u,),v?(u?vuvu?)GFvG)?1?(,1?u?(F? ),x(?xx?J?(,v)xJ?u)?u1(F,(1v?FGG)? )u?y),(J?y?yv?J(,y 微分法在几何上的应用： 页19 共 页10 第高等数学复习公式 ?(t?)x?x?xy?yz?z?000?)处的切线方程：x,y,空间曲线y?z(t)在点M(? 000?)tt)(t)(?000?)z?t(?

21、0?z?y)?zM处的法平面方程：)(t)(x?x)?t)(t)(y在点000000?FFFF ? FF0?y,z)F(x?yzyxxz?,若空间曲线方程为：,则切向量T?GGGGGG0?,G(x,yz)?yzyxxz，则：y,z)?0上一点M(x,y,z)曲面F(x,000?)z,xy,y,z),F(n1、过此点的法向量：?F(x,y,z),Fx0000zxy000000y,z)(z?z)?(x)(x?x)?F(,y,z)(y?y)?Fx,2、过此点的切平面方程：F(xy,z00z00x000y00000z?yz?xxy?000?、过此点的法线方程：3 )y,z,(z,(z(Fx,y,)Fx

22、y,)Fx000z00x00y00 方向导数与梯度：f?f?f?sincos?y?f(x,)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?函数z y?x?l?的转角。lx其中轴到方向为?ff?j?x,y)的梯度：gradf(x,y)?i(f函数z?(x,y)在一点p y?x?f?方向上的j，为l?i?sin?e(它与方向导数的关系是：?gradfx,y)?e，其中?cos l?单位向量。f?上的投影。在lxf(,y)?是grad l? 多元函数的极值及其求法：C)x,y?B,f(?)x,yf?,(?,()x设f(,y?fxy)0，令：fxy)A,(0000yyy00xyx000xx0?为极大值

23、y),A?0,(x?002时，?ACB?0?为极小值)y(A?0,x,?00?2时，无极则：B?0AC值?2不确定B?0时,?AC? 重积分及其应用： 页19 共 页11 第 高等数学复习公式 ?rdrdcos),r(x,y)dxdy?sinf(rf?DD22?z?z?dxdy?1?A曲面z?f(x,y)的面积?y?x?D?d)(x(x,y)d,yxyMMyxDD?y?平面薄片的重心：x?, MM?d),y(x(x,y)dDD22?d),y(x,y)d(,对于y轴I?x?平面薄片的转动惯量：对于x轴IxyyxDD，其中：,FF,FM(0,0,a),(a?0)的引力：F?xoy平面薄片（位于平面

24、）对z轴上质点zyx?xdxx,y)xd,(x,y)ydy)(?fa?f?，F?f，F?F zxy333222222222 DDD)y(x?a)(x(x?y?a)?y?a222 柱面坐标和球面坐标： ?cosx?r?,y?r柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz?,F(rsin,z)rdrd,dz?z?z?),rsinz其中：F(r,z,)?f(rcos,?cos?rsinx?2?d?d?drrsinsin，dv?rddrd?rsin球面坐标：y?rsin?cos?rz?)r(,?222?ddrddF(r,r,)rsinsindr)f(x,y,zdxdydz?dF(r,?)000?111?dv

25、?重心：xdv，其中xdv,y?xy?dv,z?Mz? MMM?222222?dv?y?I)?(x?zx)dv?转动惯量：Iy(，?z)，dvIzyx? 曲线积分： 长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧?)x?t(?则：t?),上连续，L的参数方程为：,(?在x设f(,y)L?)(y?t?tx?22?特殊情况：)dt(?tt?),(fxydsf(),()t()(t?)?y(t?L 页19 共 页12 第 高等数学复习公式 标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐?)(?tx?，则：设L的参数方程为?)t(?y?dt),)(t(t)(t)?Qt(QP(x,y)dx?(x,y)dy?tP),(t?L?

26、分别为)dsQcos两类曲线积分之间的关系：?PdxQdy?，其中(Pcos和?LL的方向角。L上积分起止点处切向量PQ?Q?P?QdyPdxdxdy?格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：(?) y?y?x?x?LDDL1Q?P?ydxxdy?2时，得到D的面积：A?dxdy?，即：当P?y,Q?x 2?x?yDL无关的条件：平面上曲线积分与路径是一个单连通区域；1、GPQ?，应0)。注意奇点，如(，且P2、(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数0, y?x?注意方向相反！减去对此奇点的积分，：二元函数的全微分求积P?Q的全微分，其中：Pdx?Qdy)x,y才是二元函数

27、u(在时， y?x)y(x,?。xy)dx?Q(x,y)dy，通常设?y?0Pu(x,y)?(x,00)y(x,00 曲面积分：22?dxdyy)xy)?z(,(?(对面积的曲面积分：fx,y,z)dsfx,y,zx,y)1?zx,yxD?xy?，其中：z,y,)dxdydzdxQ对坐标的曲面积分：xP(,y,z)dydz?(x,y,z)?R(x?，取曲面的上侧时取正)dxdy?,y,z)dxdy?,Rx,yz(x,y号；(RxD?xy?，取曲面的前侧时取正z,dydzzx(y,),?z号；xP(,y,)dydz?yPD?yz?号。，取曲面的右侧时取正dzdxxydzdxyQ(x,z)?Qx,

28、(z,),zD?zx?dsRcos)coscos?两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(P?Q? 高斯公式： 页19 共 页13 第 高等数学复习公式 R?P?Q?ds(Pcoscos?(?Qcos)?R?)dv?PdydzQdzdx?Rdxdy z?x?y?通量与散度：高斯公式的物理意义R?P?Q?.则为消失?0?,即：单位体积内所产生的流体质量，若div散度：div,? z?x?y?，通量：?nds?cosAds?dsA(Pcos?Qcos)?Rn?dsdivAdv因此，高斯公式又可写成：?An? 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：P?R?QQ?R?P?RdzPdx?

29、Qdydzdx?)dydz?(?)?(?)dxdy? y?x?z?y?z?x? ?coscoscosdxdydydzdzdx?上式左端又可写成： x?z?x?y?y?z?PRPQRQPR?Q?P?R?Q?空间曲线积分与路径无关的条件：?，? y?xz?z?x?y?kij?Arot旋度： z?x?yRPQ?ds?A向量场沿有向闭曲线?的环流量：?Pdx?QdyRdz?tA? 常数项级数：nq?112n?qq?等比数列：1q? q1?n)(n?1?等差数列：1?3n?2? 2111是发散的?1调和级数：? n32 级数审敛法： 页19 共 页14 第 高等数学复习公式 别法）：根植审敛法（柯西判1

30、、正项级数的审敛法?时，级数收敛?1?时，级数发散?limu，则设：1?n?n?n?时，不确定?1?、比值审敛法：2 ?时，级数收敛1?U?1?n时，级数发散?lim?设：，则1? U?n?n?时，不确定1?、定义法：3散。s存在，则收敛；否则发?u?u;limus?nn21n?n?莱布尼兹定理：的审敛法,u?0)?u?(或?u?u?u?交错级数uu?un4133221uu?1n?n ，那么级数收敛且其和。r的绝对值r?u如果交错级数满足s?u,其余项?0limu?1nn1n?n?n? 绝对收敛与条件收敛：为任意实数；，其中u?u1)u?u?(?n1n2 ?u)u?u?u(2?n123收敛级数

31、；)肯定收敛，且称为绝对)收敛，则(12如果(为条件收敛级数。)收敛，则称(1如果(2)发散，而(1 n)?11(?收敛；调和级数：发散，而 nn1?收敛；级数： 2n时发散?1?p级数： pn时收敛1?p 幂级数： 页19 共 页15 第 高等数学复习公式 1 时，收敛于1?x n23x1?xx?1?x?x? 时，发散?1xn2收敛，也不是在全?ax?(3)aax?ax，如果它不是仅在原点?对于级数?n012 时收敛Rx? 称为收敛半径。，其中RR数轴上都收敛，则必存在R，使x?时发散 时不定Rx?1?0时，R ?a?1n?时，R3lim求收敛半径的方法：设)的系数，则?0?是，其中a，a(

32、1nn?a?n?n?0时，R? 函数展开成幂级数： )(n?)x)ff(x(n200?(x?x)(x)?f(x)(x?x?(x?x)?函数展开成泰勒级数：f? 0000!n2!)1(n?)(f1n?0?R?(x?x)limR(,fx)可以展开成泰勒级数的充要条件是：余项： nn0)!1n?(?n)(n?)(0(0f)fn2?)?(0)x?fx?xxx?0时即为麦克劳林公式：f()?f(0? 0!2!n 一些函数展开成幂级数： )?1(1)m?nmm(m?1)(m?mn2?mxx?)(x?x?1?x?1)1?(1? !n2!135?2nxxx1n?)?()?sinx?x?(?1?x? )!3n?

33、12!5!( 欧拉公式： ixix?e?e?cosx? ?2ix或e?cosx?xisin ?ixix?e?e?sinx? 2? 三角级数： 页19 共 页16 第 高等数学复习公式 ?a?0)bsinnx(acosA?nAsin(nxt?)?f(t)? nnn0n21n?n?1?。cos?，xaA?，a?Asint，b?A其中，an0nnn0nn?,在?,sin2,cos2sin,cos任意两个不同项的乘积cos正交性：1,sin,?x?xxnxxnx。0上的积分 傅立叶级数： ?a?02?sinnx)，周期?cos(anx?bf(x) nn21n?1?cosnxdx(x?1,2)a)f(n?0,? n?其中?1?)2,3,nxdx(n?b?1f(x)sin? n?22?11111（相加）?1?1? 22222684233522?111111（相减）?1? 2222221224423462?2?是奇函数bsinnx1,2,3f(x)?nsinf(x)nxdx?b0?正弦级数：a，? nnn?0?a2?0是偶函数nx?ax,n?01,2f()?a，?0b余弦级数：coscosxf()