沪科版3第二节垂径定理

1、九年级数学(下)第26章圆1.圆的对称性(2)垂径定理1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么 你能找到 多少条对称轴?你是用什么方法解决这个问题的？用 折叠的方法即可解决这个问题.观察猜想.操作：CD是圆0的直径，过直 径上任一点E作弦A B丄C D, 将圆0沿CD对折，比较图中的 线段和弧，你有什么发现？cD猜想:AE=BE，AD=BD5AC=BCD已知：CD是OO的直径，AB是OO的弦, 且CD丄AB于M, 一 一 一 求证：AM=BM,=BC, AD =BD叠合法证明：连接OA,OB测OA=OB cTCD丄AB 于 MAAM=BM.点A和点B关于CD对称. OO关于直径CD对称，

2、当圆炎着真径CD喪折陕点A与点B 重合，AC和BC重負，AD和BD重合.OA AC =BC, AD =BD.指导论证，引申结论.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。结论题设直径(或过圆心的直线)垂直于弦判断题：过圆心的直线平分弦错(2) 垂直于弦的直线平分弦/错(3) 00中，OE丄弦AB 贝 l|AE=BE 对广丿平分弦* Ww r 加1平分弦所对的优弧 ILJ平分弦所对的劣弧iDCBB A探究活动平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧.AB是。O的一条弦，且AM=BM过点M作直径CD.下图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么？r你能发现图中有哪些等

3、量关系?与同伴说说你的想法和理由.发现图中有：CD是直径IDCD 丄 AB，AC=BC,AD=BD.AM=BM PA根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论下列图形是召具备垂径定理的条件?C!例题解析1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是 圆弧形，它的跨度（弧所对是弦的长）为37.4 m,拱高（弧 的中点到弦的距离，也叫弓形高）为72m,求桥拱的半径 廂确WO.lm）赵州石拱桥赵州石拱桥解：由题设得43 = 374 CD = 72

4、AD = -AB=-x37A = 1&7，37.4cD2 2OD = OC-DC = R 72._在RtZkOAD中，由勾股定理，得Joa2 = ad2 + od即 7?2=18.72+(7?-7.2)2.解得 R-27.9 (m) 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.例2、已知：如图在（DO中，弦AB的长是8cm,圆心O到AB的 距离为3cm,求OO的半径Ill解：连结OA,作OE丄AB于巳 则OE=3cm,AE=BEV AB=8cm： AE=4cm在Rt中有OA= OE2+AE2 a/32 + 42=5cmA (DO的半径为5cm解后指出：从例2看出圆的半径OA, 圆心到弦的垂线段0E

5、及半弦长AE构 成RtAAOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很 容易了。Ill例3如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点0是 弧CD的圆心)，其中CD=600m, E为弧CD上的一点，且0E丄CD垂足为 F, EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接0C.设弯路的半径为血，则OF =(7?-90)加. OE 丄 CD,CF = CD = x 600 = 300(m).2 2 根据勾股定理，得OC2 = CF2+OF2,B卩 人2 = 3(X)2+依_ 90)2.D解这个方程，得7 545.这段弯路的半径约为545m.Ill例4、如图，圆0与矩形ABCD交于E、F

6、、H, EF二 10, HG=6, AH二4求BE 的长.解：过O作OM丄BC于M,交AD于N, /矩形ABCD , AAD/BC, / OM丄 AD EM=1/2EF=5, HN=1/2HG=3/. AN=AH+HN=4+3=7, /. BM=7A BE= BM- EM =7-5=21在OO中，若CD AB于M, AB为 直卷！贝疣列结论郊页的是(C) A、AC=AD B、BC=BDC、AM=OM D、CM=DM2已知OO的直径AB=10,弦CD丄AB, 垂足为M, OM=3,贝l|CD= 8 3在O中，CD丄AB于M, AB为直径，若 BCD=10, AM=1,则（DO的半径是 13 .注

7、意：解决有关弦的问题时，半径是常用的一种辅助线的添法往往结合勾股定理计算。判断:垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧.(X )平分弦的直径一定垂直于这条弦.()(3) 弦的垂直平分线一定经过圆心.()(4) 平分弦所对弧的直径垂直于这条弦.()DhEB已知如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD证明：过0作0E丄AB于E,贝!I AE=BE,CE=DEAECE=BE DE 即AC=BD解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需 要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上, 往往只需从圆心作弦的垂线段。(1)如图，已知。0的半径为6cm,

8、弦AB与半径0A的夹角为的长.30。，求弦AC如图，已知。0的半径为6 交点为M ,求弦AB的长.cm,弦AB与半径0C互相平分,小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。萋栓定禮的走用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所 示若油面宽AB = 600mm,求油的最大深度.600B萋栓定理的惑用1=1在直径为650mm的圆柱形油槽内装入1些油后，截 面如图所示若油面宽AB = 600mm,求油的最大深 度1、本节课主要学习了（D圆的轴对称性：（2）垂径定理及推论.2、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线

9、段，这是一条非 常重要的辅助线.圆心到弦的距离、半径、弦长构成宜角三 角形，便将问题转化为解直角三角形的问题.3、垂径定理的证明,是通过“实验一观察猜想证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后 证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方 法，知识结构E:在Ic思考题已知：AB是。O直径,CD是弦，AE丄CD,BFCD求证：EC=DF如图，已知圆o的直径AB与弦CD相交于G, AECD 于E, BF丄CD于F,且圆O的半径为II10cm, CD=16 cm,求AEBF的长。cEAD2如图，某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面24米现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这 座拱桥吗？0-H /得/EDfArf1fB2 MCN由勾股定理，AB的中点，C是AB的申点，CD就是拱高.吗题设得 AB = 7.2,CD 二 2.4,HN = -MN = 1.5. AD = AB = x7.2 = 3.6,2 2O