10-1曲线积分

1、第十章第十章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分 曲线域曲线域曲面域曲面域 曲线积分曲线积分 曲面积分曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分曲面积分 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 第十章第十章 前一章我们已经把积分概念从积分范围的角前一章我们已经把积分概念从积分范围的角 度从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一度从数轴

2、上的一个区间推广到平面或空间内的一 个区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度个区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度 不均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通不均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通 过某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需过某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需 要对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和要对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和 曲面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的曲面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的 中心内容，此外还要介绍中心内容，此外还要介绍 Green 公式、公式、Gauss 公式公式 和和 Stokes 公式，这些公式揭示了存

3、在于公式，这些公式揭示了存在于 各种积分之间的某种联系。各种积分之间的某种联系。 重点重点 第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法 Green公式、公式、Gauss 公式公式 曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 难点难点 第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算 基本要求基本要求 正确理解曲线积分和曲面积分概念正确理解曲线积分和曲面积分概念 熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法 掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、 性质、计算方法上的异同性质、计算方法上的异同 掌

4、握第二型曲线积分与路径无关的条件掌握第二型曲线积分与路径无关的条件 牢固掌握牢固掌握Green公式及其成立条件公式及其成立条件 牢固掌握牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件公式及其成立条件 一、问题的提出一、问题的提出 实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量 匀质之质量匀质之质量 . sM ox y A B 1 M 2 M 1 i M i M 1 n M L ),( ii 分割分割 , 121in sMMM ,),( iii s 取取.),( iiii sM 求和求和 .),( 1 n i iii sM 近似值近似值 取极限取极限.),(lim 1 0 n i iii sM 精确值精

5、确值 二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义定义 ,),( ,),( , ),(,. ,. ),(, 1 121 n i iii iii iii n sf sf i si nLMMMLL yxfxoyL 并作和并作和 作乘积作乘积 点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一 为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段 分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在 函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设 ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ),( ii L .),(lim),( ,),(, ),(, ,0 1

6、 0 n i iii L L sfdsyxf dsyxf L yxf 即即记作记作线积分线积分 第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧 则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在 时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的 积分弧段积分弧段 被积函数被积函数 积分和式积分和式 曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( L dsyxM 2.存在条件：存在条件： .),( ,),( 存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 L dsyxf Lyxf 3.推广推广 曲曲线线积积分分为为

7、 上上对对弧弧长长的的在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数 ),(zyxf .),(lim),( 1 0 i n i iii sfdszyxf 注注 意：意： )(,)(. 1 21 LLLL 是是分分段段光光滑滑的的或或若若 .),(),(),( 2121 LLLL dsyxfdsyxfdsyxf 2.( , ) ( , ). 3.( , )( , ) L L f x yL f x y ds f x y dsf x y L 函数在闭曲线 上对弧长的 曲线积分记为 中的被积函数 定义域是 上 的 的一切点。 思思 考考: : (1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么问 L

8、s (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否否! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中 但定积分中 dx 可能为负可能为负. 4.性质性质 .),(),(),(),()1( LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf ).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkf LL .),(),(),()3( 21 LLL dsyxfdsyxfdsyxf ).( 21 LLL 5、几何与物理意义、几何与物理意义 ,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;),( L dsyxM ;,1),()2( L

9、 dsLyxf 弧弧长长 时时当当 ,),( ),()3( 处处的的高高时时柱柱面面在在点点 上上的的表表示示立立于于当当 yx Lyxf s L ),(yxfz .),( L dsyxfS柱 柱面面面面积积 三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算 22 ( , ), ( ), () ( ), ( ),( ) , , ( , ) ( ),( )( )( ) () L f x yL xt Lt yt tt f x y dsftttt dt 设在光滑曲线弧 上有定义且连续 的参数方程为其中 在上具有一阶连续导数且 定理： 基本思路基本思路:计算定积分计算定积分 转转 化化 求曲线积分求曲

10、线积分 xd yd sd x y o L syxfd),( tttttfd)()()(),( 22 3. 注意到注意到 22 )(d)(ddyxs tttd)()( 22 x 因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. . （证明略） 注意注意: : ;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限 2.( , ),.f x yx y中不彼此独立 而是相互有关的 而受方程L的约束，实际上，此时f(x,y)只依赖 于一个变量。 不同特殊情形：不同特殊情形： .)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),( 2 dxxxxfdsyxf b aL .)(:)2(dy

11、cyxL .)(1),(),( 2 dyyyyfdsyxf d cL 如果方程为直角坐标形式如果方程为直角坐标形式: : （3 3）如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式: :),()(: rrL 则syxf L d),( )sin)(,cos)(rrf （4 4）设空间曲线弧的参数方程为：设空间曲线弧的参数方程为： )()(, )(),(:ttztytx 则 szyxfd),( ttttd)()()( 222 d)()( 22 rr )(),(, )(tttf 代代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，：将积分曲线的参数方程代入被积函数， 换换：换弧微元：换弧微元dtyxds 22 定限定限

12、：定积分限，下限：定积分限，下限小参数，上限小参数，上限大参数大参数 一代、二换、三定限一代、二换、三定限 ( , )d L f x ys 计算的基本方法： 例例1. 计算,d L sx其中 L 是抛物线 2 xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(: 2 xxyL L sxd 1 0 xxxd)2(1 2 xxxd41 1 0 2 1 0 2 3 2 )41 ( 12 1 x )155( 12 1 上点 O (0,0) 1 L x y 2 xy o ) 1 , 1 (B 例例2 .) 2, 1 () 2 , 1 (,4: , 2 一一段段到到从从其其中中 求求 xyL y

13、dsI L xy4 2 解解 dy y yI 2 2 2 ) 2 (1 . 0 怎么计算方便？怎么计算方便？ 例例3. 计算计算 L xyds其中其中L为为 222 ayx 在第二象限的部分（在第二象限的部分（a0） 解一解一 将将L表示为表示为 0, 22 xaxay dxyds 2 1 dx xa a 22 dx xa a xaxxyds L a 22 0 22 2 3 a 解二解二将将L表示为表示为 ayyax 0, 22 dyxds 2 1 dy ya a 22 22 22 0 () a L a xydsay ydy ay 2 3 a 解三解三 将将L表示为参数方程表示为参数方程 ta

14、y tax sin cos ) 2 ( t adtdttatads 22 )cos()sin( L adttataxyds 2 sincos 2 3 a 例例4 )20(. ,sin,cos:, 的的一一段段 其其中中求求 kz ayaxxyzdsI 解解 dkaka 222 sincos 2 0 I . 2 1 222 kaka 练习练习 () . L xy ds 计算其中 解解. 0)( x (1) : (0,0) (2,0) LoA点到点的直线； (2) : (2,0) (2,3) LAB点到点的直线； A x y o2 3 B (1) L：. 20 , 0)( xxy L dsyx)(

15、dxx 2 0 2 01 )0( dxx 2 0 . 2 . 0)( x (2) L：. 30 , 2)( yyx L dsyx)(dyy 3 0 2 01 )2( dyy 3 0 )2( . 2 21 例例5. 计算,dsxI L 其中L为双纽线 )0()()( 222222 ayxayx 解解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 ) 4 0(2cos: 1 arL 利用对称性 , 得 sxI L d4 1 4 0 22 d)()(cos4 rrr 4 0 2 dcos4 a 2 22a ,2cos: 22 arL y o x 例例6. 计算曲线积分 ,d)( 222 szyx其中为螺旋 的

16、一段弧. 解解: szyxd)( 222 2 0 222 )()sin()cos(t ktata ttkakad 2 0 22222 0 2 3 2 222 3 t k taka )43( 3 2 22222 kaka tktatad)cos()sin( 222 )20(,sin,costtkztaytax线 d d s 例例7. 计算,d)( 222 szyxI 其中为球面 22 yx 解解: , 1 1)( : 2 4 1 2 2 1 2 1 zx yx :20 2 )sin2( 2 )cos2( 2 )sin2( 18d2 2 92 0 I d2 cos2 2 1 z . 1的交线与平面

17、 zx 2 9 2 z 化为参数方程 2 1 cos2x sin2y 则 注注 关于对弧长的曲线积分的对称性关于对弧长的曲线积分的对称性 若若 L 关于关于 y 轴对称轴对称 L dsyxf),(对对 L dsyxfyxfyxf0),(),(),() 1 (时时当当 LL dsyxfdsyxfyxfyxf 1 ),(2),(),(),()2(时时当当 其中其中L1 是是L 的关于的关于 y 轴对称的部分弧段轴对称的部分弧段 0,),( | ),( 1 xLyxyxL 若若L关于关于 x 轴对称轴对称 L dsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时时当当 LL dsyxfdsyxfyxf

18、yxf 2 ),(2),(),(),()2(时时当当 其中其中L2 是是L 的关于的关于 x 轴对称的部分弧段轴对称的部分弧段 0,),( | ),( 2 yLyxyxL 若若 L 关于关于 原点对称原点对称 L dsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时时当当 LL dsyxfdsyxfyxfyxf 3 ),(2),(),(),()2(时时当当 其中其中 L3 是是 L 的对称的部分弧段的对称的部分弧段 00,),( | ),( 3 yxLyxyxL 若若 L 关于直线关于直线 y = x 对称对称 LL dsxyfdsyxf),(),( 与重积分的对称性十分类似与重积分的对称性十分

19、类似 例例. 计算计算 32 () L xyds 其中其中L为为: 222 ayx 解解由对称性由对称性, 知知 2222 1 (). 2 LLL Iy dsx dsxyds 22 1 () 2 Ixyds 故 2 2 L a ds 3. a (2,) L ads 圆的周长 3 0 x ds 例例 . 0 , , 2222 2 zyx azyx dsxI 为圆周为圆周其中其中 求求 解解由对称性由对称性, 知知. 222 dszdsydsx dszyxI)( 3 1 222 故故 ds a 3 2 . 3 2 3 a ),2(球球面面大大圆圆周周长长 dsa 注：常规方法是消去注：常规方法是消去z，化为参数方程求解。，化为参数方程求解。 繁！繁！ 五、小结