椭圆切线与蒙日圆

1、22 2 b(2蒙日圆蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等 于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。如图，设椭圆的方程是x 2 y 2+ =1a 2 b2。两切线 pm 和 pn 互相垂直，交于点 p。求证：点p 在圆x 2 +y 2 =a 2 +b 2上。证明：若两条切线中有一条平行于 x 轴时，则另一条必定平行于 y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通 过长轴端点，其交点 p 的坐标只能是： p (a,b) 它必定在圆 x 2 +y 2 =a 2 +b 2 上。现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如

2、下：pm : y =kx +m1 pn : y =- x +nk联 立 两 切 线 方 程 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 和 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 可 求 出 交 点 p 的 坐 标 为 ： (n-m)knk 2 +m p ,k 2 +1 k 2 +1从而 p 点距离椭圆中心 o 的距离的平方为：op =(n-m)knk2 +m +k 2 +1 k 2 +1=n2kk22+m+12现将 pm 的方程代入椭圆方程，消去 y，化简整理得：1 k 2 2 km m2 + x 2 + x + -1 =0a2 b2 b2 b 2由于 pm 是椭圆的切线，故以上关于 x 的一元

3、二次方程，其判别式应等于 0，化简后可得： 2 1 m 2 = +1 m 2 -b 2 a2 k 2)对于切线 pn，代入椭圆方程后，消去 y，令判别式等于 0，同理可得：n2b2= ka22+1(n2-b2) 为方便起见，令：a2=a, b2=b , m2=m , n2=n , k2=k这样错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。就分别化为了关于 m 和 n 的一元一次方程，不难解出：m =b +ak，n =b +ak将 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 和 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 代 入 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 ， 就 得 到 ：og =nk +mk

4、 +1=a +b =a 2 +b 2证毕。10 0 2 2 22 22 22 21 21 21 21 2111121 211 21 20 0例 1.(2014 广东)已知椭圆c :x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 25的一个焦点为 ( 5,0) ，离心率为 ，3（1）求椭圆 c 的标准方程；（2）若动点p ( x , y ) 0 0为椭圆外一点，且点 p 到椭圆 c 的两条切线相互垂直，求点 p 的轨迹方程。c 5 5解 : (1)c = 5, e = = = , a =3, b 2 =a 2 -c 2 =9 -5 =4,a a 3x 2 y 2 椭圆c的标准方程为: + =1

5、.9 4(2)若一切线垂直x轴, 则另一切线垂直于y轴, 则这样的点p共 4个, 它们的坐标分别为( -3, 2),(3, 2).若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为y -y =k ( x -x ),0 0x 2 y 2即y =k ( x -x ) +y , 将之代入椭圆方程 + =1 中并整理得:9 4(9k2+4) x2+18k ( y -kx ) x +9 (y -kx ) 2 -4 0 0 0 0=0, 依题意, d=0,即:(18k ) 2 ( y -kx ) 2 -36 (y -kx ) 2 -4 0 0 0 0(9k 2 +4) =0, 即4( y -kx ) 2 -4(9k 2

6、 +4) =0,0 0 ( x 2 -9) k 2 -2 x y k +y 2 -4 =0, 两切线相互垂直, k k =-1,即 : 0 0 0 0 1 2y0x022-4-9=-1, x 2 +y 2 =13, 显然( -3, 2),(3, 2)这四点也满足以上方程, 0 0点p的轨迹方程为x2+y2=13.例 2.给定椭圆 c :x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 2,称圆心在原点 o,半径为的圆是椭圆 c 的“准圆”.若椭圆 c 的一个焦点为 ,其短轴上的一个端点到 f 的距离为 (1)求椭圆 c 的方程和其“准圆”方程;(2)点 p 是椭圆 c 的“准圆”上的动点,过点

7、 p 作椭圆的切线, m,n.l 、l1 2交“准圆”于点()当点 p 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求直线, ()求证:线段 mn 的长为定值并求该定值.l 、l1 2的方程并证明l l1 2;解：（1）c ，a，b 1，椭圆方程为+y 1，准圆方程为 x +y 4；（2）（）因为准圆 x +y 4 与 y 轴正半轴的交点为 p（0，2），设过点 p（0，2）且与椭圆相切的直线为 ykx+2，所以由得（1+3k ）x +12kx+90因为直线 ykx+2 与椭圆相切，所以144k 49（1+3k ）0，解得 k1， 所以直线 l 、l 的方程为 yx+2 和 yx+2；且 k k 1，

8、l l （）当直线 l ，l 中有一条斜率不存在时，不妨设直线 l 斜率不存在，则 l ：x ，当 l ：x 时，l 与准圆交于点（ ，1）和（ ，1）， 此时 l 为 y1（或 y1），显然直线 l ，l 垂直；同理可证当 l ：x 时，直线 l ，l 垂直；当 l ，l 斜率存在时，设点 p（x ，y ），其中 + 4；20 00 02 20 020 020 01 21 21 221 20 01 21 21 20 01 22 21 21 21 21 21 20 02 2 200 001 21 22 221 12 21 21 2121 21 2 1 221 2111121 211 22 21

9、 20 00 0设经过点 p（x ，y ）与椭圆相切的直线为 yt（xx ）+y ，所以由，得（1+3t ）x +6t（y tx ）x+330；由 化简整理得（3）t +2x y t+10，因为+4，所以有（3 ）t +2x y t+（3）0；设 l ，l 的斜率分别为 t 和 t ，因为 l ，l 与椭圆相切，所以 t ，t 满足上述方程（3 ）t +2x y t+（ 3）0，所以 t t 1，即 l ，l 垂直； 综合知：因为 l ，l 经过点 p（x ，y ），又分别交其准圆于点 m、n，且 l ，l 垂直；所以线段 mn 为准圆 x +y 4 的直径，|mn|4，所以线段 mn 的长为

10、定值例 3.（2015 秋宜昌月考）给定椭圆 c：+1（ab0），称圆心在原点 o，半径为的圆是椭圆 c 的“准圆”若椭圆c 的一个焦点为 f（，0），且其短轴上的一个端点到f 的距离为（1） 求椭圆 c 的方程和其“准圆”方程；（2） 过点（1，0）作一条倾斜角为 30的直线与椭圆交于 a，b 两点若在椭圆上存在一点 c 满足 （ + ），试求 的值；（3） 点 p 是椭圆 c 的“准圆”上的一个动点，过动点 p 作直线 l ，l ，使得 l ，l 与椭圆 c 都只有一个 交点，试判断 l ，l 是否垂直，并说明理由【分析】（1）欲求椭圆 c 的方程和其“准圆”方程，只要求出半径 即可，即分

11、别求出椭圆方程 中的 a，b 即得，这由题意不难求得；（2） 确定直线 l 的方程，代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合 （ + ），求出 c 的坐标， 代入椭圆方程，即可求 的值（3） 先分两种情况讨论：当 l ，l 中有一条无斜率时；当 l ，l 都有斜率时，第一种情形比较 简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为 yt（xx ）+y ，代入椭圆方程，消去去 y 得到一个关于 x 的二次方程，根据根的判别式等于 0 得到一个方程：（3x ）t +2x y t+（x 3）0， 而直线 l ，l 的斜率正好是这个方程的两个根，从而证得 l l 解：（1）因为 ，所以 b1 所以椭

12、圆的方程为 ，准圆的方程为 x +y 4（2）过点（1，0）作一条倾斜角为 30的直线的方程为 ytan30（x1） 代入椭圆方程 ，并整理得 x x10设 a（x ，y ），b（x ，y ），则 x +x 1，（x1），y +y （x 1）+（x 1） （x +x 2） （+）（x +x ，y +y ）（1，），c 点坐标为（，），代入椭圆方程 ，可得 + 1，2 3，解得 （3）当 l ，l 中有一条无斜率时，不妨设 l 无斜率，因为 l 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 或 ，当 l 方程为 时，此时 l 与准圆交于点 ，此时经过点 （或 且与椭圆只有一个公共点的直线是 y1（或 y1）

13、， 即 l 为 y1（或 y1），显然直线 l ，l 垂直；同理可证 l 方程为 时，直线 l ，l 垂直当 l ，l 都有斜率时，设点 p（x ，y ），其中 x +y 4，30 00 02 20 02 2 2 2 2 20 00 00 00 02 2 2 2 2 2 2 200 000 000 001 21 21 22 2 21 200 001 21 22 2 20 0abcd2 20 00 020 020 022 2 20 0abcd20 02 20 0220 020 00 02设经过点 p（x ，y ），与椭圆只有一个公共点的直线为 yt（xx ）+y ，则，消去 y 得到 x +3（

14、tx+（y tx ） 30，即（1+3t ）x +6t（y tx ）x+3（y tx ） 30，6t（y tx ） 4（1+3t ）3（y tx ） 30，经过化简得到：（3x ）t +2x y t+1y 0，因为 x +y 4，所以有（3x ）t +2x y t+（x 3）0，设 l ，l 的斜率分别为 t ，t ，因为 l ，l 与椭圆都只有一个公共点，所以 t ，t 满足上述方程（3x ）t +2x y t+（x 3）0，所以 t t 1，即 l ，l 垂直例 4.已知椭圆 1离心率为2x 2 y 2c : + =1(a b 0) a 2 b 2,该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形

15、面积为 3 3 ,(1) 求椭圆的方程;(2) 如图,若矩形 abcd 的四条边都与该椭圆相切,求矩形 abcd 面积的最 大值.【分析】（1）由题意可得： 3， ，a b +c ，联立解出即可得出（2）令 a（x ，y ），当 ab 斜率为 0 或不存在时，可得 s 8 当 ab 斜率存在且不为 0 时， 设 ab 方程：ykx+y kx 代入椭圆方程可得：（3+4k ）x 8k（kx y ）x+4 120，根据 ab 与椭圆相切，可得0，化为：k2kx y +34k 0，同理可得 ad 与椭圆相切，可得：+2kx y +3k 40进而得出解：（1）由题意可得：3， ，a b +c ，联立解

16、得 a2，b，c1椭圆的方程为1（2）令 a（x ，y ），当 ab 斜率为 0 或不存在时，可得 s 8 当 ab 斜率存在且不为 0 时，设 ab 方程：ykx+y kx 代入椭圆方程可得：3x +4，化为：（3+4k ）x 8k（kx y ）x+4120，ab 与椭圆相切，可 4（3+4k ）0，化为：k2kx y +34k 0，同理可得 ad 与椭圆相切，可得2x y +340，化为：+2kx y +3k 40 +可得：7即 a 点在以原点为圆心，为半径的圆上abcd 为以原点为圆心， 14为半径的圆的内接矩形，只有当 abcd 为正方形时面积最大可得 sabcd例 5.（2019 南

17、通二模）4x 212x 2 ya b2 2pa1121 211 222 2 222 212 2ap2 2pap ap0 010 101 1 0 01 0 0 112 2 2111112 2 2 2 21112 2 21 0 0010 0 1 02 2 2020 0 2 02 2 21 200 0 01 220 02021 2x 2 y 2如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 c ： +y42=1 ，椭圆 c ： + =1( a b 0) ，c 与 c2 2 1的长轴长之比为 2 1，离心率相同（1）求椭圆 c 的标准方程；2（2）设点 p 为椭圆 c 上一点2 射线 po 与椭圆 c

18、依次交于点 a ，b ，求证： 为定值；pb 过点 p 作两条斜率分别为 k ，k 的直线 l ，l ，且直线 l ，l 与椭圆 c 均1 2 1 2 1 2有且只有一个公共点，求证： k k 为定值1 2【分析】（1）根据题意求出 a 和 b 的值，即可写出椭圆 c 的标准方程；（2）讨论直线 op 斜率不存在和直线 op 斜率存在时，分别计算是值即可；设出点 p 的坐标，写出直线 l 和 l 的方程，分别与椭圆 c 的方程联立， 消去 y 得关于 x 的方程，利用根与系数的关系，结合椭圆方程求出 k k 的值解：（1）设椭圆 c 的焦距为 2c，由题意知，a2， ，a b +c ，解得 b ，因此椭圆 c 的标准方程为 1； （2）1当直线 op 斜率不存在时，pa 1，pb+1，则 ；2当直线 op 斜率存在时，设直线 op 的方程为 ykx， 代入椭圆 c 的方程，消去 y，得（4k +1）x 4， 所以 x ，同理 x ；所以 x 2x ，由题意，x 与 x 同号，所以 x ，从而 ，所以为定值；设 p（x ，y ），所以直线 l 的方程为 yy k （xx ），即 yk x+k y x ， 记 tk y x ，则 l 的方程为 yk x+t，代入椭圆 c 的方程，消去 y，得（4k