椭圆的定义及几何性质

1、【教学目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3 ）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点耳到两个定点二、；1的距离之和等于常数!-），这个动点尸的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若：卜匚 ,则动点-匸的轨迹为线段專工； 若 l,;-，则动点-匸的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程i 当焦点在工轴上时，椭圆的标准方程：，其中;；2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：川，其中二 ；1 只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐

2、标系时，才能得到椭圆 的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有I和;3椭圆的焦点总在长轴上当焦点在二轴上时，椭圆的焦点坐标为;当焦点在丁轴上时，椭圆的焦点坐标为- 知识点三：椭圆的简单几何性质2 2 + 2L = 椭圆的的简单几何性质(1) 对称性对于椭圆标准方程。 必 ，把x换成一X ,或把y换成一y或把x、y同时换2 4- p = 1成一X、一y方程都不变，所以椭圆口 3 是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：(2) 范围椭圆上所有的点都位于直线x=a和y=b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 |x| 手a|y|

3、 b 0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为Ai ( a, 0),A2 (a, 0), B1 (0, 一b), B2 (0, b) o 线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|AiA2|=2a, |BiB2|=2bo a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4) 离心率2c c椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作2d aO因为ac0,所以e的取值范围是 0v ev 1。e越接近1,c就越接近a,从而h =越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合,图形变为

4、圆，方程为222x2+y2=a20Mi(1)图形BHO范围轴At iFj 0JT V r 尹 A知识点四：椭圆. 与J 厂（a b 0）的区别和联系I昭 丨叭2/冋田阕，丽二隔：1呜1+駆十丁;0甸二国划乂，匕耳|=|O鸟|之,|&|二因*|二十护；（3）凶引T理為卜匸，M宀椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）占兔=出巧| = 口 -KC 口 一匸莖=亠 1 = ?垃|3+二.?标准方程焦占八 、八、I片竝|= 2（7広=肿）焦距性质对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点0 士金）（比0）?长轴长二亠，短轴长=3闰乩I沖方?列（。厂cFE?1330)b a离心率密=2 (0 Y 总 V 1a准线方

5、程+，IA = C C焦半径| P& |= a|= a ? 亠冋*+即丨阴=a-ey* 4-4=1注意：椭圆J f(a b0)的相同点为形状、大小都相同，参数间e = (0b0和“,a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。、考点分析考点一：椭圆的定义【例1】方程 x 2 2 y2. x 2 2 y210化简的结果是。【例2】已知Fi(-8, 0), F2(8, 0)，动点P满足|PFi|+|PF2|=16，则点P的轨迹为()B椭圆C线段D直线【变式训练】2已知椭圆+162丄=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为93,则P到另一焦点距离为。考点二：求椭圆的标准方程【例

6、3】若椭圆经过点(5 , 1), (3, 2)则该椭圆的标准方程为 【例4】 ABC的底边BC 16 , AC和AB两边上中线长之和为 30,求此三角形重心 G的轨迹和顶点A的轨迹.【例5】求以椭圆9x2 5y2 45的焦点为焦点，且经过点 M (2,、. 6)的椭圆的标准方程.【变式训练】1焦点在坐标轴上，且a2 13 , c2 12的椭圆的标准方程为 。2、 焦点在x轴上，a : b 2:1， c -.6椭圆的标准方程为 。3、已知三点P( 5,2)、Fl(- 6,0)、F2(6,0),求以Fi、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；aJ52J54、 已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P

7、到两焦点的距离分别为和 ，过33P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.考点三：利用标准方程确定参数2 2【例6】若方程丄+=15 k k 3(1) 表示圆，则实数 k的取值是.(2) 表示焦点在 x轴上的椭圆，则实数 k的取值范围是 .(3) 表示焦点在 y型上的椭圆，则实数 k的取值范围是 .(4) 表示椭圆，则实数 k的取值范围是 .2 2【例7】椭圆4x 25y 100的长轴长等于 ，短轴长等于 ,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是,离心率等于。2 2【变式训练】1椭圆-1的焦距为2，则m =4 m2 22、椭圆5x ky5的一个焦点是(0,2)，那么k 考点四：离心

8、率的有关问题、求离心率1、用定义(求出a,c或找到c/a)求离心率2 X(1 )已知椭圆C : ra2 y b2 * *1,(a b 0)的两个焦点分别为Fi( 1,0)冋1,0),且椭圆 C4 1经过点p(3,3).则椭圆C的离心率2(2)设F1F2是椭圆E :笃a2b1(abb 0)的左、右焦点,P为直线xF2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为(1(A)1(B) 2(C) (D) 2X(3)椭圆a2-y21 (a b 0)的左、b右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,LM *F2。右AF1|, IF1F2I, |F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为(4 )在给定的椭圆

9、中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线距离为1,则该椭圆的离心率为2、根据题设条件构造a、c的齐次式方程，解出e。22小ma nac pc 0 mn c/C、2 门p()0m a a(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(4A. 53B. 52C. 51D. 52y1(a0,b0),右焦点为b2F ,右准线为丨，短轴的一个端点为 B ,设原点到直线BF的距离为di, F到丨的距离为d2,若d2（6di,则椭圆C的离心率为 .（3）设椭圆的两个焦点分别为F1.F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率

10、为 。二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）1、直接根据题意建立 a,c不等关系求解2 2（1）椭圆 笃 爲 1（a b 0）的焦点为Fi , F2，两条准线与x轴的交点分别为 M , N ,a b若MNF1F2，则该椭圆离心率的取值范围是 。2 2（2）已知f1, F2为椭圆 笃 爲 1 a b 0的焦点，B为椭圆短轴上的端点，a bimr umw 1 uuu2BF1 BF2 -F1F2，求椭圆离心率的取值范围 。22、 借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立a,c不等关系求解x2y2设F1，F2分别是椭圆 2 1（ a b 0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,使a

11、 b线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是 。3、 利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）x2y2（1）椭圆 飞 2 1 （a0,b 0）的两个焦点为 F1、F2,若 P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|, a b则椭圆离心率的取值范围为 。2 2（2 ）已知椭圆 笃 占 1（a b 0）右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且 OP垂直 a b22b（3）椭圆字白（a b ）和圆X2b于PA，求椭圆的离心率 e的取值范围。2c （其中c为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用【例14

12、】已知椭圆方程b2是椭圆上一点，a1pa2， f1pf2分析：求面积要结合余弦定理及定义求角0，长轴端点为A,，A2，焦点为F1，F2，P.求：F1PF2的面积（用a、b、 表示）.1的两邻边，从而利用S-iabsinC求面积.2【变式训练】1、若P是椭圆2x1002y641上的一点，F1、F2是其焦点，且 F1PF260 ,3求厶F1PF2的面积.2、已知P是椭圆2 x251上的点，F1F2分别是椭圆的左、右焦点，若巧主1，则AR PF2的面积为（）IPF1IIPF2I 2A. 3、3B. 2、3D.课后作业：一、选择题1 已知 Fi(-8, 0),F2(8 , 0)，动点 P 满足 |PF

13、i|+|PF2|=25，则点P的轨迹为(B椭圆C线段D直线2X3已知方程1 k1表示椭圆，则k的取值范围是(A -1k02 2与椭圆+ =23D k1 或 k-10)有(A)相等的焦距2 218、椭圆L259(B)相同的离心率2 21与y- 1925(C)相同的准线(D)以上都不对(A)相等的焦距(B)相同的的焦点(0k9)的关系为(C)相同的准线(D)有相等的长轴、短轴二、填空题2、X2椭圆162 y91左右焦点为F1、F2, CD为过F1的弦，则CDF1的周长为4、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的 2倍，且过点(2, 1)(3)经过点(5, 1

14、), (3, 2)5、若ABC 顶点 B、C 坐标分别为(-4, 0), (4, 0), AC、AB边上的中线长之和为 30,则ABC的重心 G的轨迹方程为2x6椭圆一2a2b2 1(a b 0)的左右焦点分别是F1、F2,过点F1作x轴的垂线交椭圆于p 点。若/ F1PF2=60 则椭圆的离心率为 7、已知正方形 ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_椭圆方程为.8已知椭圆的方程为431 , P点是椭圆上的点且F1PF2 60，求 PF1F2 的面积一9.若椭圆的短轴为 AB ,它的一个焦点为Fi，则满足AABFi为等边三角形的椭圆的离心率为2 210椭圆 丄 Z 1上的点P到它的左焦点的距离是12,那么点P到它的右焦点的距离是100362 2X V11 已知椭圆1(a5)的两个焦点为F1、F2，且F1F28，弦AB过点F1 ,a 2516.已知P是椭圆2 219、椭圆6 2则厶abf2的周长2(2)在平面直角坐标系 xOy中,椭圆C的标准方程为 冷a13、中心在原点、长轴是短轴的两倍，一条准线方程为x 4,那么这个