高中必修第一册数学《5.5 三角恒等变换》获奖说课导学案

1、第五章三角函数5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1 了解两角差的余弦公式的推导过程2 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式3 会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等4 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常 用方法重点：了解两角差的余弦公式的推导过程难点：会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等1两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式c()cos()_，r两角和的余弦公式c()cos()_，r2 两角和与差的正弦

2、公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦s()sin()_，r两角差的正弦s()sin()_，r3两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切t()tan()_，k (kz) 且 tan tan 12两角差的正切t()tan()_，k (kz) 且 tan tan 121111 111 11 1222问题探究.两角差的余弦公式如果已知任意角 ， 的正弦、余弦，能由此推出 ， 的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究 cos()与角 ， 的正弦、 余弦之间的关系不妨令 2k，kz 如图 5.5.1，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 a（，），以 轴非负半轴为始边作角 ， 它们的终边分别与单位

3、圆相交于点 （cos，sin）， （cos，sin），p(cos()，sin()任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性连接 ，ap若把扇形 oap,绕着点 o 旋转 角，则点 a，p 分别与点 ,1重合根据圆的旋转对称性可知，与 重合，从而， 所以 ap 根据两点间的距离公式，得cos( ) 12+s ( ) =(cos ) +(sin ) ，化简得:cos( )=cos +sin 当 = 2k （kz）时，容易证明上式仍然成立所以，对于任意角 ， 有cos( )=cos +sin （）此公式给出了任意角 ， 的正弦、余弦与其差角 的余弦之间的关系， 称为

4、差角的余弦公式，简记作().24 5典例解析例 利用公式cos( )证明：（）cos ( -) = sin ; （）cos(- )= cos 例 已知s = ， ( ,), cos = ， 是第三象限角，求cos( )的值5 13由公式 cos( )出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？下面以公式 cos( )为基础来推导其他公式 例如 ， 比较cos( ) 与cos( + ) ，并注意到 与 之间的联系 ： + （ ）则由公式 cos( ) ，有cos( + )=cos ( ) cos ( )+sin ( )=cos sin 于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 c（ ）

5、cos( + )=cos sin 问题探究上面得到了两角和与差的余弦公式 我们知道 ， 用诱导公式五（ 或六 ）可以实现正弦 、余弦的互化 你能根据 （ ） ， （ ） 及诱导公式五 （ 或六 ）， 推导出用任意角 ， 的正弦 、 余弦表示 sin （ ）， sin（ ） 的公式吗 ？ 通过推导 ， 可以得到 ：s ( + ) sin + cos ，（ s（ ） ）s ( ) sin cos ; （ s（ ） ）你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 ( ) ， ( ) 出发 ， 推 导出用任意角 ， 的正切表示 ( + ) ， ( ) 的公式吗 ？通过推导 ， 可以得到 ：

6、( + ) = ( ) = + 1 1+ t( + )t( )和 （ 差 ） 角公式中 ， ， 都是任意角 如果令 为某些特殊角 ， 就能得到许多有用 的公式 你能从和 （ 差 ） 角公式出发推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式公式 ( ) ， ( ) ， ( ) 给出了任意角 ， 的三角函数值与其和角 的三角函数值之间的关系 为方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做 和角公式 类似地 ， ( ) ， ( ) ， ( 3 )都叫做 差角公式 3 1+ 154典例解析例 3. 已知s = ，是第四 象限角，求s ( ) , cos ( + ) , tan ( )的值 5 4 4 4由以上解答可

7、以看到 ， 在本题条件下有s ( ) = cos ( + ) 那么对于任意角 ， 此4 4等式成立吗 ？ 若成立 ， 你会用几种方法予以证明?例 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ：（1） sin72cos42 cos72sin42 ;（1） cos20cos70 sin20sin70 ; （ 3 ）;1 151 cos 65cos 35sin 65sin 35等于( )acos 100 bsin 100 c 321d232.已知 是锐角，sin ，则 cos5 等于( )a210b210c25d253 53已知锐角 ， 满足 cos ，cos() ，则 cos 等于(5 13)33

8、a6533b6554c7554d753 tan 154 计算 _. 1 3tan 155已知 ， 均为锐角，sin 5 10，cos ，求 . 5 10让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？ 知识上：两角和差公式思想方法上：整体代换思想，转化思想。参考答案：一、 知识梳理1. cos cos sin sin cos cos sin sin 1. sin cos cos sin sin cos cos sin 3.tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 4 2 = 1 ( )2 = 例解：由s = ， ( ,),得cos = 1 55 123 5 4 12

9、 3333 43 2 4 2)= 24)=331+ 15 45+ 15二、 学习过程典例解析例证明: (1)cos ( -) = cos +sin sin =01sin =sin (2)cos(- )= cos +sin sin =(-1)cos + cos 4 4 35 5 5又由cos = ， 是第三象限角，得sin = 1 132 = 1 ( )2 = 13 13所以cos( )=cos +sin =( ) ( )+( ) ( )=5 13 5 13 65例 3. 解 ： 由 s = ，是第四 象限角，5得cos = 1 2 = 1 ( )2 =5 5所以 = =545= -34于是有s

10、 (4 ) = sin cos =4 4 ( 2 5 23 725 10;cos ( + ) = sin = 4 4 4 2 522 (3 725 10; ( ) =4 1+ 44= 1 1+ = 141+( )4= 7例 分析 ： 和 、 差角公式把 的三角函数式转化成了 ， 的三角函数式 如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 解 ：（ ） 由公式 s（ ） ， 得sin72cos42 cos72sin42=sin(72 42)=sin30= （2） 由公式 c（ + ） ， 得cos20cos70 sin20sin70= cos(20+70)=cos90=0（3） 由公式 t（ + ）及45 = 1， 得= = (45 + 15)= 60=3 1 15 45 15三、达标检测121 【解析】 原式cos(6535)cos 30 【答案】 c32.【解析】 因为 是锐角，sin ，532.4所以 cos ，所以 cos5 2 4 2 3 2 .故选 b 4 2 5 2 5 105【答案】 b3 53【解析】 因为 ， 为锐角，cos ，cos() ，5 134 12所以 sin ，sin() .5 135 3 12 4 33所以 cos cos()cos()cos sin()sin .故选 a13 5 13 5 65【答案】 a4【解析】【答案】