极限的求法及技巧.

1、本科毕业论文（设计）题目极限的求法及技巧The Method and Techniques of the Limit山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作 所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意本声明的法律结果由本人承担.学位论文作者签名 年月日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布

2、论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文 .指导教师签名 论文作者签名 年月日年月日极限的求法摘要求数列和函数的极限是数学分析的基本运算，而对极限的求法也是多种多样.本文首先阐述了数列极限以及函数极限的定义，然后着重归纳分析了求解极限的各种方法，包括四则运算求极限法则、利用函数连续性求极限、利用两个重要极限求极限是求极限的基本 方法，夹逼定理和单调有界定理是重要的定理，而洛必达法则求极限、利用泰勒公式求极限方法等是针对某些特殊函数或数列的求极限方法，以及一些常用的求极限方法，总共归纳了十三种求极限的主要方法，并针对每种方法作了详尽阐述，配以例题，对各种求极限 方法及技巧进行了归

3、纳总结，从而帮助我们掌握极限的求法关键词 极限；泰勒公式；函数连续性；夹逼定理；洛必达法则；The Method and Techniques of the LimitABSTRACTFor the sequence and the limit of a function is a mathematical analysis of basic operation ， Ultimate solution to a wide range. First described has series limit and function limit of defines, then focuses on

4、antibody analysis has solution limit of several method, arithmetic begged limit rule, and uses function continuity begged limit, and uses two important defines begged limit is begged limit of basic method, clip forced theorem and monotone has defined acting is important of theorem, and L hospital ru

5、le begged limit, and uses Taylor formula begged limit method, is for some special function or series of begged limit method, and some com mon of begged limit method, An tibody in a total of 12 primary approaches to the limit.Keywords : Limit ； Taylor formula ； function continuity ； both sides clip l

6、aw ； L hospital rule目录一、弓I言 1二、极限的定义 1（一）数列极限的定义 1（二）函数极限的定义 21. 当X，时f（x）的极限定义 22. 当X厂：时f （X）的极限定义 23. 当X X。时f（x）的极限定义 24当X-； X。时f （X）的极限定义 2三、 极限的求法 3（一）四则运算求极限法则 3（二）利用函数连续性求极限 4（三）复合函数求极限法则 5（四）利用两个极限准则求极限 51利用夹逼定理求极限 52 利用单调有界准则求极限 6（五）利用两个重要极限求极限 71当极限含有三角函数时 72 极限中含有幕指函数时 7（六）利用洛必达法则求极限 71 .型未

7、定式 702.型未定式 83 其他未定式形式极限 9（七）利用等价无穷小因子替换求极限 9（八）利用无穷小量的性质求极限 10（九）利用导数的定义求极限 10（十）利用定积分的定义求极限 11（十一）利用泰勒公式求极限 12（十二）利用函数极限求数列极限 14（十三）利用拉格朗日中值定理求极限 14参考文献16、引言极限是学习数学分析的过程中最基本的概念之一，极限是指变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的极限值极限的概念最终是由柯西和维尔斯特拉斯等人严格阐述的而在现代的数学分析中，几乎所有的基本概念都是建立在极限概念的基础之上的， 例如连续、微分、积分.极限的

8、求法是研究函数的一种基本的方法，学好极限在学习数学分析的过程中具有重要意义 本文首先阐述了极限的定义，分别叙述了数列极限的定义以及函数极限的定义，然后着重分析归纳 了求极限的方法，主要有四则运算求极限法则、复合函数求极限法则、利用两个极限准则求极限、 利用两个重要极限求极限、利用洛必达法则求极限、利用等价无穷小因子替换求极限、利用无穷小 量的性质求极限、利用导数的定义求极限、利用定积分的定义求极限、利用泰勒公式求极限、利用 函数的连续性求极限、利用拉格朗日中值定理求极限十二种方法求极限，在做求解极限的题目时， 必须要透彻清晰的明白以上方法所需的条件，同时细心分析，选择出适当的方法，提高做题的准

9、确 率.在求极限的过程中，会经常发现一道题可以运用多种方法求解，我们从中可以得到的其实是每 种方法之间都有一定的联系，特殊题型也有特殊方法求解，同时也可以利用变量替换，化简等方法 转变成另一种方法求解.我们在解题时，四则运算求极限、函数连续性求极限是最基本的方法，洛必 达法则求极限、等价无穷小因子替换、两个重要极限求极限是常用的方法，但是等价无穷小因子替换定理只能应用在乘除因式中，不能在和差中替换，而洛必达法则求未定式的极限只能在求-型和0型未定式时使用，其他形式的未定式求解需要转化成为求0型和一型未定式的形式，这都是我r0:们需要注意的.求极限必须在极限存在的基础下进行，根据不同的形式选择不

10、同的方法，合理利用各种计算方法，或者可以进行适当的结合，以期能够准确、简单、快捷地求出答案、极限的定义（一）数列极限的定义定义1.1 设：an 为数列，a为定数.若对任给的正数；，总存在正整数 N，使得当nN时有an - a y，则称数列 订收敛于a,定数a称为数列 曲的极限，并记作nim an二a 或 an； a(n；:=)读作当n趋于无穷大时， a的极限等于a或an趋于a ”(二) 函数极限的定义1. 当Xr : T时f(X)的极限定义定义1.2 设f为定义在a, ：)上的函数，A为定数.若对任给的；.0,存在正数 M(_a), 使得当x . M时有f(x)A ：；，则称函数f当x趋于：时

11、以A为极限，记作xm f(X)= a 或 f(x)t a(xt +=c).2. 当x时f(x)的极限定义定义1.3 设f为定义在(-：,-a) 一 a, ：)上的函数，A为定数.若对任给的； 0 ,存在正 数M (_ a)，使得当x - M时有f (x)-A ,则称函数f当x趋于：时以A为极限，记作lim f (x)二 A 或 f (x)r A(x：).3当X冷时f (x)的极限定义定义1.4 设函数f在点x0的某个空心邻域 U：(x;J)内有定义，A为定数若对任给的；0 , 存在正数(&)，使得当0v|x-X0 6时有f(x)-A，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作lim f(x)=A

12、 或 f(x) A(xr x0).X)4.当X-; X0时f X的极限定义定义1.5 设函数f在UXo；、；)内有定义，A为定数.若对任给的；.0 ,存在正数、：C：J),使得当Xo -、. ：: XX0时有f (x) A OC=Au lim f (x A且 lim f(x)=AX灯x汽一吧f (x) =心对任何数列Xn, xn Xo且3加=1,2)，有22lim f xn 二 A.X L :三、极限的求法(一)四则运算求极限法则利用四则运算求极限法则是最基本、最直接的方法，但需要注意的是各个函数的极限必须存在且分母的极限不能为零.在无法直接使用四则运算法则求极限的情况下，需要先化简变形，之后

13、再利用四则运算求极限法则.定理2.1 (四则运算法则)设lim f X二A，limg x = B，则lima f(x) g(x) =Xma f (x)迥 g(x)= a blim 3xa g(x)lim f (x)x jalim g(x)X旧 f (x) 士g(x)=匹 f(xptlimag(xB1 求 lim x 1x 1 2x _x_1X2 -1lim= lim (x 心)=limx 1 2x -x-1 x 1 (x _1)(2x1) x 1x 12x 1lim( x 1)1 1 _ 2lim(2 x 1)2 13若 lim f x 二 A， lim g(x)不存在，则 limx_ax )

14、ax af x ) g x( 不存在也不为0 ； A = o ,则lim f X)g X) Xima g(x)均不存在.(二)利用函数连续性求极限定义2.1设函数f在某U(xo)内有定义若xm f(X)二仏)x Jx0则称f在点xo连续.为引入函数y = f(x)在点怡连续的另一种表述，记x= x-x0.称为自变量x (在点怡)的增量或改变量.设y0二f (x0)，相应的函数y (在点x0)的增量记为y = f (x) - f (xo fX：x) - f %) = y-y注自变量的增量或函数的增量可以是正数，也可以是0或负数.引进了增量的概念后，易见“函数y = f (x)在点x0连续”等价于

15、lim y = 0结论 若函数f在x0点连续，则函数f在X。点有极限，且极限值等于函数值f(X。).推广定理 设复合函数y = f(x) 1是由函数y = f(u)， u =(x)复合形成的，并且lim(x)二a,lim f (u)二 f (a)，X)a则y = f （：:（x）在x=x0点处的极限存在且lim f (x) = flim (x) = f (a) jxox )x)Xa 1 求limX 0 x解 令 ax -1 = y，则 x = loga (V y)，当 x； 0 , y 0时，于是有lim x_ox= limy 0 loga(1 y)= lim loga(1 y)01 =s1g

16、(1 + y)y1 = 1-；logae logalJm0(1 +y)y（三）复合函数求极限法则定义2.2对于一些结构较为复杂、变元较多的数学问题，引入一些新的变量进行代换，以简化其结构，从而达到解决问题的目的，这种方法叫做变量代换法常用的变量代换主要有局部代换、整体代换、三角代换、分式代换、对称代换、增量代换等”兀X例 3 求 lim(1 - x) tan -解先做变量替换，令t =1 -X，则X =1 -t，且Xr 1时，有tr 0所以lim(1 -x)ta nx=lim t tan2 t o二一 =limt2t )o. tt 2lim=limt=o恵 t t=o二tan 22（四）利用两

17、个极限准则求极限1 利用夹逼定理求极限定理22 (夹逼定理) 设有三个数列Xn?、 yn?、zj，若存在自然数N，当n N时,恒有yn乞Xn乞Zn且 lim yn = lim zn = a，贝y lim xn = a .n厂n 厂nj:12n例 3 求 lim ( 22)nn n 1 n n 2 n n n解因为12nn2 n nn2 n 1 n2 n 2n2 n 1又因为limnjc二 lim 2 2n 厂 n n 11 +2 +3 + nlimn所以用夹逼定理得nim(n2 n 1n2 n 2n2利用夹逼定理求极限时， 应注意做适当的放大或缩小，且放大和缩小后所得两个数列 (或函数)的极限

18、相同.2.利用单调有界准则求极限定理2.3单调有界数列必有极限结论单调递增数列有上界必有极限；单调递减有下界数列必有极限例4设数列xn满足0 ： % :二，xn厲=sinxn(n =1,2,3)，证明lim Xn存在，并求出lim Xn.解 因为 0 ：为：二，则 0 ： x2 二 si玄1 ：二.假设 0 cxn 兀，由 Xn =sinXn，可推得 0 cxn = sinx.兰 1 s,(n = 1,2,3 )，则此数列有界xsin x又亠 = x0f(X)- f(X。)X X存在，则称函数f在点X0处可导，并称该极限为函数f在点X0处的导数，记作令x二x x0，丁y二f （瓦 ax） -

19、f （x0），则上式可写成Ay . f (Xo + 心X) f (Xo) J、 limlimf (x)x ：0. lx - x Px所以，导数是函数增量：y与自变量增量決之比y的极限Z例13设f x在a可导，求极限xm0f（a x）xf（ax）解f (a x) - f (a -x) =lim f (a x) - f(a) f(a) - f (a -x) =iimxJ0xf (a x) - f (a) f (a) - f (a - x)xllmx 0f (a x) - f (a)xf(a -x) - f 門-xf(a) f(a) =2f(a)（十）利用定积分的定义求极限定义2.4设f是定义在a,

20、b上的一个函数对于a,b的一个分割T 乂亠心，任取点i .：i,i =1,2,3,n,并作和式并称和式为函数 f在上a, b的一个积分和，也称黎曼和.定义2.5 设f是定义在a,b上的一个函数，J是一个确定的实数.若对任给的正数，总存在某一个正数：，使得对a,b的任何分割T，以及在其上任意选取的点集 i，只要T ，就有则称函数f在区间a,b上可积或黎曼可积； 数J称为f在a,b上的定积分或黎曼积分，记作bJ = i f x dx*a其中，下限和上限f称为被积函数，X称为积分变量，a,b称为积分区间，a, b分别称为这个定积分的注 我们常用极限符号来表达定积分，即把它写成nbJf( i) Xi

21、= a f(x)dx1例 14 求 lim(-4n 2n解4n +1 4n +24n 2n1+4 Zn2 1所以，原式= 0dx二ln(4 x)*32nTc 4n+1 4n+2（十一）利用泰勒公式求极限在处理某些特殊函数的极限时，用其他方法会受到一定的限制或计算过于繁琐，这是考虑用泰 勒展开式或迈克劳林公式来求解定理2.7若函数f在点x0存在n阶导数，则有f(X)工 f(Xo) f (Xo)(X -Xo)f (Xo)2!(x-X0)2 f 字(X-X)no(x -X)n).n!注用的较多的是泰勒公式在 x0 = 0时的特殊形式f (x)二 f(0) f(0) f-(0)x2 2!f(0)xn

22、o(xn) n!它也称为（带有佩业诺余项）迈克劳林公式常用的迈克劳林公式n佥。（门2(1) ex =1 x Z2!2mX2m、+ o(x )35(2)sinx=x扌;3)mm-1)!(3)24x x cos X = 1 - 一一 2!4!2m -1)mb-o(x2m1)2623n(4)ln (1 x)=x_x x(-1)no(xn)2!3!n!(5)1) 2(1 x)T j hx亠 o(xn) n!1(6)1 X X2 亠 亠 xn o(xn)1 -x例15求极限limcos x ex4解本题可用洛必达法则求解，但是较繁琐考虑到极限式的分母为 xx2 _2，我们用迈克劳林公式表示极限式的分子（

23、取n=4）2用-替换公式（1）中的x，便得2x2e2224丄22 2!x2n2nn!-o(x2n)24ww则cosx=1o(x4)224cosx 一 e12o(x4)因而求得42cosx -e 2-X o(x4) =x叫（十二）利用函数极限求数列极限若lim f (x) = A，则对于-Xn ,有lim f(Xn) = A .由这一结论，可以得到求数列极限 X 厂：n j:Hm yn的如下方法 若数列1*1可以看成某函数在数列：Xn?上的值，即yn二f (Xn)(n = 1,2,3), T :且 xn； ： ；：,若 lim f (x)二 A，则nx r：:lim yn = lim f (xn) = lim f (x) = A.nnx j-：:特别的，若 lim f (x)二 A， yn = f