统计学第五章-概率与概率分布培训课件

1、统计学第五章-概率与概率分布学习目标1 了解随机事件的概念、事件的关系和运算2理解概率的定义，掌握概率的性质和运算 法则3.理解随机变量及其分布，计算各种分布的概 率4.用Excel计算分布的概率第一节概率基础一.随机事件及其概率二.概率的性质与运算法贝u随机事件的几个基本概念1.1在相同条件下，对事物或现象所进行的观察2. 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数3. 试验具有以下特点3 可以在相同的条件下重复进行3 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所 请可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果事件的概念1.1事件：随机试验的每一个可能结果（任何样本点集合

2、） 例如：掷一枚骰子出现的点数为32. 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数3. 必然事件：每次试验一定出现的事件，用G表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于74. 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示3 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6事件与样本空间1.1基本事件3个不可能再分的随机事件03例如：掷一枚骰子出现的点数2.样本空间3个试验中所有基本事件的集合，用0表示3 例如：在掷枚骰子的试验中，。二1,2,3,4,5,6在投掷硬币的试验中，0=正面，反事件的关系和运算_ （事件的包含）t若事件4发生必然导致事件B发生，则 称事件B包含事件4,或事

3、件4包含于事件 B,记作或AuB或事件的关系和运算（事件的并或和）事件4和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的并。它是由属于事件4或事件B的所有的样本点组成的集合，记为或4+BXXW屋煲*邑 xxxxx 歧xexxzAUB事件的关系和运算 （事件的交或积） 山件4与事件B同时发生的事件称为事件4与事 件B的交，它是由属于事件4也属于事件B的所有 公共样本点所组成的集合，记为或事件的关系和运算（互斥事件）十事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不 发生，则称事件4与事件B是互斥的，否则称两个事 件是相容的。显然，事件4与事件B互斥的充分必要 条件是事件A与事件B没有公共的样本点A

4、与B互不相容（事件的逆）A个事件B与事件人互斥，且它与事件4的并是 整个样本空间G,则称事件B是事件A的逆事件。 它是由律本空间电所肴不属于事件4的祥本点所组 成的集合，记为AA事件的关系和运算（事件的差）件A发生但事件B不发生的事件称为事件A 与事件B的差，它是由属于事件4而不属于事件 B的那些样本点构成的集合，记为4-B事件的关系和运算 （事件的性质） 设4、B、C为三个事件，则有1. 交换律：2. ACB=BCA2.结合律：AU(BUC)=(AUB)UC分配律:A(BC) =(AB) CA U (BnC)=(AUB)n(A U C)AA(B U C)=(AAB) U (AAC)事件的概率

5、事件的概率1. 事件力的概率是对事件A在试验中出现的 可能性大小的一种度量2. 表示事件A出现可能性大小的数值3. 事件A的概率表示为FQ4)4. 概率的定义有：古典定义、统计定义和 主观概率定义事件的概率0.0011110255075100125试验的次数il 睁例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面率， 随着投掷次数n的增大， 正蔚/试验次数 稳爲亩i/2左右出现正面和反面的频的频0.750.500.25概率的古典定义且相含含 而性包包睁 如果某一随机试验的结果有限， 各个结果在每次试验中出现的可能 同，则事件A发生的概率为该事件所 的基本事件个数加与样本空间中所 的基本事件个数兀的比值，记为

6、(实例)【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。 从该公司中随机抽取1人，问：(1)该职工为男性的概率某钢铁公司所属企业职工人数工厂男职工40003200900女职计620048001500炼钢厂 炼铁厂 轧钢厂合计8500400012500概率的古典定义（计算结果）解：（1）用A表示“抽中的职工为男性”这一事件；A 为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的 集合。则（2）用B表示“抽中的职工为炼钢厂职工” ；B为炼钢 厂全体职工的集合：某本空间为全体职工的隼合。则概率的统计定义 在相同条件下进行次随机试验，事件 4出现加次，则比值mln称为事件4发生 的频

7、率。随着的增大，该频率围绕某一 常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小, 取向于稳定，这个频率的稳定值即为事 件4的概率，记为主观概率定义概率的统计定义（实例）某工厂为节约用电，规定每天的用电量指为1000度。按照上个月的用电记录30天中有12天 的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节 电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了 30 次试验，试验4表示用电超过指标出现了 12次。根据 概1. 对一些无法重复的试验，确定其结果的 概率只能根据以往的经验人为确定2. 概率是一个决策者对某事件是否发生， 根据个人掌握的信息对该事件发生可能 性的判断

8、3. 例如，我认为2001年的中国股市是一个 盘整年概率的性质与运算法则概率的性质十罪负性q 对任意事件4,有0VPV12. 规范性5 必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0。 即P(/2) = l; P( 0,则P(AB)=P(B)P(AE),或P(AB)=P(A)P(BA)（实例）设有1000中产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的 概率是多少？解：设4表示“第i次抽到的是次品”（Z=l,2） ,所求槪率为PSA）事件的独立性1.2.3.4.4.5.P(AA2 如二阿叫). P(An)一个事件的发生与否并不影响另一个事 件发土的概率，则称两个事件独立

9、若事件4与B独立，则P(BIA)=P(B), P(AIB)=P(A)此时概率的乘法公式可简化为P(AB)=P(B)P(B)推广到个独立事件，有(实例)【如1】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内 机床不需要看管的概率：甲机床为0.9,乙机床为0.8,丙机 床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求(1) 在30分钟内三台机床都不需要看管的概率(2) 在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看 管的概率解：设4, A2,去为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事 件，生为丙机床需要看管的事件，依题意有(1) 恥曲3)= P31)屮(人2) P(A3)=0.9x0.8x0.85=0.

10、612(2) PGM? A3)= P(4J P(A2) P( A3)= 0.9x0.8x(1-0.85)=0.108全概公式设事件A, A2, An 两两互斥，Aj+A2+.+ A=Q （满足这两个条件的事件组称为一个完备事 件组），且尸（紳0（归1,2, .），则对任意事件B, 有我们把事件儿，A2,An看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B能且只能在原有儿， A2，入之一发生的条件下发生，求事件B的 概率就是上面的全概公式全概公式（实例）iWi某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的 次品率分别为5%、4%、2%,它们各自的产品分别占总产量 的25%、35%、40%,将它们的产品

11、组合在一起，求任取一 个是次品的概率。解：设4表示“产品来自甲台机床”，表示“产品来自 乙台机床”,鸟表示“产品来自丙台机床”；B表示“取到 次品”。根据全概公式有贝叶斯公式（逆概公式）1. 与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立 在条件概率的基础上寻找事件发生的原因2. 设兀个事件？1 , A2，.，An两两互斥，A1+A2+.+ An=/2 （满足这两个条件的事件组称为 一个完备事件组），且尸（4）0（匸1,2,贝U第二节随机变量及其分布贝叶斯公式（实例）TW1某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的 次品率分别为5%、4%、2%,它们各自的产品分别占总产量 的25%、35%、4

12、0%,将它们的产品组合在一起，如果取到的 一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率解：设缶表示“产品来自甲台机床”，仏表示“产品来自 乙台机床”,仏表示“产品来自丙台机床” ，B表示“取到 次品”。根据贝叶斯公式有：一.随机变量的概念j 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率分布随机变量的概念随机变量的概念1J2.3.一次试验的结果的数值性描述 一般用X、Y. Z来表示例如:投掷两枚硬币出现正面的数量4根据取值情况的不同分为离散型随机变 量和连续型随机变量连续型随机变量抽查100个产品一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售 销售一辆汽车取到次品的个数 顾客数 销售量顾客性别

13、1J随机变量X取有限个值或所有取值都可以逐 个列举出来X,X2，.2. 以确定的概率取这些不同的值3. 离散型随机变量的一些例子随机变量可能的取值0,1,2,J000J20丄2, 男性为0,女性为11.1随机变量X取无限个值2. 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取 数轴上某一区间内的任意点3. 连续型随机变量的一些例子随机变量可能的取值X00 X 0抽查一批电子元件 新建一座住宅楼 测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后工程完成的百分比 测量误差(cm)离散型随机变量的概率分布通常用下面的表格来表示P(X =xi)=pi px, p2 ,9 pnP(X=k)书称为离敲型随机变量的概率函藪

14、 PiO11列出离散型随机变量X的所有可能取值2.列出随机变量取这些值的概率3.4.（实例）【例】如规定打靶中域I得3分，中域II得2分 ,中域III得1分，中域外得0分。今某射手每100 次射击，平均有30次中域I, 55次中域II, 10 次中III, 5次中域外。则考察每次射击得分为 0丄2,3这一离散型随机变量，其概率分布为0m3P(X=xi)pi0.050.100.550.30离散型随机变量的概率分布（01分布）例如,男性用1表示，女性用0表示; 合格品用1表示，不合格品用表示 2-列出随机变量取这两个值的概率（01分布实例）【例】已知一批产品的次品率为p = 0.05,合格 率为?

15、=l-p=l-0.5=0.95o并指定废品用1表示， 合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这 一离散型随机变量，其概率分布为0P(X=Xi)=Pi0.050.95弘)1 -0.5 离散型随机变量的概率分布（均匀分布）3恣壽轟枚骰子出现的点数及其出离散型随机变量的概率分布（均匀分布实例）【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型 随机变量，其概率分布为p（X=xz）=pz 1/61/61/61/61/61/6123456 x离散型随机变量的数学期望和 方差离散型随机变量的数学期望汁琏离散型随机变量X的一切可能取值的完备 组中，各可能取值兀与其取相对应的概率口乘 积之和2. 描述离散型随机变量取

16、值的集中程度3. 计算公式为离散型随机变量的方差11.随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方 和的数学期望，记为D(X)2. 描述离散型随机变量取值的分散程度3. 计算公式为（实例）溜鑼册躲现催鑽HI机P(X =Xi)=Pi1.2.31/6 1/6 1/6 1/61/6 1/6解：数学期望为:方差为:几种常见的离散型概率分 布常见的离散型概率分布离散型随机变量的概家夯布二项分布泊松分布超几何分布二项试验（贝努里试验）F二项分布与贝努里试验有关2. 贝努里试验具有如下属性 试验包含了 n个相同的试验 每次试验只有两个可能的结果，即“成功” 和“失败” 出现“成功”的概率p对每次试验结果是相 同

17、的；“失败”的概率q也相同，且p + g二 13 试验是相互独J2-的3 试验“成功”或“失败”可以计数二项分布1进行n次重复试验，出现“成功”的次数 的概率分布称为二项分布2.设X为n次重复试验中事件A出现的次数， X取兀的概率为二项分布1. 显然）对于PX=x 05 x =1,2.,有2. 同样有3. 当二1时，二项分布化简为二项分布的数学期望和方差1-二项分布的数学期望为2E (X) = np2.方差为二项分布(实例)例】已知100件产品中有5件次品，现从中任 取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件 声品中恰好肴2件次品的概率解：设X为所抽取的3件产品中的次品数，则 XB(3,0.0

18、5),根据二项分布公式有泊松分布1.用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、体积之内每一事件出现次数的分布2. 泊松分布的例子03个城市在一个月内发生的交通事故次数3消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数03人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数泊松概率分布函数九一给定的时间间隔、长度、面积、 体积内“成功”的平均数e = 2.71828兀一给定的时间间隔、长度、面积、体 积内“成功”的次数泊松概率分布的期望和方差I1- 泊松分布的数学期望为2- E(X)j2.方差为D(X) = X4.泊松分布(实例)例】假定某企业的职工中在周一请假的人数X 服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为 2.5

19、人。求(1) X的均值及标准差(2) 在给定的某周一正好请事假是5人的概率解：(1)E(X)=X=2.5； D(X) = X = Z5=1.581(2)泊松分布（作为二项分布的近似）1. 当试验的次数n很大，成功的概率p很小时, 可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率, 即2.实际应用中，当P20, “55时，近 似效果良好连续型随机变量的概率分 布连续型随机变量的概率分布1.连续型随机变量可以取某一区间或整个 实数轴上的任意一个值2. 它取任何一个特定的值的概率都等于03. 不能列出每一个值及其相应的概率4. 通常研究它取某一区间值的概率5. 用数学函数的形式和分布函数的形式来 描述概率密度

20、函数11设X为一连续型随机变量，x为任意实数, x的概率密度函数记为兀0，它满足条件2.兀0不是概率X密度函数兀t）表示X的所有取值x及其频咬如频数丿值,频数）/厂在平面直角坐标系中画出/(x)的图形，则对于任积概率是曲线E迫页积何实数兀1 V兀2，P(%1 X吃)是该曲线下从西到的面分布函数1. 连续型随机变量的概率也可以用分布函数 尸（兀）来表示2. 分布函数定义为3.根据分布函数，PaXb）可以写为分布函数与密度函数的图TF1密度函数曲线下的面积等于12分布函数是曲线下小于X。的面积fM兀0连续型随机变量的期望和 方差1.连续型随机变量的数学期望为2.方差为均匀分布均匀分布I. 1若随机

21、变量X的概率密 度函数为2.称X在区间匕0上均匀分布/（X）2. 数学期望和方差分别为正态分布的重要性正态分布Xdl.描述连续型随机变量的最重要的分布 2.可用于近似离散型随机变量的分布例如:二项分布 3.经典统计推断的基础概率密度函数Ax)=随机变量x的频数a2 =总体方差7T =3.14159; e = 2.71828X =随机变量的取值(-0C X 0C) “ =总体均值正态分布函数的性质1. I概率密度函数在X的上方，即/（劝02. 正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数3. 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值的 标准差O来区分。决定曲线的高度，CF决定曲线的平缓

22、 程度，即宽度4. 曲线几劝相对于均值/对称，尾端向两个方向无限延伸， 且理论上永远不会与横轴相交5. 正态曲线下的总面积等于16. 随机变量的概率由曲线下的面积给出“和（T对正态曲线的影响/(x)标准正态分布的重要性! 一般的正态分布取决于均值“和标准差b2- 计算概率时，每一个正态分布都需要有 自己的正态概率分布表，这种表格是无穷 多的3- 若能将一般的正态分布转化为标准正态分 布，计算概率时只需要查一张表标准正态分布函数1. I任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布2. 标准正态分布的概率密度函数3. 标准正态分布的分布函数标准正态分布一般正态分布a标准正态分布Q =11将一个一般的转换为标准正态分布2- 计算概率时，查标准正态概率分布表3- 对于负的兀，可由(D (-x)= 1 -0 (x)得到4- 对于标准正态分布，即XN(O,1),有 P X /?)=(Z?)(a)5 P (IXI d)= 20(a) 15- 对于一般正态分布，即X