一种混沌非线性系统地鲁棒控制

1、一种混沌非线性系统的鲁棒控制通过应用反馈精确线性化方法给出了受控一类混沌系统的标准型，然后利用标准形将线性部分和非线性部分的分离特点进行了鲁棒控制器的设计，由此设计出原混沌系统的非线性鲁棒控制器。1、受控混沌系统的标准型 考虑一下一类混沌系统：Xi = 10（x? Xi） + 25a（ X2 X-|）（1）* X2 = 28xi x? Xi X3 （35Xi 29x2） aXXiX3X3aX3首先引入输出信号y = %，构造如下受控混沌系统:X =10（x2 -xj +25a（x2 -为）x2 =28咅x2 x,% （35x, 29x2）a + u8 1X3 =X1X2-孑3-尹冷y订其中u是

2、控制参变量，其它参数同系统（1 ）。本文中所采用方法的目的是根据系统（2）本身的特点来设计鲁棒控制器，使得统一混 . ” * * * * * *沌系统（2）收敛到指定的平衡点 （为公2,乂3）处，显然（X1,X2,X3）应满足下列方程:0 =10（x2 -论）+25a（x2 -论）0 =28为-x2 -乂3 -（35x1 -29x2）a（3）* * 8 * 1 *0 = % x2 一 x, 一 ax32333式（2）减式（3）得% =10山 一 yj +25aS yjy2 =（28x；）y3 y2xdy（35% 29y2）a+u*丄 *81（ 4）y3 = y2 +X2% +x2 3丫3 ：a

3、y33300* * * *其中 y1 =X1 X1 ,y2 =X2 X2, y3=X3X3,y = yX1。通过上述分析，要设计鲁棒控制器使得混沌系统（2）收敛到指定的平衡点（X*, X； , X；）处,就是使受控统一混沌系统（4）收敛到平衡点（0,0,0 ）处。为了叙述方便，将式（4）简记为下列的式（5）:X =10(冷xj+25a(x2 xjx2 =(28 -爲)! x2 4X3 (35xj 29x2)a +u8 1x3 =x-!x2 +a2x 召 - i0x? - 10a z - 10Z1ZLz = _ _- z + 佝 + a2) N + 才 + 色 z2 +互31010则有：z -

4、z2 25az22z3 = Lfh(x) + LgLf h(x)u 10258(X2 x,) +10 汇 35x29x2)a= (270 -10a3)z1 -11z2 -10a1 -10a1z (4z2-60zja 10u取状态反馈1 2 1u =(LgLfh(x) (v -L：h(x)(v -(270 -10a3)y1 11y2 10a1z 10y1z)10v为引入的新控制变量。则系统(8)可化为如下标准型：z = 一a z +佝 十a2)乙+才 十旦1 z2十上131010* 4 =勺 +25az2z2 =v +(4z2 60zja又因dfg(x)=000f

5、(x)-28 - a3 - x3-1a 一 x 1i000 一-X2 + a2X1 +30一1 ?_-_x1_，故矩阵01 g(x),adfg(x)= 0 一0-100A=(g(x) adfg(x) g(x), ad f g(x) = 110 的秩 r(A) = 20Xi ai 0因此由上述讨论可知系统(6)与系统(9)是反馈等价系统。如果能构造出系统(9)的鲁棒控制器V ,那么也就可以得到系统(6)的鲁棒控制器了。3、非线性鲁棒控制器的设计混沌系统的标准型(9)已将系统(6)的线性部分与非线性部分分离出来。这样可以通 过构造线性鲁棒控制器 V使得线性部分的渐近性来控制非线性部分的渐近性。对线

6、性部分：(10)z,二 z, 25az2z2 =v (4z2 -60zJa可以通过线性控制律 v =匕 k2y2使得子系统(10)的鲁棒稳定。定理1如果线性控制律 v = pz qz2的参数满足(p,q) M =( p,q): p ：0,q ： -4，则线性控制律 v = qz2使得子系统(10)的鲁棒稳定。证明 将线性控制律v = pzi qz2代入式(10)得乙二乙 25az22( 11)z2 = pz1 qz2 (4z2 -60乙归设系统(11)的特征多项式为 f)，则：fC) = 2 -(4a qr - (r 25a)(p-60a)当(p,q) M =( p, q): p : 0,q

7、： -4，又 0 a 1，则:(1 25a)(p 60a) 0,(4 a q) 0.故特征多项式方程 f () = 0的所有根的虚部为负，故系统(11)鲁棒稳定。对线性系统(11)来说，渐近稳定意味指数稳定。则由指数稳定的定义知：f C ) = 0 c 00有引兰ce,i =1,2( 12)对于非线性子系统8 +a i / 丄、2 x a11 Z1Z2zz (q a?)Z1 Zz-Z2- -( 13)31010为讨论问题的方便，现考虑平衡点 (0,0,0)的镇定，此时a =a2二a3 =0，( 13)式变为砂210(14)其他平衡点的讨论类似。为了讨论式(14)在一定条件下的稳定性，现引入引理

8、1。引理1若非负函数V(x(t),t)满足下列不等式V(x,t)-aV(x,t) beja 0,b_0,：0 则 timV(x,t)=0证明 令 w(t)二V(x,t) aV(x,t) -be，则:w(t)空 0,_t _ t0又O W(x,t) 7仇出)严0)V(Xo,to)e(tJo)bea e4)sds =先0V(Xo,to)e(tA) +b(t-to)eRa = PV(Xo,to)e(t3 +(护e(t40), p P 、.一a _ P显然当tr :时式(15)不等式右端均指数趋于 0。因此：lim V(x,t) =0证毕。t_ :现取Lyapunov函数V(z(t) =z2，应用式(

9、12)及不等式2ab _ a2 b2,一 a,b可得2(8 a) 222z(Z2Zz +2zjz+102 2 2 4.10 242 z1Z2 z .127 211c 加zz, z ze3103010V l(14)=3(16)将引理1应用于式(16)可知lim V(z(t) =0，从而lim z(t0即式(14)z_子系统是指数收敛于原点z = 0。说明满足定理1的控制器v = k1y1亠k2 y2可使系统(9 )鲁棒镇定到原点。通过以上分析可得到下列定理2定理2 如果非线性控制器取为 u = 1 (v-(270 -10a3)z1 11z2 10a1z 10乙z)10X1X3p T0q 10a3 - 38010X1 (q 11)X2 a/3其中（p,q）. M 二（ p,q）: p ：0,q ： 一4,总）为系统（1）的平衡点。则系统（5）指数收敛于（0,0,0） o4、仿真这里我们将举例说明定理 2的有效性。若取p - -1,q - -6,（a1,a2,a3（0,0,0）, a = coS（t）（这是未知参数即扰动项，为了仿真特取此值）。此时，非线性鲁棒控制器为 u =乂瘁3 -321为 5x2，利用Simlink仿真,结果 见图1，系统（