小学思维数学讲义：组合的基本应用(一)-带答案解析

1、mnmn组合的基本应用（一）教学目标1. 使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2. 了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3. 掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4. 会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等知识要点一、组合问题日常生活中有很多 “分组”问题如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某 项活动等等这种 “分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们

2、将着重研究有多少种分组方法的 问题一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个( m n )元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个组合从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完 全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的 组合从 n 个不同元素中取出 m 个元素( m n )的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素的 组合数记作 c n一般地，求从 n 个不同元素中取出的 m 个元素的排列数 p 可分成以下两步：m第一步：从 n 个不

3、同元素中取出 m 个元素组成一组，共有 c 种方法；n第二步：将每一个组合中的 m 个元素进行全排列，共有 p m 种排法m根据乘法原理，得到 p mn=c mnpmmp m n （n-1）（n-2)（n-m+1）因此，组合数 c m = n = p m m （m-1）（m-2）321 m这个公式就是组合数公式二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质： cmn=cn -mn( m n )这个公式的直观意义是：c m 表示从 n 个元素中取出 m 个元素组成一组的所有分组方法c n -m 表示从 n 个n n元素中取出( n -m )个元素组成一组的所有分组方法显然，从 n 个元素中选

4、出 m 个元素的分组方法恰是从 n 个 元素中选 m 个元素剩下的( n -m )个元素的分组方法例如，从 5 人中选 3 人开会的方法和从 5 人中选出 2 人不去开会的方法是一样多的，即 c 35规定 c n =1 ， c 0 =1 n n例题精讲1=c 25246627522 1模块一、组合之计算问题【例 1】 计算： c 2 ， c 4 ； c 2 ， c 5 6 6 7 7【考点】组合之基本运用 【难度】1 星 【题型】解答p 6 5 p 6 5 4 3【解析】 c 2 = 6 = =15 ， c 4 = 6 = =15p 2 2 1 p 4 4 3 2 12 4p 7 6 c 2

5、= 7 =p 2 2 1 2=21 ， c 57p 7 6 5 4 3 = 7 =p 5 5 4 3 2 1 5=21【小结】注意到上面的结果中，有 c26=c46， c27=c 57【答案】 c 2 =15 ， c 4 =156 6 c27=21 ， c57=21【例 2】 计算： c 198 ； c 55 ； c 98 -2c 100 200 56 100 100【考点】组合之基本运用 【难度】1 星 【题型】解答【解析】 c198 =c 200 -198 200 200=c2200p 200 199= 200 = =19900 ； p 2 2 12 c 5556=c 56 -55 56=

6、c 156p1 56= 56 = =56 ； p1 11 c 98 -2c 100 100 100【答案】 19900=c 2100p 2 -2 1 = 100p 22 56-2 =100 99-2 =4948 2 1 4948 【巩固】 计算： c 3 ； c 998 ； p 2 -c 2 12 1000 8 8【考点】组合之基本运用 【难度】1 星 【题型】解答【解析】 c 312=12 11 10 3 2 1=220 c 998 =c 2 1000 1000=1000 9992 1=4995008 7 p 2 -c 2 =8 7 - =56 -28 =28 8 8【答案】 c 312=2

7、20 c 9981000=499500 p 2 -c 2 =28 8 8模块二、组合之体育比赛中的数学【例 3】 某校举行排球单循环赛，有 12 个队参加问：共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用 【难度】1 星 【题型】解答【解析】 因为比赛是单循环制的，所以，12 个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个 队的选取有关而与两个队选出的顺序无关所以，这是一个在12 个队中取 2 个队的组合问题由组合数公式知，共需进行 c 212【答案】 c 2=6612=12 112 1=66 (场)比赛【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有 24 个队参加问：共需要进行多少场比赛？

8、 【考点】组合之基本运用 【难度】1 星 【题型】解答【解析】 由组合数公式知，共需进行 c 224=24 232 1=276 (场)比赛2【答案】 c224=276【例 4】 六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行 次传球【考点】组合之基本运用 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，7 题【解析】 本题是一道比赛场数计数问题，“每两个人之间至多传一次”，让 6 个人最多次地传球，则是 543 2115（次）.但要看是否可以传回去，在传递过程中两人是否重复.15 条线，代表传球 15 次， 根据一笔画问题，行不通，应减少奇数点的个数，共有 6 个奇数点，应该去掉

9、两条直线，也就是去 掉 4 个奇数点，还剩下 2 个奇数点，就可以传递回来了.所以答案为 54321213（次）.f ea db c【答案】 13 次【例 5】 一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行 78 场，那么共有多少人参加循环赛？【考点】组合之基本运用 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 从若干人中选出 2 人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题依题意，假设有 n 个人参加循环赛，应该有 c 2n参加循环赛=n （n-1）=78 ，所以 n （n-1）=782=13 12 ，所以 n =13 ，即一共有13 人 2 1【答案】 n

10、 =13【例 6】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成 3 个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的 48 名选手分成 8 个 小组，每组 6 人，分别进行单循环赛；第二阶段：将 8 个小组产生的前 2 名共 16 人再分成 4 个小 组，每组 4 人，分别进行单循环赛；第三阶段：由 4 个小组产生的 4 个第1 名进行 2 场半决赛和 2 场 决赛，确定1 至 4 名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 第 一阶段中，每个小组内部的 6 个人每 2 人要赛一场，组内赛 c 26=6 52 1=15 场，共 8 个小组，有15 8 =1

11、20 场；第二阶段中，每个小组内部4 人中每 2 人赛一场，组内赛c 2 =4场；第三阶段赛 2 +2 =4 场根据加法原理，整个赛程一共有120 +24 +4 =148 场比赛4 32 1=6 场，共4 个小组，有 6 4 =24【答案】 148【例 7】 有 8 个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不 同的比赛安排表？【考点】组合之基本运用 【难度】3 星 【题型】解答32522 1【解析】 (法 1)先选 4 人，再考虑组合的方法8 选 4 有 c 48=70 种组合，其中实质不同的有一半，即 70 2 =35 种；对每一边的 4 个人，共有实质性

12、不同的 c 2 2 =3 种，4所以，可以得到 35 3 3 =315 种实质不同的比赛安排表(法 2)先考虑所有情况，再考虑重复情况首先是 8! =8 7 6 5 4 3 2 1考虑到实质相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四； a 、 b ，以上 7 组均可交换，即每一种实际上重复计算了 2 7 次，答案为： 8!2 7 =315 【答案】 315模块三、组合之数字问题【例 8】 从分别写有1 、 3 、 5 、 7 、 9 的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问： 有多少个不同的乘积？ 有多少个不同的乘法算式？【考点】组合之基本运用 【难度】3 星 【题型】解

13、答【解析】 要考虑有多少个不同乘积由于只要从5 张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少 个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题p 5 4由组合数公式，共有 c 2 = 5 = =10 (个)不同的乘积p 2 2 12 要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序 有关，所以这是一个排列问题由排列数公式，共有 p 2 =5 4 =20 (种)不同的乘法算式5【答案】 c 25=10 p 25=20【巩固】 9、8、7、6、5、4、3、2、1、0 这 10 个数字中划去 7 个数字，一共有多少种方法？【考点】组合之基

14、本运用 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 相当于在 10 个数字选出 7 个划去，一共有 10987654（7654321）=1098（321） =120 种【答案】120【巩固】 从分别写有1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题， 有多少种不同的和？【考点】组合之基本运用 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 c 2 8【答案】 c 2 8p 8 7= 8 = =28 (种) p 2 2 12=28【例 9】 有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各 5 张，且每种颜色的卡片上分别标有 1，2，3，4，5，从这些 卡片中取出

15、5 张，要求 1、2、3、4、5 各一张，但四种颜色都要有，求共有_种取法？【考点】组合之基本运用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯，4 年级，第 14 题【解析】 四种颜色都有，则有两个数是同一种颜色即可，其它三个数字和三种颜色一一对应。c c 3! =2405 4456种【答案】240 种【例 10】 在 1100 中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？【考点】组合之基本运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出 的两个数与顺序无关，所以是组合问题从 50 个偶数中

16、取出 2 个，有 c 25050 49= =1225 (种)取法； 2 1从 50 个奇数中取出 2 个，也有 c 25050 49= =1225 (种)取法 2 1根据加法原理，一共有1225 +1225 =2450 (种)不同的取法【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两奇数相加或 两偶数相加这样可以把问题简化【答案】 2450【巩固】 从19 、 20 、 93 、 94 这 76 个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？ 【考点】组合之基本运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 19 、 20 、 、 93 、 94 中有

17、38 个奇数， 38 个偶数，从 38 个数中任取 2 个数的方法有 ：c 238=38 372 1=703 (种)，所以选法总数有： 703 2 =1406 (种)【答案】 1406【例 11】 一个盒子装有10 个编号依次为1 ， 2 ，3 ， ，10 的球，从中摸出 6 个球，使它们的编号之和为奇 数，则不同的摸法种数是多少？【考点】组合之基本运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 10 个编号中 5 奇 5 偶，要使 6 个球的编号之和为奇数，有以下三种情形： 5 奇1 偶，这时对奇数只有1 种选择，对偶数有 5 种选择由乘法原理，有1 5 =5 (种)选择； 3 奇 3 偶，这时

18、对奇数有 c 355 4 3 5 4 3= =10 (种)选择，对偶数也有c 3 = =10 (种)选择由乘 3 2 1 3 2 1法原理，有10 10 =100 (种)选择； 1 奇 5 偶，这时对奇数有 5 种选择，对偶数只有1 种选择由乘法原理， 有 5 1 =5 (种)选择由加法原理，不同的摸法有 5 +100 +5 =110 (种)【答案】 5100110【例 12】 用 2 个 1，2 个 2，2 个 3 可以组成多少个互不相同的六位数？用 2 个 0 ， 2 个 1 ， 2 个 2 可以组成多少个互不相同的六位数？【考点】组合之基本运用 【难度】3 星 【题型】解答6 5【解析】

19、 先考虑在 6 个数位上选 2 个数位放 1 ，这两个1 的顺序无所谓，故是组合问题，有 c 2 = =15 (种)2 1选法；再从剩下的 4 个数位上选 2 个放 2 ，有 c 244 3= =6 (种)选法；剩下的 2 个数位放 3 ，只有1 种 2 1选法由乘法原理，这样的六位数有15 6 1 =90 (个)在前一问的情况下组成的 90 个六位数中，首位是 1 、 2 、3 的各 30 个如果将 3 全部换成 0 ，这 30 个 首位是 0 的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数 90 -30 =60 (个)【答案】 60【例 13】 从 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 中任

20、取三个数字，从 2 ， 4 ， 6 ， 8 中任取两个数字，组成没有重复数字的五 位数，一共可以组成多少个数？【考点】组合之基本运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 整个过程可以分三步完成：第一步，从 1 ，3 ，5 ，7 ，9 中任取三个数字，这是一个组合问题，有 c35种方法；第二步，从 2 ， 4 ， 6 ， 8 中任取两个数字，也是一个组合问题，有 c 2 种方法；第三步，44用取出的 5 个数字组成没有重复数字的五位数，有 p 55（个）种方法所以总的个数为：c 3 c 2 p 55 4 5=7200【答案】 7200【例 14】 从 0 、0 、1 、2 、3 、4 、5 这七个数字中，任取 3 个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ （这里每个数字只允许用1 次，比如 100、210 就是可以组成的，而 211 就是不可以组成的）【考点】组合之基本运用 【难度】1 星 【题型】解答【关键词