包含与排除(一)(含答案)

1、2222包含与排除（一）包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的 意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。【典型例题】例 1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。（单位：厘米）752分析与解：这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出 盖住桌面的面积，可以有三种不同方法：方法一： 72+52-2 5 =64 （平方厘米）方法二： 7 -2 5 +5 =64 （平方厘米）方法三： 5 -2 5 +7 =64 （平方厘米）答：盖住桌面的面积是 64 平方厘米。例 2：四（1）班同学中

2、有 37 人喜欢打乒乓球，26 人喜欢打羽毛球，21 人既爱打乒乓 球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？分析与解：根据题意可画图如下乒羽37 21 26？人此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。方法一：37 + 2621 = 42（人）方法二：3721 + 26 = 42（人）方法三：37 +（2621）= 42（人）以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去， 再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：第一部分 + 第二部分 重叠部分 = 两部分

3、之和例 3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15 人，数学得“优”的有 17 人， 老师请得“优”的同学都站起来，数了数有 24 人。两科都得“优”的有几人？分析与解：根据“第一部分 + 第二部分 重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都得“优” 的人数。15 + 1724 = 8（人）另外，从下图中我们还能得出两种不同方法语文15 人 ？人数学17 人24 人方法二：17（2415）= 8（人）15（2417）= 8（人）答：两科都得优的有 8 人。例 4：图新小学四年级二班有 24 人参加了美术小组，有 18 人参加了音乐小组，其中 11 人两个小组都参加，还有 5 人什么组都没参

4、加。这个班共有学生多少人？分析与解：这个题与例 2 相比，多了一个已知条件，那就是“有 5 个人什么组都没参加”。如果 按前面的画图方式，这 5 人无法在图上表示，根据题意，我们可以这样画图。全班5 人美术24 人11 人音乐18 人全班？人要求全班有多少人，除了知道有 5 人什么组都没参加外，还要求出参加课外小组的有 多少人。24 + 1811 = 31（人）31 + 5 = 36（人）答：这个班共有学生 36 人。例 5：某班学生参加音乐组的有 11 人，参加美术组的有 8 人，参加英语组的有 12 人， 既参加音乐组又参加美术组的有 5 人，既参加音乐组又参加英语组的有 3 人，既参加美

5、术 组又参加英语组的有 4 人，三个组都参加的只有 1 人，问：至少参加一个组的有多少人？分析与解：根据题意画图如下：音乐11 人12 人英语？人美术8 人如果我们把三个集合圈看成三张纸片，参加两个组的部分是 2 层，参加三个组的部分 是 3 层，要求至少参加一个组的人数，就是求三张纸片盖住桌面的大小，因此要从三组人 数之和中减去重叠部分的人数11 + 8 + 12534 + 1 = 20（人）答：至少参加一个组的有 20 人。【模拟试题】 （答题时间：30 分钟）1. 四年级三班订阅少年文摘的有19 人，订阅学与玩的有24 人，两种都订的有 13 人。问订阅少年文摘或学与玩的有多少人？2.

6、幼儿园有 58 人学钢琴，43 人学画画，37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画 画的分别有多少人？3. 1 至 100 的自然数中：（1） 是 2 的倍数又是 3 的倍数的数有多少个？（2） 是 2 的倍数或是 3 的倍数的数有多少个？（3） 是 2 的倍数但不是 3 的倍数的数有多少个？4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得 100 分的有 12 人，数学得 100 分 的有 10 人，两门功课都得 100 分的有 3 人，两门功课都未得 100 分的有 26 人。这个班共 有学生多少人？5. 全班 50 人，会骑车的有 32 人，会滑旱冰的有 21 人，两样都会的有 8

7、 人，求两样都 不会的有多少人？6. 一个班有学生 42 人，参加体育队的有 30 人，参加文艺队的有 25 人，并且每人至少 参加一个队。这个班两队都参加的有多少人？【试题答案】1. 四年级三班订阅少年文摘的有19 人，订阅学与玩的有24 人，两种都订的有 13 人。问订阅少年文摘或学与玩的有多少人？19 + 2413 = 30（人）答：订阅少年文摘或学与玩的有 30 人。2. 幼儿园有 58 人学钢琴，43 人学画画，37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画 画的分别有多少人？只学钢琴人数：5837 = 21（人）只学画画人数：4337 = 6（人）3. 1 至 100 的自然数中：（

8、1）是 2 的倍数又是 3 的倍数的数有多少个？既是 3 的倍数又是 2 的倍数，一定是 6 的倍数1006 = 164所以，既是 2 的倍数又是 3 的倍数有 16 个（2）是 2 的倍数或是 3 的倍数的数有多少个？1002 = 50，1003 = 33150 + 3316 = 67（个）所以，是 2 的倍数或是 3 的倍数的数有 67 个。（3）是 2 的倍数但不是 3 的倍数的数有多少个？5016 = 34（个）答：是 2 的倍数但不是 3 的倍数的数有 34 个。4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得 100 分的有 12 人，数学得 100 分 的有 10 人，两门功课都得 100 分的有 3 人，两门功课都未得 100 分的有 26 人。这个班共 有学生多少人？12 + 103 + 26 = 45（人）答：这个班共有学生 45 人。5. 全班 50 人，会骑车的有 32 人，会滑旱冰的有 21 人，两样都会的有 8 人，求两样都 不会的有多少人？50