高中数学必修2综合测试题及答案

1、必修 2 综合检测时间 120 分钟 满分 150 分一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.下列叙述中，正确的是（ ）（a）因为 p a,q a，所以 pq a（b）因为 p a ，q b ，所以 ab=pq（c） 因为 ab a ，c ab，d ab，所以 cd a（d） 因为 ab a , ab b ,所以 a (ab) 且 b (ab)2已知直线 l 的方程为 y =x +1，则该直线 l 的倾斜角为（ ）(a) 30o(b) 45o(c) 60o(d) 135o3.已知点 a( x ,1,2) 和点b(2,3,4),且 ab =2 6 ,则实数 x 的值是（ ）(a)-3或4

2、(b)6或2 (c)3或-4 (d)6或-2 4.长方体的三个面的面积分别是 2、 3、 6 ，则长方体的体积是（ ）a 3 2b 2 3c 6d65.棱长为 a的正方体内切一球，该球的表面积为 （ ）a、 pa2b、2 pa2c、3 pa2d、4pa26.若直线 a 与平面 a不垂直，那么在平面 a内与直线 a 垂直的直线（ ）（a）只有一条 （b）无数条 （c）是平面 a内的所有直线 （d）不存在 7.已知直线 l 、 m 、 n 与平面 a 、 b ，给出下列四个命题：若m l ，n l ，则mn 若m，m ， 则 若 m，n ，则 mn 若 m， ，则 m或 m其中假命题是（ ）(a)

3、 (b) (c) (d) 8.在同一直角坐标系中，表示直线 y =ax 与 y =x +a 正确的是（ ）x -2y -3 =0339如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的 正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ * ）主视图左视图(a)p 5 3(b) p (c) p (d)4 4 2p10.直线 与圆(x -2)2+(y +3)2=9交于 e、f 两点，则 d eof（o 是原点）的面积为（ ）俯视图a 2 5b 34c32d6 5511.已知点 a(2,-3) 、b ( -3,-2) 直线 l 过点 p (1,1) ，且与线段 ab 相交，则直线 l 的斜率的

4、取值 k 范 围是 （ ）a、 k 3 3 1 3 3 或 k -4 b、 k 或 k - c、 -4 k d、 4 4 4 4 4k 412.若直线 y =kx +4 +2k与曲线y = 4 -x2 有两个交点，则 k 的取值范围是（ ）a 1, +)b -1, - )4c ( ,14d ( -,-1二填空题（每小题 4 分，共 16 分）13. 对任何实数 k，直线(3k)x(1-2k)y15k=0 都过 一个定点 a，那么点 a 的坐标是 14. 空间四个点 p、a、b、c 在同一球面上，pa、pb、pc两 两 垂 直 ， 且 pa=pb=pc=a ， 那 么 这 个 球 面 的 面 积

5、a是 15已知圆o : x12+y2=1与圆 o （: x3）22+（y4）2=9 ，则y圆o 与圆o 的位置关系为 1 216如图，一个圆锥形容器的高为 a ，内装一定量的水.如果将c bda容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为 （如图），则图中2o1ax的水面高度为 三解答题17（12 分）如图，在 y oabc 中，点 c（1，3）（1）求 oc所在直线的斜率；（2）过点 c 做 cdab 于点 d，求 cd 所在直 线的方程。v18 （ 12 分 ） 如 图 ， 已 知 正 四 棱 锥 v abcd 中 ，dcac与bd交于点 m ，vm 是棱锥的高 ，若 ac =6cm，vc =5cm

6、，求amb正四棱锥 v - abcd 的体积d1c119（12 分）如图，在正方体 abcda b c d 中，e、f 为棱 ad、1 1 1 1ab 的中点（1）求证：ef平面 cb d ；（2）求证：平面 caa c1 1 11a1b1平面 cb d 。 1 1edcaf b20. （12 分）已知直线 l ：mx-y=0 ， l ：x+my-m-2=0。（）求证：对 mr， l 与 l 的交点1 2 1 2p 在一个定圆上；（）若 l 与定圆的另一个交点为 p ， l 与定圆的另一交点为 p ，求当 m 在1 1 2 2实数范围内取值时， pp p 面积的最大值及对应的 m。1 221.

7、 （12 分）如图，在棱长为 a 的正方体 a b c d -abcd 中， （1）作出面 a bc 与面 abcd1 1 1 1 1 1的交线 l ，判断 l 与线 a c 位置关系，并给出证明；（2）证明 b d 1 1 1面 a bc ；（3）求线 ac 到面 a bc 的距离；（4）若以 d 为坐标原1 1 1 1点，分别以 da, dc , dd 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间1直角坐标系，试写出 b , b 两点的坐标。122（14 分）已知圆 o： x2+y2=1和定点 a(2,1)，由圆 o 外y一点 p ( a , b) 向圆 o 引切线 pq，切点为 q

8、，且满足 pq = pa 。(1)2a求实数 a、b 间满足的等量关系；(2) 求线段 pq 长的最小值；(3) 若以 p 为圆心所作的圆 p 与圆 o 有公共点，试求半径取最0 2xqpy3211小值时圆 p 的方程。参考答案： dbaca bdccd ab 13.( -1, 2)14.3pa215. 相离16. (1- 3 7 ) a 17. 解: (1)q 点 o（0，0），点 c（1，3）， oc 所在直线的斜率为 k =3 -0 =3 .2 oc 1 -0（2）在 oabc中， ab / oc ,q cdab， cdoc. cd 所在直线的斜率为k =-cd13. cd 所在直线方程

9、为1y -3 =- ( x -1)，即x +3 y -10 =0 3.18. 解法 1：q 正四棱锥 v - abcd 中，abcd 是正方形，v mc =1 1 1ac = bd = 6 =3 2 2 2(cm).且 s1 1= ac bd = 6 6 =18 abcd 2 2(cm2).dcqvm 是棱锥的高 ,amb rtvmc 中， vm = vc 2 -mc 2 = 52 -32 =4 (cm). 正四棱锥 v abcd 的体积为131s vm = 18 4 =24 abcd(cm3).解法 2：q 正四棱锥 v - abcd 中，abcd 是正方形，1 1 1mc = ac = b

10、d = 6 =32 2 2(cm).且ab =bc =22ac =3 2(cm) . sabcd=ab 2 =(3 2) 2 =18 (cm ).qvm 是棱锥的高 , rtvmc 中， vm = vc2-mc2= 52-32=4 (cm). 正四棱锥 v - abcd 的体积为13sabcd1vm = 18 4 =24 3(cm3).19. （1）证明:连结 bd.在长方体 ac中，对角线 1bd / b d1 1.又q e、f 为棱 ad、ab 的中点， ef / bd . ef / b d 1 1.又 b d11平面cb d ， ef 平面 1 1cb d1 1，ef平面 cb d .1

11、 1（2）q 在长方体 ac 中，aa 平面 a b c d ，而 b d1 1 1 1 11平面 a b c d ， aa b d . 1 1 1 1 1 1 1又q 在正方形 a b c d 中，a c b d ， b d 平面 caa c .1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1又q b d平面 cb d ， 平面 caa c 平面 cb d 1 11 1 1 1 1 1yp20. 解：（） l 与 l 分别过定点（ 0,0）、（2,1），且1 2p (2,12两两垂直， l 与 l 的交点必在以（0，0）、（2，1）为1 2po1x1 51 23da bc32 2 2pq =

12、pa pq = pa一条直径的圆： x(x -2) +y(y -1) =0 即 x 2 +y 2 -2x -y =0王新敞（）由（1）得 p （0,0）、 p12（2,1）， pp p 面积的最大值必为 2r r = 2 41此时 op 与 p p 垂直，由此可得 m=3 或 - 1 221.解：（1）在面 abcd 内过点 b 作 ac 的平行线 be ，易知 be 即为直线 l ， ac a c ， ac l ， l a c .1 1 1 1（2）易证 a c 面 dbb d ， a c b d ，同理可证 a b b d ，1 1 1 1 1 1 1 1 1又 a c a b = a ，

13、 b d 面 a bc .1 1 1 1 1 1 1（3）线 ac 到面 a bc 的距离即为点 a 到面 a bc 的距离，也就是点 b 到面 a bc 的距离，记1 1 1 1 1 1 1为 h ，在三棱锥 b -ba c 中有 v1 1 1 b -ba c1 1 1=vb -a b c 1 1 11 1 ，即 s h= s3 1 1 33abb ， h = . da b c 11 1 1（4） c ( a , a ,0), c ( a , a , a )122. 解：（1）连 op ,q q 为切点， pq oq ，由勾股定理有.pq = op -oq2ya又由已知 ，故 22 .即：

14、( a 2 +b 2 ) -12 =( a -2) 2 +(b -1)2，得 b =-2a +3 .化简得实数 a、b 间满足的等量关系为： 2a +b -3 =0 . （2）由 2a +b -3 =0o 2qpxpq = a 2 +b 2 -1 = a 2 +( -2a +3)2 -1= 5a 2 -12a +8 =6 4 5( a - ) 2 +5 5.故当a =65时，2pq = 5.min 5即线段 pq 长的最小值为255.解法 2：由(1)知，点 p 在直线 l：2x + y3 = 0 上.| pq |min= | pa |min，即求点 a 到直线 l 的距离. | pq |mi

15、n=| 22 + 13 | 2 2 + 1 2=2 55.（3）设圆 p 的半径为 r ，q 圆 p 与圆 o 有公共点，圆 o 的半径为 1，6a =x -2 y =0,2 x +y -3 =0 r -1 op r +1.即 r op -1 且 r op +1 .而op = a2+b2= a2+( -2a +3)26 9 = 5(a - ) 2 +5 5，故当 时， 53op = 5.min 5此时,b =-2a +3 =35，3r = 5 -1 min 5.得半径取最小值时圆 p 的方程为6 3 3( x - ) 2 +( y - ) 2 =( 5 -1)2 5 5 5解法 2：圆 p 与圆