2020届高三第三次模拟考试卷 文科数学(一) 解析版

1、| x|-abcd22，即 ，2020 届高三第三次模拟考试卷4定义：abcde =10000a +1000b +100c +10 d +e ，当五位数 abcde 满足a b d e文 科 数 学（一）时，称这个五位数为“凸数”由 1 ， 2 ，3 ， 4 ， 5 组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ）注意事项：1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形a16b110c112d120封号位座码粘贴在答题卡上的指定位置。2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试

2、题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。答案：d解：由题意，由1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有： 12543 ， 13542 ，14532 ， 23541 ， 24531 ， 34521 ，共 6 个基本事件，3 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。所以恰好为“凸数”的概率为p =6 1=120 20密4 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。5函数f ( x) =2| x|-x2的图象大致是（ ）不号场考第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60

3、分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的a b c d订1设z =3 +i1 -i，则| z |=（ ）答案：d解：由 f ( x) =2-x2为偶函数可排除 a，c；a3b5c3d2当0 x 0，排除 b，故选 d装号答案：b6将参加体检的36名学生，编号为1， 2，3，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为9证考准解：| z |=| 3 +i | 10= = 5 |1 -i | 2的样本，已知样本中含有编号为 a13 b1433的学生，则下面十名学生编号中被抽到的是（ ） c 23 d 24只2设集合a =1,2,3,4,5，b = x | x 3，则a i ( b ) =r

4、（ ）答案：aa4,5b3,4,5c1,2d1,2,3解：从 36 名学生中抽取 9 名，抽样间隔为 4 ，卷此名姓答案：a解： b = x | x 3 ， a i ( b ) =4,5 r r13已知 x =log 5 -log 5 ， y =log 3 ， z =5 2 ，则下列关系正确的是（ ）2 2 5z y x z x y x y z y z log 5 = 5 5125 =log 5 1 ， y =log 3 z z y x-12=1 1 0)的焦点f是双曲线2 y 2 - 2 x 2 = 1的一个焦点，过f且倾斜角为60 的直线l交c于a、b，则| ab |=（ ）a4 33+

5、2b4 3 + 2c163d16答案：d解：双曲线y 2 x 2- = 11 1，焦点(0, 1)，f (0,1)，14a= 1，a =14，a n 5b n 5答案：d解：运行程序， s =0, n =2 ，判断是， 1 1 1 11s = + + = , n =8 ，判断否，输出 2 4 6 12c n 0, b 0) b2的焦点f (2,0)到渐近线的距离为3，则该双曲线的第卷离心率为（ ）a1b3c2d2 3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分答案：c13已知曲线f ( x) =( ax -1)ln x 在点 (1,0) 处的切线方程为y =x -1 ，则实数

6、a 的值为 解：由题意知双曲线的焦点(2,0)到渐近线的距离为b =3，c 2 =a 2 +b 2 =4，答案： 2所以 a =1 ，该双曲线的离心率为ca=2解：f(x) =a ln x+ax -1x，f(1) =a -1 =1，a =211 abc的内角 a， b，c的对边分别为a，b， c，已知a cos b +b cos a =3c cos c，14已知正项等比数列a 的前 n 项和为 s ，若 s =2 ， s =10 ，则 a = n n 2 4 5a sin a -c sin c +b sin a =0，则ba=（ ）答案：3235a3答案：ab7 7c3 2d52解：因为s =

7、104，s =22，所以s =4a (1-q11 -q4)=10，a (1-qs = 11 -q2)=2，(q 1)，解：在 abc 中，由正弦定理及a cos b +b cos a =3c cos c，两式相除可得1 +q 2 =5，q 2 =4，q =2，得sin a cos b +cos a sin b =3sin c cos c ， sin( a +b ) =sin c =3sin c cos c，由题设知q =-2舍，故 a =12 2 1 ， a = 2n-1= 23 3 3n，a =5323又sin c 0 ， cos c =13，15函数f ( x ) =cos2x -sin

8、x的最大值为 答案：54解：1 5f ( x) =1 -sin 2 x -sin x =-(sin x + ) 2 +2 4，sin x -1,1， f ( x )的最大值为5416已知正方体abcd -a b c d1 1 1 1的棱长为4，e为棱cc1的中点，点m在正方形bcc b1 1内运动，且直线 am平面a de1，则动点m的轨迹长度为 时间t / min答案：2 2将每天自主参加体育锻炼时间不低于 40 分钟的学生称为体育健康 a 类学生，已知体育健康 a 类学解：设平面 da e 与直线 b c 交于点 f ，连接 ef ，则 f 为 b c1 1 1 1 1的中点生中有10 名

9、女生（1）根据已知条件完成下面2 2列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为达到体育健康 a类分别取b b1、 bc的中点 n、 o，连接 an、 on、 ao，学生与性别有关？则a fao1， ande，a f ， de 平面 1a de1， ao， an 平面 ano，非体育健康 a类学生体育健康 a类学生合计a f平面 ano 同理可得 de 平面 ano ， 1男生女生a f1、de是平面a de1内相交直线，平面a de1平面 ano，合计所以 no 平面a de1，（2）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50 分钟的学生称为体育健康 a+类学生，已知体育健康a+ m 的轨迹被正方形

10、 bcc b1 1截得的线段是线段 no ，类学生中有 2 名女生，若从体育健康 a+类学生中任意选取 2 人，求至少有1名女生的概率 m 的轨迹被正方形 bcc b1 1截得的线段长no =2 2附：k2=n ( ad -bc ) 2( a +c )(b +d )(c +d )(a +b )答案：（1）列联表见解析，没有95%的把握认为；（2）710三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解：（1）右频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，体育健康 a 类学生有 25 人，17（12 分）某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽

11、取了100名学生进行调从而 2 2 列联表如下：查，其中女生有 55 名下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：非体育健康 a类学生体育健康 a类学生合计男生女生合计30 15 4545 10 5575 25 100由 2 2列联表中数据代入公式计算，得：nn111bde bded becn100k2=n ( ad -bc ) 2( a +c )(b +d )(c +d )(a +b )=100 (30 10 -45 15) 2 100= =3.030 3.84175 25 45 55 33，类学生与性别有关所以没有 95% 的把握认为达到体育健康 a（2）由频率分布

12、直方图可知，体育健康 a +类学生为 5 人，记 a , a , a1 2 3表示男生，b , b1 2表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为（1）求证： bc 平面dbe；w =(a , a ),( a , a ),( a , a ),( a , b ) ,( a , b ),( a , b ),( a , b ),( a , b ), ( a , b ),( b , b ) 1 2 1 3 2 3 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2（2）求点d到平面bec的距离w 由 10 个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的 用 b 表示“任选 2 人中至少有1 名

13、是女生”这一事件，答案：（1）证明见解析；（2）63则b =( a , b ),( a , b ),( a , b ),( a , b ),( a , b ),( a , b ),( b , b ) 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 27p ( b ) = 10共计 7 种，解：（1）在正方形 adef 中， ed ad ，又因为平面 adef 平面 abcd ，且平面 adef i 平面 abcd =ad ， 所以 ed平面 abcd ，可得 ed bc ，18（12分）已知等差数列a 的首项为 a ，公差为 d (az, d z )，前n项的和为 s ，且 s =49 n

14、 1 1 n 7，在直角梯形 abcd 中，ab =ad =1， cd =2 ，可得 bc =2，24 s 265在bcd中，bd =bc =2，cd =2，所以bd2+bc2=cd2，（1）求数列a n的通项公式；所以bc bd ， ed i bd =d ，所以 bc 平面dbe（2）设数列1a ann +1 的前 n 项和为 t ，求 t n n（2）因为 bc 平面 bce ，所以平面 bde平面 bec ， 过点 d 作 eb 的垂线交 eb 于点 g ，则 dg 平面 bec ，1 1答案：（1） a =2 n -1；（2） t = (1- ) 2 2 n +1 7 67 a + d

15、 =492 5 4 解：（1）由题意可得 24 5a + d - + + a2 a 42 1答案：（1） ( -1, u ；（2）证明见解析e 3 e2x -1解：（1）因为 f ( x) 在 (0,3) 上只有一个零点，所以方程 a =e xx -1 2 -x设函数 h ( x) = ，则 h(x) = ，e x e x当 0 x 0 ；当 2 x 3 时， h(x) 0 ，在 (0,3) 上只有一个解，022min0(t为参数)8 2l :y =1 +ty =1 +t1 21 22221 2所以h( x) =h (2) = max1e 2，所以b2-2b -4 m2+4 m =0 ，所以

16、(b -1)2=(2 m -1)2，又h(0) =-1，h(3) =2e 3，所以b =2 m或b =-2m +2，故 a 的取值范围为( -1,2 1 u e 3 e2当b =-2m +2时，直线 ab 的方程为 x =my -2 m +2 过定点 (2,2) 与 m 重合，舍去；（2）证明：f(x) =aex-1，当 a 0 时，f(x) 0 ，当b =2 m 时，直线 ab 的方程为 x =my +2 m 过定点 (0, -2) ，令f(x) =aex-1 =0，得 x =-ln a，所以直线 ab过定点(0, -2)当 x -ln a时，f(x) -ln a时，f(x) 0，请考生在

17、22 、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分故f ( x)的极小值为f ( -ln a) =2 +ln a，22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】故要证1 2 3f ( x ) - + +a2 a 4，只需证：1 2 5 ln a + - + 0a2 a 4，已知斜率为1的直线l经过点p(1,1)设函数g ( x) =ln x +1x-1，g (x) =x -1x 2( x 0)，（1）写出直线 l 的参数方程；当 0 x 1时，g(x) 1时，g(x) 0，（2）设直线 l 与圆 x2+y2=4 相交于 a ， b 两点，求 pa - pb2的值1 3 9 1

18、 3故 g ( x) =g (1) =0 ，而 - + =( - ) 0 ，a2 a 4 a 21 2 5 1 1 3 9 1 2 3于是 ln a + - + =ln a + -1+ - + 0 ，从而 f ( x ) - + + a2 a 4 a a 2 a 4 a 2 a 41 121 （12 分）已知动点 p 到点 ( ,0) 的距离比到直线 x =-1的距离小 ，设点 p 的轨迹为曲线 c 21（1） 求曲线 c 的方程；（2） 过曲线 c 上一点 m (2, y )( y 0) 作两条直线 l ， l 与曲线 c 分别交于不同的两点 a ， b ，0 0 1 2 2x =1 + t

19、 2答案：（1） ；（2） 2 2 x =1 +t cos 4解：（1）直线 l 的参数方程为 (t 为参数)y =1 +t sin 4，若直线 l ， l 的斜率分别为 k ， k ，且 k k =1 ，证明：直线 ab 过定点 1 2 1 2 1 2答案：（1） y 2 =2 x ；（2）证明见解析1 1解：（1）由题意可知，动点 p 到点 ( ,0) 的距离与到直线 x =- 的距离相等，2 21 1所以点 f 的轨迹是以 ( ,0) 为焦点，直线 x =- 为准线的抛物线，2 2所以曲线 c 的方程为 y 2 =2 x 2 x =1 + t 2即 2 2x =1 + （2）将 y =1 +(t 为参数 )2t2代入2t2x 2 +y 2 =4，化简整理得t2+2 2t -2 =0，（2）易知m (2,2)，设点a( x , y