高中物理竞赛基础：自感磁场的能量

1、i45 自感磁场的能量451、自感(1)自感电动势、自感系数回路本身的电流变化而在回路中产生的电磁感应现象叫自感现象。在自感现 象中回路产生的电动势叫自感电动势。由法拉第电磁感定律e=ndfdt这里磁通 f 是自身电流产生磁场的磁通，按照毕奥萨尔定律，线圈中的电 流所激发的磁场的磁感应强度的大小与电流强度成正比。因而应有df/ dtdi/ dt。根据法拉第电磁感应定律，可得自感到电动势e =-l自didt式中 l 为比例系数，仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关，称为自感系数。在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。式中负号表示自感电动势的方向。当电流增加时，自感电动势与原有电流的方向

2、相反；当电流减小时，自感电动势与原有电流的方向相同。要使任何回路中的电流发生改变，都会引起自感应对电流改变的反抗，回路的自感系数越大，自感应的作用就越强，改变回路中的电流也越困难。因此自感系数是线圈本身“电磁惯性”大小的量度。(2)典型的自感lai感现象及其规律rb1如图 4-5-1 所示电k路由电感线圈 l 和灯泡图 4-5-1o图 4-5-2ta，以及电阻 r 和灯泡 b组成两个支路连接在一个电源两端。a、b 灯泡相同，当 k 闭合瞬时，la 支路i1e自中，由于 l 的自感现象，阻碍电流增大，所以 a 不能立即发光，而是逐渐变亮，而 b 立即正常发光。当稳定后，电流不再变化时，l 只在电

3、路中起一个电阻的作 用。流过 la 支路的电流 ，此时 l 中贮存磁场能为1w = li221(在后介绍)当 k 断开瞬间，l 中电流要减小，因而会产生自感电动势 ，在回来 labr 中产生感应电流，从能量观点来看，l 释放线圈中磁场能，转变成电能消耗在回路中，所以 a、b 灯泡应是在 k 断开后瞬间逐渐熄灭，其回路中电流时间 变化如图 4-5-2 所示。452、磁场的能量见图 4-5-3，当 k 闭合后，回路中电流 将从零不断增r l加，而自感系数为l 的 线圈 中 将 产生自 感 电动势e =-自didt阻碍电流的增加，e和 合起来产生电流通过k图 4-5-3e电阻 rdi e-l =ri

4、dt即e=ri +ldidt式中 i 是变化的，方程两边乘以 idt 并求和图 5-2-1eidt=ri2dt +lidi显然，方程的左边是电源输出的能量，而方程右边第一项是在电阻 r 上产生的焦耳热，那剩下的一项显然也是能量，是储存在线圈中的磁场能，下面我们求 它的更具体的表达式：00lk 刚闭合时，i=0，而当电路稳定后，电y流不再变化，自感电动势变为零，稳定电流i =er(忽略电源内阻)，lidi这个求和式的odiii求和范围从 0 到 i，令，y=i并以i为横作标，y图 4-5-4为纵坐标做一坐标系，则 y= i 在坐标系中为第一象限的角平分线。在横作标i处取 -di， di 很小，可

5、认为对应的 y 为常量，窄条面积ds =ydi =i di，把从 0 到 i 的所有窄条面积加起来ydi =idi即为 y=i与i轴所夹三角形面积，故ydi =idi =12i2代入lidi可知储存线圈内的能量。 12w = li2从公式看，能量是与产生磁场的电流联在一起的，下面我们求出直螺线管的自感系数从而证实能量是磁场的。设长直螺线管长为 l，截面积为 s，故绕有 n匝线圈，管内为真空。当线圈中通有电流 i 时，管内磁场的磁感应强度 通过 n 匝线圈的磁通量n n 2f =nbs =nj is =j isl l与 f =li相比较，可得n 2l =j s0b =j ni0，将代l =j0n

6、l2s，i =b bl=j n j n0 0代入磁场能量式22 2 e n01 n bl 1 b w = n s = v2 0 l j n 2 n0 0b2单位体积的磁场能量为2 n0与电场的能量密度12e e02相比较，公式何等相似。从电学、磁学公式中，我1们知道 对应于 0 ，公式的相似来源于电场，磁场的对称性。磁场的能量密度公式告诉我们，能量是与磁场联系在一起的。只要有磁场，就有 b，就有能量。另外，公式虽是从长直螺线管的磁场这一特例推导出来，但对所有磁场的均适用。 典型例题例 1、如图 4-5-5 所示的电路中，电池的电动势r1a kr2e=12v，内阻erbr3lr =1w; r =

7、2w, r =9w, r =15w, l =2 h ,1 2 3开 始 时 电键 k 与 a 接通。将 k 迅速地由 a 移至与 b 接通，则线图 4-5-5圈 l 中可产生的最大自感电动势多大？分析：k 接在 a 点时，电路中有恒定电流 i，当 k 接至 b 瞬间时，线圈中自感所产生的感应电动势应欲维持这一电流，此瞬时电流 i 就是最大值，维持此电 流的感应电动势就是最大自感电动势。解： l 为纯电路，直流电阻不计，k 接在 a 时，回路稳定时电流 i 为i =2 r +r +r1 2=1a当 k 接到 b 点时，线圈中电流将逐渐减小至零，但开始时刻，电流仍为 i =1 a 根据欧姆定律，维

8、持这电流的瞬时自感电动势为，r1-3-1e =i ( r +r )l 2 3=24v以后电流变小，自感电动势也减小直至零。例 2、由半径r =11毫米的导线构成的半径r =102厘米的圆形线圈处于超导状态，开始时线圈内通有 100 安培的电流。一年后测出线圈内电流的减小量不足10-6安培，试粗略估算此线圈电阻率的上限。解： 线圈中电流i (t )的减小将在线圈内导致自感电动势，故(1)edi =-l =irdt式中 l 是线圈的自感系数l =fi在计算通过线圈的磁统量 f时，以导线附近即 处的 b 为最大，而该处 b 又可把线圈当成无限长载流导线所产生的，即b ( r ) =1n i02pr1f b( r )p1r 22=n r 20 22 r1i (t )l =fin r 20 22 r1(2)而r =r2pr 2r 2 =r 2pr2 r 2 1 1(3)把式(2)和式(3)代入式