相似的证明与计算

1、相似的证明与计算.选择题11.如图，在四边形 ABCD中，DC/ AB, CB丄AB, AB=AD, CD= :AB,点 E、 别为AB、AD的中点，则 AEF与多边形BCDFB的面积之比为（1A.B.1 1C.， D.-3. （2015?湖南株洲别是B、D、F, 且，第7题3分）如图，已知 AB CD、EF都与BD垂直,AB= 1 ,CD= 3,那么EF的长是（1A. 3B.C.4D. 5如图所示， ABC中,DE/ BC,若确的是（）则下列结论中正皿0确周长周长AE 1DE 1a. EC 2B.SC 2D.如图，D、E分别是 ABC的边AB3，贝U SA DOE: SA AOC 的值为（B

2、C上的点,）DE/ AC,若处BDE2 2 2A.； B.C.* D.116SA CDE=1:如图，在 ABC中，AB=CB,以AB为直径的O 在CF上取一点 E,使DE=CD连接AE.对于下列结论：O交AC于点D.过点AD=DC;C 作 CF/ AB,厶CDE 屯計；AE为O O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是A. B. C. D.7. （2015湖北荆州第6题3分）如图，点P在厶ABC的边AC上，要判 断厶ABPA ACB,添加一个条件，不正确的是（）BCBAAD( )7 / 17A./ ABP=Z C B./ APB=Z ABC C& （2015?四川资阳，第10题3分）如图

3、段AB上两动点，且/ ECF=45 ,过点E、AP AB AB AC、八D.1= I.6，在 ABC中，/ ACB=90o AC=BC=1, E、F为线 F分别作BC AC的垂线相交于点 M ,1垂足分别为H、G.现有以下结论：AB- 2 ;当点E与点B重合时，MH=51AF+BE=EFMG?MH=2，其中正确结论为（）沢ALGA.B.C.D.9. （ 2015?浙江嘉兴，第5题4分）如图，直线11 12 13 ,直线AC分别交11,13于点A, B, C;直线DF分别交l1 , l2, l3于点D, E, F .AC与DF相较于点 且 AH=2, HB=1, BC=5,贝U 的值为（）l2,

4、H,(B) 2(C)(D)AH12.（2015?四川乐山，第5题3分）如图,/DEAB 3= 一分别交于点A、B、C和D、E、F.已知2 ,则0F的值为（,两条直线与这三条平行线)A.B.D.13.（2015?四川眉山，第6题3分）如图，AD/ BE/CF,直线11、12这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知 AB=1, BC=3, DE=2,则 EF 的长为(A. 4B. 5C.14. （2015黑龙江绥化，第BC=5 .若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点 小值为（）6 D.89题分）如图，在矩形A.10B.8=15. （2015?山东东营，第6题3分）若上 巾，则 工

5、A. 1B.的值为（C.D.16.（2015?山东东营，第 10 题 3 分）如图,在 RtA ABC 中，/ ABC=90,AB=BC.点CD,过点B作BG丄CD,分别交 CD、G,连结DF.给出以下四个结论：CA于点E、F,与过点A血恥;若点D是则AO 其中正确的结论序号是A.B.C.D.D是线段AB上的一点，连结 且垂直于AB的直线相交于点ZB 1AB的中点，贝U AF= $ AB;当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB;若血 2E 8AC于点P, DF经过点C将血绕点D顺时针方向旋转角B.PM于点 IM , 妙交 BC于点N,则CM的值为（C.二.填空题已知4a的值为如图, A

6、BC中，点D、E分别在边 AB, BC上, DE/AC,第10题17. （2015山东潍坊第 9题3分）如图，在 ABC中，AD平分/ BAC,按如下步骤作 图：1第一步，分别以点 A、D为圆心，以大于:AD的长为半径在 AD两侧作弧，交于两点M、N第二步，连接 MN分别交AB、AC于点E、F; 第三步，连接DE、DF.若 BD=6, AF=4, CD=3,贝U BE 的长是（） A. 2 B. 4C. 6 D. 819. （2015?安徽省，第9题，4分）如图，矩形 边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线 AE的长是（）A. 2 5B. 3 5C. 520. （2015山东济宁，10,

7、3分）将一副三角尺（在ilAO中，/ ACB=M, / B=M在ilAD/f，中，/ EDF=X）,/ E=4宁）如图摆放，点 D为AB的中点，DE交DB=4, DA=2, BE=3,则 EC=3 .已知： ABC中，点E是AB边的中点，点 F在AC边上，若以 A, E, F为顶点的三角形 与厶ABC相似，则需要增加的一个条件是 （写出一个即可）4. 如图，在 RtA ABC中，AB=BC / B=90 AC=10* .四边形 BDEF是厶ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）.则此正方形的面积是 .5. 如图1,在RtA ABC中，/ B=90 BC=2AB=8点D, E分别是边

8、BC, AC的中点， 连接DE.将厶EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.（ 1 ）问题发现AE _些当二=0时，BD； 当二=180时，BDAE（2）试判断：当0wa360时，DB的大小有无变化？请仅就图 2的情况给出证明（3）当厶EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.6 在矩0AD 中,AB=4 , BC=3，点 P 在形对角线上的A 处:EP沿DP折叠7.如图，頃线11,1AP的长为。若将6是一组等距离的平亍线,2, D分别与直线l3 , b相图于点B, E, C, F.若BC=2,过直线11上的点C作两条射线 则图EF长是 A,使Ar（备用图)E/ABC1D1的

9、边长为1 ,延长C1D18 .（ 2015?浙江湖州，第16题4分）已知正方形到A1,以A1C1为边向右作正方形 A1C1C2D2,延长 C2D2到A2,以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3如图所示），以此类推 ，若A1C仁2,且点A, D2, D3,，D10都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10的边长是 B& 爲Cw9. （2015?浙江嘉兴，第12题5分）右图是百度地图的一部分（比例尺1:4 000 000 ） 按图可估测杭州在嘉兴的南偏西 度方向上，到嘉兴的实际距离约为 .10. （2015?江苏泰州，第14题3分）如图，中，D为BC上一点，/ BAD=Z C,AB=6,B

10、D=4，贝U CD的长为11. （ 2015?山东临沂,第18题3分）如图，在 ABC中，BD, CE分别是边 AC, AB上的中线，BD与CE相交于点OBO,则 ODC12（2015湖北荆州第16题3分）如图，矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2,AB=5,把厶ABC沿着AC对折得到 AB , AB交y轴于D点，贝U BVb5 1 - J L0X点的坐标为13. （2015?广东省，第13题，4分）若两个相似三角形的周长比为2: 3,则它们的面积比是 .14. （2015?四川凉山州，第17题4分）在?ABCD中，M , N是AD边上的三等分点， 连接BD,MC 相交于 O

11、 点，贝U S MOD : SA COB=.15. （2015?四川成都，第 23题4分）已知菱形 A1B1C1D1的边长为2,Z A1B1C1= 60对 角线A1C1, B1D1相交于点O.以点O为坐标原点，分别以 OA1, OB1所在直线为x轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系.以 B1D1为对角线作菱形 B1C2D1A菱形A1B1C1D1,再 以A2C2为对角线作菱形 A2B2C2DQ菱形B1C2D1A2,再以B2B2为对角线作菱形 B2C3D2A3 s菱形A2B2C2D2,，按此规律继续作下去，在 x轴的正半轴上得到点 A1 , A2, A3,，y aAn,则点An的坐标为.B2DD勺

12、面积之比5 / 1716、（2015?四川自贡，第14题4分）一副三角板叠放如图，则C2A xD2为17、（ 2015?四川自贡 第15题4 分）如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，23 / 17在四边形纸片 ABCD中，AB=BCAD=CB日BD对折，再将对折后的图形沿从一个15题若铺平后的图形中有一个是面积20. （2015?甘肃兰州，第17题，4分）如果b dace,k（b d f = 0），apX使3,并保留作图痕迹18. （2015?浙江杭州,第16题4分）如图, / A=Z C=90, / B=150 ,将纸片先沿直

13、线 顶点出发的直线裁剪， 剪开后的图形打开铺平, 为2的平行四边形，则 CD=19. （2015?广东梅州，第12题，3分）已知： ABC中，点E是AB边的中点，点 F在AC边上，若以A, E, F为顶点的三角形与 ABC相似，则需要增加的一个 条件是（写出一个即可）且 a +c + e=3（b +d 十 f），那么 k=21. （2015山东省德州市，17, 4分）如图1，四边形 ABCD中，AB/ CD,AD=DC=CB=a /A=60取 AB的中点A1,连接A1C再分别取 A1C,BC的中点D1，C1连接D1C1得到四边形A1BC1D1 如图2;同样方法操作得到四边形A2BC2D2如图3

14、; ，如此进行下去，则四边形AnBCnDn的面积为三.解答题1.（2015山东省德州市，23，10分） （1）问题如图1,在四边形 ABCD中，点P为AB上一点，/ DPC=/ A=Z B=90.求证：ADBC=APBP探究P为AB上一点，当/ DPC=/ A=/ B=0时，上述结论是否依如图2，在四边形ABCD中，点 然成立？说明理由.(3)应用请利用(1)(2)获得的经验解决问题:如图3，在 ABD中，AB=6, AD=BD=5点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿 边AB向点B运动，且满足/ DPC=Z A.设点P的运动时间为t (秒)，当以D为圆心，以 DC为半径的圆与 AB相切

15、，求t的值.IVI I2. (2015?安徽省，第23题, 中点，过点E作AB的垂线, 且/ AGD=Z BGC.(1)求证：AD= BC;求证： AGA EGF城?3题图14分)如图1,在四边形ABCD中, 过点F作CD的垂线，两垂线交于点G如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求 -AF的值.3. (2015 山东威海，第 22题9分)如图，在 ABC中, 于占J 八、(1)D,交BC于点E.求证：BE=CE求AC的长.AEB第23题图154. (2015?四川广安，第25题9分)如图，PB为O O的切线，B为切点，过B作0P的垂线BA,垂足为C,交O O于点A,连接PA AO,并延长 A

16、O交O O于点E,与PB的延长线交 于点D.(1) 求证：PA是O O的切线；0C 2(2) 若二=:，且OC=4,求PA的长和tanD的值.6. (2015黑龙江绥化，第 28题 分)如图1，在正方形 ABCD中，延长BC至M ,使BM=DN , 连接MN交BD延长线于点E.(1) 求证：BD+2DE= 2 BM如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G.若AF:FD=1:2且CM=2，则线段DG=7. (2015 山 21题10分) ABC 中，AC为直径BC于点D,E,过点DAB,垂足为东潍坊第如图，在AB=AC,以的O O交交AB于点作 DF丄F,连接DE.(1) 求证：直线D

17、F与O O相切； (2 )若 AE=7, BC=6，求 AC 的长.& (2015 山东威海，第 23 题 10 分)(1)如图 1 ,已知/ ACB=Z DCE=90, AC=BC=6 CD=CE AE=3,Z CAE=45,求 AD 的长.(2) 如图 2,已知/ ACB=Z DCE=90，/ ABC=Z CED=/ CAE=30 , AC=3, AE=8,求 AD 的长.9. (2015?江苏徐州，第25题8分)如图，平面直角坐标系中，将含30的三角尺的直角顶点C落在第二象限.其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm(1) 若 OB=6cm. 求点C的坐标； 若点A向右滑

18、动的距离与点 B向上滑动的距离相等，求滑动的距离;(2) 点C与点O的距离的最大值= cm.10. (2015?江苏徐州,第26题8分)如图，在矩形 OABC中，OA=3, OC=5,分别以OA、OC 所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系， D是边CB上的一个动点(不与 C、B重合)，k反比例函数y= (k 0)的图象经过点 D且与边BA交于点E,连接DE.(1) 连接OE,若厶EOA的面积为2,贝U k= 4(2) 连接CA DE与CA是否平行？请说明理由；(3) 是否存在点D,使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点 D的坐标；若不 存在，请说明理由.11. (2015?山东东

19、营，第21题8分)(本题满分 8分)已知在 ABC中，/ B=90o,以AB上的 一点O为圆心，以 OA为半径的圆交 AC于点D,交AB于点E.(1) 求证：ACAD=ABAE;(2) 如果BD是O O的切线，D是切点，E是OB的中点，当 BC=2时，求AC的长.A12. (2015?绵阳第25题，14分)如图，在边长为 2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG=AD,动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着 AtC-G的路线向G 点匀速运动(M不与A, G重合)，设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N.(1) 是否存在点 M，使 ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若

20、不存在，请 说明理由；(2) 当点 N在AD边上时，若 BN丄HN, NH交/ CDG的平分线于 H,求证：BN=HN;(3) 过点M分别作AB, AD的垂线，垂足分别为 E, F,矩形AEMF与厶ACG重叠部分的面 积为S,求S的最大值.13. （2015?浙江省绍兴市，第 24题，14分）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形 OABC的顶点A在X轴的正半轴上，OA=4, OC=2点P,点Q分别是边BC,边AB上的点，连结 AC，PQ,点B1是点B关于PQ的对称点。（1 ）若四边形OABC为矩形，如图1， 求点B的坐标； 若BQ:BP=1:2,且点B1落在OA上，求点B1的坐标；（2）若四边

21、形OABC为平行四边形，如图 2,且OC丄AC,过点B1作B仆/ X轴，与对角线 AC、边OC分别交于点E、点F。若B1E: B仆=1:3点B1的横坐标为 m，求点B1的纵坐标， 并直接写出m的取值范围。/ A7 A第24题图14. （2015?山东聊城，第25题12分）如图，在直角坐标系中，RtA OAB的直角顶点 A在x轴上，OA=4, AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿 AO向终点O移 动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿 OB向终点B移动.当两个 动点运动了 x秒（0 VXV 4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（

22、2 ）设厶OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式；当 x为何值时，S有最大值？最 大值是多少？（3 ）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.16. （2015?四川乐山，第 23题 10 分）如图 1,四边形 ABCD中，/ B=Z D=90 AB=3, BC=2,4tanA=.（1 ）求CD边的长；（2）如图2,将直线CD边沿箭头方向平移，交 DA于点P,交CB于点Q （点Q运动到点 B停止），设DP=x四边形PQCD的面积为* ,求与丄的函数关系式，并求出自变量 丄的取值范围.17. （2015?浙江湖州，第23题10分

23、）问题背景：已知在 ABC中，AB边上的动点D由A 向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点 C沿BC的延长线方向运动（E不与C 重合），连结DE交AC于点F,点H是线段AF上一点 初步尝试：如图1，若 ABC是等边三角形，DH丄AC,且点D,E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点 D作DG/ BC,交AC于点G,先证GH=AH，再证GF=CF从而证得结论成立 思路二：过点 E作EM丄AC,交AC的延长线于点 M，先证CM=AH，再证HF=MF,从而证得 结论成立请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答

24、，则以第一种方法评分）类比探究：如图 2,若在 ABC中，/ ABC=90, / ADH=Z BAC=30,且点D, E的运动速AC度之比是: 1，求丑F的值延伸拓展：如图 3,若在 ABC中，AB=AC, / ADH=Z BAC=36,记C =m，且点 D、EAC的运动速度相等，试用含 m的代数式表示丑F（直接写出结果，不必写解答过程）.19. (2015?四川眉山，第25题9分)如图，在矩形 ABCD中，E是AB边的中点，沿 EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处，折痕为EC,连结AP并延长AP交CD于F点，(1) 求证：四边形 AECF为平行四边形；(2) 若厶AEP是等边三角形，连结

25、BP,求证： APBA EPC(3) 若矩形 ABCD的边AB=6, BC=4,求厶CPF的面积.20. (2015湖南省益阳市，第 20题12分)已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且APv PB. AP绕点A逆时针旋转角 到a ( 0 a AM),点A和点B都与点E重合；再将 CQD沿DQ折叠，点C落在线段 EQ上点F处.(1)判断 AMP, BPQ, CQD和厶FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)3(2)如果 AM= 1, sin/ DMF= 5，求 AB 的长.23. (2015?四川南充，第24题10分)如图，点 P是正方形 ABCD内一点，点P到点A, B 和D的距离分别为1, 2血，顶 . ADP沿点A旋转至 ABP,连结PP,并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证： APP是等腰直角三角形;(2)求/ BPQ的大小;(3)求CQ的长.24. (2015?江苏南京，第20题8分).如图， ABC中，CD是边AD CDAB上的高，且 BD .求证： ACMA CBD (2)求/ ACB的大小.25. (2015?江苏无锡,第28题10分)如图，C为/ AOB的边OA上一点，OC=6, N为边OB上 异于点 O的一动点，P是线段 CN上一点，过点 P分别作PQ/ OA交OB于点Q, PM/ OB 交OA于点M .(1)若/ AOB=60,