椭圆题型总结较难

1、、焦点三角形21.设F1、F2是椭圆1（法一）解：如图，设xF2B(0根据椭圆的定义,在A ARF1和A BF2F1中应用余弦定理,椭圆题型总结右焦点，弦 AB过巨求 ABF1的面积的最大值。)，IAF2Im,| BF2 | n，|BFi| 2 3(2 3(2 32 2m)4 m4 m cos2 2n)4 nn，又|眄2，4n cos2m .3 cos1 -|F1F2|- SF1AB令sin|yB2.3 cos1yA | 2 2 (m n)sin2)sincos .3 cos24.3sin_2 sint，所以 0 t 1,t 1,+)S ABF1 =4勺3f(t)=4t1-4在t 1,+）上单

2、调递增，且tf(t) 9,+O4-33注意：上述AB的设法：x=my+1,方程中的m相当于直线t=1即m=0时，A ABF1的面积的最大值为AB的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况,即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。2.如图，M(-2 , 0)和N(2, 0)是平面上的两点，动点P满足:(1)求点P的轨迹方程;PM若PM -PN =，求点P的坐1 cos MPNPN6.标解：(1)由椭圆的定义,点P的轨迹是以 M.N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴b= a2 c25 ,所以椭圆a2 2的方程为乞_

3、L951.(2)由 |PM|gPN1 MPN , 得 PM gPN cosMPN |PM gPN 2.因为cosMPN 1,P不为椭圆长轴顶点，故 P、MN构成三角形.在厶PMN中,MN 4,由余弦定理有|mn|2 |pm|2 |pn2 PM gPN|cosMPN .2 2将代入，得 42|PM |PN 2( PM gPN2).故点P在以M N为焦点，实轴长为223的双曲线3由(I) 知，点P的坐标又满足x2即P点坐标为3巧逅(V,T)、51，所以由方程组5x22x9y23y245,3.二、点差法2x定理在椭圆令a2 y b23 3.5、(丁，-T)或(3、31 (a b 0 )中，若直线的中

4、点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN 丫x23.直线l经过点A(1 , 2)，交椭圆36(1 )若A是线段RP2的中点，求I衿(21)图解得I与椭圆相交于M N两点，点b22 .a王1于两点P、16的方程；(2)求P1P2的中点的轨迹.F23, 32題2 .P(x0, y0)是弦 MN解: (1)设 Pi(xi, yj、P2(X2, y2),2X1则362X2362162y216(XiX2)(XiX2)36(%y2)(%y?)016 A(1 , 2)是线段 PP2的中点， X1 +X2=2, 2(X1 X2)364(% y2)160，即 y1y2X1X2y1+y2=4. I的方程为2

5、9(x1) 2，即 2x+9y-20=0 .(2)设 PP的中点 M(x, y)，则 X1 +X2=2x, y1 +y2=2y,代入*式，得k屮y2X1x2兰，又直线I经过点A(1，9y整理，得4x(x-1)+9 y(y-2)=0 , RP2的中点的轨迹:/ 1、2(x 2)524.在直角坐标系xOy中，经过点(0, ,2)且斜率为k的直线I与椭圆Q.(1 )求k的取值范围;(y 1)2107(2)设椭圆与X轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数AB共线？如果存在，求 k的取值范围；如果不存在，请说明理由解:直线I的方程为y kx -.2.11有两个不同的交点 P和k,使得向量

6、OP OQ与kx2,得:1.(2k21)x24、2kx20.直线I与椭圆X21有两个不同的交点,32k28(2k21) 0.解之得：k vk的取值范围是2X(2)在椭圆一22 1 中,焦点在x轴上，a . 2, b 1 ,A(.2,0),B(0,1),AB(、2,1).2x2y m0设弦PQ的中点为M(xo，y。)，则0M (心血).由平行四边形法则可知:OP 0Q20M.OP 0Q与AB共线，0M与AB共线.由kpQyoXo由(1)可知yoXo-时，直线I与椭圆没有两个公共点,2不存在符合题意的常数 k.三、最值问题25. 已知P为椭圆 y2 1上任意一点，M( m 0) ( m R),求P

7、M的最小值。4目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设P(x,y)，用距离公式表示出 PM利用二次函数思想求最小值。解：设 P(x,y)PM= &m)2 y22mx 14m)23),x 2,2，结合相应的二次函数图像可得(1)晋-2，即m2, 即卩 m3 时，(PM)min=|m-2|.3 2说明：(1)类似的，亦可求出最大值；(2)椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为点是长轴端点，最大值为a; (3)椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c，最远的点是长轴右端点，最大值为 a+c;x26. 在椭圆y2 1求一点P,是它到直线I : x+2y+10=0的

8、距离最小，并求最大最小值。4目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题 处理方法。的一般线与直提示：(1)可等价转化为与直线I平行的椭圆的切 线I之间的距离；(1)也可以用椭圆的参数方程。解法一：设直线 m x+2y+m=0与椭圆 4y2 1相切，则x24，消去 x，得 8y2+4my+m-4=0,当m=2 2时，直线与椭圆的切点 P与直线l的距离最近，最近为|10522|=25二,此时点P的坐5 =0,解得 m= 2.2.标是（J2 ,+ ）；当m=-2 2时，直线与椭圆的切点 P与直线I的距离最远，最远为営2零，此时点p 的坐标是(2,_2) 解法二：设椭圆上任意一点P(2cos 0 ,

9、sin 0),0 0,2 ) 2 屁n（-）0二一时，P到直线l的距离最大，最大为2 5 口0此时点P的坐标是（方，三）；4520 = 时，P到直线I的距离最小，最小为 2 5，此时点P的坐标是（-.2, 452上述解法一中体现了 “数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成则P到直线I的距离为12cos 2sin10说明：在2乞125中心的弦，F1是椭圆的上焦点,（1 ）若厶ABF面积为4 .5 ,求直线AB的方程;（2）求厶ABF面积的最大值。2 解：（1）设AB： y=kx，代入椭圆x9225 1，21225.X =2 =2 ，X1=-X2=1 丄 25 9k925

10、2252 ，25 9k1又，Sa abf1= | OF| I X1-X2|=2|2X1- X2|=4 /5 ,I Xi-X2|=2 . 5 ,競=5k=晋，直线AB的方程为y=晋x(2) SaABF1=1| 0F| X1-X2|=4 22252，当k=0时 ,(Sa ABF1 )Max=12|25 9k两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多 变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。27. 设AB是过椭圆-98. （ 2014金山区一模23题）已知曲线G专讦= 1（a b 0）所围成的封闭图形的面积为 4 5 ,曲线2J5

11、C!的内切圆半径为 .记曲线C2是以曲线 G与坐标轴的交点为顶点的椭圆 .设AB是过椭圆C2中3心的任意弦，I是线段AB的垂直平分线， M是I上异于椭圆中心的点.(1 )求椭圆C2的标准方程;(2)若|M0| = mOA （ O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点 M的轨迹方程;(3)若M是I与椭圆C2的交点，求 AABM的面积的最小值【解答】：（1） C是以（-a, 0）、（0，- b）、（a, 0）、（0, b）为顶点的菱形，故乂又ab0,解得：a2=5, b2=4,因此所求的椭圆的标准方程为54（2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k 0）， a

12、（xa，yA），, 一 du，y = 设 Mx, y），由题意得：|MO2=m|OA2, （m0），即J：，因为I是AB的垂直平分线，所以直线 I的方程为一一，代入上式消去 k得:，又 x2+y2M0,整理得：(m0),4严 +54加5W3当k=0或斜率不存在时，上式仍然成立,(3)当k存在且不为零时，由(2)得二，ELy=-2.右2丄，一，|OM13分|AB2=4|OA2=，故也=M0l4OD(1 + G)14分(4 + 5V)Q + 4tJ应 、400(1+2)21600(1+1)二 - = - J ： ,，综上所述,18分9.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0,B(0,)是它的两个顶点，直

13、线 y kx(k 0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.uiuuuur(1 )若ED 6DF，求k的值;求四边形AEBF面积的最大值.(1)解：依题设得椭圆的方程为直线 AB, EF 的方程为 x 2y 2, y kx(k 0)10分综上所述，点M的轨迹方程为2 2其中X1 X2 ,且X1, x2满足方程(1 4k )xD(xo, kxo), E(X1, kx1), F(X2, kx2),Wk2 .uur uur由 ED 6DF 知 x01人 6(X2 Xo)，得 Xo 7(6X2Xi)10 ；7J 4k2 由D在AB上知xo22kx02，得 X0 所以1 2k21 2k1071 4k

14、2 1 3化简得24k225k2 、360 ,解得k 或k 3 82 )解法根据点到直线的距离公式和式知，点E, F到AB的距离分别为hix-i 2kx1252(1 2k 1 4k2).5(1 4k2),h2x2 2kx：22(1 2k . 1 4k2).5(1 4k2)AB 寸 2215，所以四边形AEBF的面积为12 AB(h12(1_2k)一 1 4k22/ 4k24k - 2 2，当2k 1，即当S的最大值为221时，上式取等号所以2解法二：由题设,BO 1，AO设 y1kx1, y2kx2，由得xy10 ,故四边形 AEBF的面积为SSaBEFSaAEFX22y22y2)2 . x；

15、 4y； 4x?y2 F2(1, 0)，短轴的两个端点分别为B2。uuirF1PuuurFQ，求直线I的方程。(1)若厶F1B1B2为等边三角形，求椭圆 C的方程； 若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线I与椭圆C相交于P、Q两点，且2 2 解：(1)设椭圆C的方程为刍占(a b 0 )。2y_1a2 b2根据题意知a2b，解得a24 , b21 ,故椭圆C的方程为乂a2b2133432(2)容易求得椭圆C的方程为 L y21 。2当直线I的斜率不存在时，其方程为x 1，不符合题意；当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y k(x 1) y k(x 1)由 x2，得(2k2 1)x2X 2 14

16、k2 x 2(k21) 0。设 P(x“yi),Q(X2, y2),X1X24k22k2 1X-|X222(k1)2k2uir，F1P (X11, yj ,unrFQ (X2 1,y2)，, uuu-因为F1P歆，所以FPuuirFQ1) yiy2X1X2(XiX2)k2(X11)(X21)(k21)X1X2 (k21)(X1 X2)k2 17k2 12k2 1解得k21，即k77O7故直线I的方程为211.如图，设椭圆L2I使得F BMN的垂心。若存在，求出直线 I的方程；若不存在,的上顶点为B,右焦点为F,直线I与椭圆交于N两点，问是否存在直线解：由已知可得，B(0 , 1) , ”1 ,

17、0) , kBF=-1 O BF丄I ,.可设直线I的方程为y=X+m代入椭圆方程整理，得3x2 4mx2m220 o设 MX, yj , N(X2,y2),则 X1X24m3,X1X22m2 23说明理由。/ BNL MFy1y211，即 yyX1X2y1X20 1,直线l:右焦点.(1)当直线I过右焦点F2时，求直线I(2)设直线I与椭圆C交于A B两点,的圆内，求实数m的取值范围.【解】(I)因为直线l : x my又因为m 1,所以m 2, 故直线(H)设 Ad,%), B(X2,y2)my2 x2 m则由2m。2得 m -,/2 ,2y 上，对任意的k 0 ,都有PQ PH2x my

18、的方程;20,椭圆C二mVAF1F2，VBFE的重心分别为0经过 F2(. m21,0)，所以l的方程为x . 2y2m2，消去x得：2y21c,0), F2 (c,0),1 0.my2m1 04y21 , h,F2分别为椭圆G,H .若原点O在以线段C的左、GH为直径2m 80，知8，且有y1my2,y1y2由重心坐标公式可知(% y2)29设M是GH的中点，贝U M (y1y26由题意可知2 MO|GH即 4(X_L、2 .匕4、26)(=)(X1X2)2(y1血，即 X1X2 yy2 0942而x1x2 y1y2 (my1 中咖2等)y22 2z 2 m 1m(m 1)()，所以=8 2

19、 8又因为m 1且 0 ,所以1m 2,所以m的取值范围是（1,2）.14.（09山东/22 ）设椭圆E：(a, b0)过 M2 , 2) , N、6 , 1)两点,O为坐标原点.(1)求椭圆ujuOAB,且E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆OB ?若存在，E恒有两个交点A,【解】因为椭圆E：所以4孑6a2b21b21，解得1写出该圆的方程，并求 | AB的取值范围；若不存在，说明理由1孑1b7假设存在圆心在原点的圆,该圆的切线方程为ykx18，所以14(a，2 ab2b0)过 M( 2, -一 2 ), N( . 6 , 1)两点,8 .-椭圆E的方程为42

20、y- 1.4使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,厂uju B,且 OAOB，设y解方程组 x28kx2y_4，得2222(kx m) 8，即(1 2k )x24kmx 2m 8X1设 A（x,y），B(X2,y2)，X1X24kmx221 2k2,2m 81 2k2要使uuu uu OA OB ,需使y2 (kx1m)(kx2 m)k2x1x2km(x1 x2)k2(2m28)2k2 _4k2m21 2 k2m2 8k221 2k22即2m 81 2k222m 8k厂0，所以1 2 k2223m 8k 8因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r 1 k22m1 k

21、22m3m 81 -8此时圆x2 y23都在椭圆的内部,所以圆的切线与椭圆必有两个不同的交点，且uuuOAuuu OB .而当切线的斜率不存在时，切线2 2J6与椭圆 1的两个交点为384 2、6(W ,2、632.6uuu uuu),满足 OA OB .综上，存在圆心在原点的圆 x28 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点UJJA, B,且 OAuuu OB .3|AB| 1 kX1X2Er32k24k4 4k21，当k0时 iabi |32i4k2，因为4所以01 1 -,4k2 A 48k2所以32T32i4k2所以4苗|AB0 2爲当且仅当3当k 0时，| AB | - 63而当AB的斜率不存在时，两个交点为弓)，所以此时昭乎,综上，| AB的取值范围为-V6W|AB|N X2, y2 ，则 XiX28km3 4k2 片X24m21223 4k2由已知,AMAN,且椭圆的右顶点为A (2,0),-10分x1x2 km 2 x1X2m2 41 k24m2124k28kmkm 23 4km2 4整理得7 m216mk24k 0 .解得m2k2k仝，均满足72k时，直线I的方程为y kX2k，过定点（2,0）,不符合题意舍去;2，过定点（刁,0）,2k时，直线I的方程为7故直线I过定