几何体中截面问题

1、cd1a1ae几何体中的的截面问题1定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面此平面与几 何体表面的交集(交线)叫做截线此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点 2作多面体的截面方法 (交线法 )：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表 面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面题型一、截面的形状1p、q、r 三点分别在直四棱柱 ac 的棱 bb 、cc 和 dd 上，试画出过 p、q、r 三1 1 1 1点的截面 1b1 qrpdcab1 解答：(1)连接 qp、 qr 并延长，分别交 cb、 cd 的延长线于 e、f. (2)连接 ef 交 ab

2、于 ，交 ad 于 s 1d1b1c1q(3)连接 rs、tp。则多边形 pqrst 即为所求截面。rfsdpcatb2已知 p、q、r 分别是四棱柱 abcda b c d 的棱 cd、dd 和 aa 上的点，且 qr1 1 1 1 1 1与 ad 不平行，求作过这三点的截面a1d1qc1radb1pca1qd1c1b2 解答： (1)连接 qp 并延长交 da 延长线于点 i。rdb1(2)在平面 abcd 内连接 pi 交 ab 于点 m。 (3)连接 qp、rm。则四边形 pqrm 即为所求。iambpc注：若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面 的截线

3、。2 若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。3 若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。3一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是ab c d.1 13 答案：d解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的 内接正方形，故选 d。题型二、截面面积、长度等计算4过正方体abcd -a b c d 的对角线 bd 的截面面积为 s，s 和 s 分别为 s 的最大1 1 1 1 1 max mins值和最小值，则 m ax 的值为 ( )sm ina32b62c2 33d2 634 答案：c

4、解析：设 m、n 分别为 aa 、cc 的中点.易证截面 bmd n 是边长为152的菱形(正方体棱长设为 1),其面积 s(min)=62. 而截面 bb d d 是矩形,其面积 s(max)=1 125. 如图，已知球 o 是棱长为 1 的正方体 abcda b c d 的内切1 1 1 1球，则平面 acd 截球 o 的截面面积为 15 答案：解析：平面 acd 是边长为1的正三角形，且球与以点 d 为公共点的三个面的切点恰为三角形 acd 三边的中点，故所求截面的面1积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得 acd 内切圆的半1径是tan30=，则所求的截面圆的面积是 =6已知球的半径为

5、 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为 2 ，则两圆的圆心距等于（ ） a 1 b 2 c 3 6 答案：cd 22解析： o 与 o 的公共弦为 ab，球心为，ab 中点为 c， 1 2则四边形o oo c1 2为矩形，| o o |=|oc |, | oa |=2, 1 2所以| ac |=1, ac oc | oc |= | oa |2 -| ac |2 = 37已知正四棱锥 pabcd 的棱长都等于 a ,侧棱 pb、pd 的中点分别为 m、n，则截面 amn 与底面 abcd 所成二面角大小的正切值为 7 答案：.121 11 1111 1解析：过 a 在平面

6、abcd 内作直线l /bd，连接 ac,bd交于 o，连接 po，mn记 po、mn 交于 o因为 pb、pd 的中点分别为 m、n ，所以 mn/bd，因为l /bd，所以l /mn，a l，所以l 平面 amn ，l =平面 amn平面 abcd易知oao即为面 amn 与底面 abcd 所成二面角的平面角ao =po =2 2 1 a oo= a tan oao =2 4 28如图，正方体abcd -a b c d1 1 1 1的棱长为 1，p 为 bc 的中点，q 为线段cc1上的动点，过点 a,p,q 的平面截该正方体所得的截面记为 s。则下列命题正确的是_当0 cq 12时，s

7、为四边形当cq =12时，s 为等腰梯形当cq =3 1时，s 与 c d 的交点 r 满足 c r = 4 3当34cq 1时，s 为六边形当cq =1时，s 的面积为628答案： 解析：设截面与 d d相交于t，则at / pq且at =2 pq dt =2cq 1.对，.当0 cq 12时 ,则0 dt 1.所以截面s为四边形，且s为梯形.所以为真.对,.当cq =12时, dt = 1 , t与d 重合1，截面s为四边形apqd , 所以ap =d q. 1 1截面s为等腰梯形. 所以为真.对,.当cq =3 1 3 1 1 时 qc = , dt = , d t = .利用三角形相似

8、解得c r = . 4 4 2 2 3所以为真.对,.当3 3cq 1时, dt 2 4 2.截面s与线段a d , d c 1 1 1 1相交，所以四边形s为五边形.所以为假.对,.当cq =1时，q与c 重合, 截面s与线段a d 相交于中点g 即为菱形 apc g a1 1 1 1 1 1.对角线长度分别为2和 3，s的面积为62.所以为真.9如图， abcd -a b c d 为正方体。任作平面a与对角线1 1 1 1ac 垂直，使得 a与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 s，周长为l.则（ ）as 为定值，l不为定值 bs 不为定值，l为定值cs 与 l 均为

9、定值 ds 与 l 均不为定值9 答案:b解析 :将正方体切去两个正三棱锥a -abd 与 c -dbc后，得到一个以平行平面abd与dbc为上、下底面的几何体 v，v 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形 w 的每一条边分别与 v 的底面上的一条边平行，将 v 的侧面沿棱ab剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形ab ba1 1，而多边形 w 的周界展开后便成为一条与aa1平行的线段（如图中e e），显然 a 1a =e e，故 l 为定值。 1 1当 e位于 ab中点时，多边形 w 为正六边形，而当 e 移至 a处时，w 为正三角形，易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别

10、为3 3l 2 与 l24 362，故 s 不为定值。题型三、截面图形的计数10设四棱锥 p -abcd 的底面不是平行四边形, 用平面a去截此四棱锥, 使得截面四 边形是平行四边形, 则这样的平面a ( )a. 不存在 b. 只有 1 个 c. 恰有 4 个 d. 有无数多个10 答案：d解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m，n，直线 m、n 确定了平面 ，作与 平 行的平面 与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形这样的平面 有无数多个11过正四面体abcd的顶点a做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面bcd成75角，问这样的截面可作几个？11 答案：6 个解析：可以证明

11、正四面体的棱、侧面与底面成角均小于 75 度，这样过顶点与底面成 75 度角， 且平行与底面一条边的 截面也就是符合题意的截面，有两个。三条边就是 6 个。题型四、截面图形的性质12如图 4，在透明的塑料制成的长方体 abcd-a b c d 容器内灌进一些水，固定容器底1 1 1 1面一边 bc 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：.b1 水的部分始终呈棱柱状；2 水面 efgh 的面积不改变；3 棱 a d 始终与水面 efgh 平行；1 1 当容器倾斜到如图 4（2）时，bebf 是定值；aea1bd1 hdf图 4（1）1ccg1其中正确的命题序号是_a1d11

12、2 答案：解析 当长方体容器绕 bc 边转动时，盛水部分的几何体始终满ab1dhc1足棱柱定义，故正确；在转动过程中 eh/fg，但 eh 与 fg 的距离 ef 在变，所以水面 efgh 的面积在改变，故错误；在 转动过程中，始终有 bc/fg/a d ，所以 a d /面 efgh，正1 1 1 1ebf图 4（2）cg确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图 5（2），因为v水=12be bf bc是定值，又bc 是定值，所以 bebf 是定值，即正确。13有一容积为 1 立方单位的正方体容器 abcd-a b c d ，在棱1 1 1 1ab、bb 及对角线 b c 的中点各有一小孔 e

13、、f、g，若此容器可 1 1以任意放置，则该容器可装水的最大容积是adebca12b78c1112d4748d1fgc113 答案：c解析：本题很容易认为当水面是过 e、f、g 三点的截面时容器可1 1 1 7装水的容积最大图 6（1），最大值为v =1 - 1= 立方单2 2 2 8位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置” 的理解不够，其实，当水平面调整为图 6（2）c 时容器的容1a1图（1）daed1b1bgfcc1积最大，最大容积为v =1 -1 1 1 11 11=3 2 2 12a1图（2）b114(08 年江西)如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器底部 镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水 时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 p。如果将容器倒置， 水面也恰好过点 p （图 2）。有下列四个命题：pa正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半pb 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点c 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点a升水，则容器恰好能装满d若往容器内再注入p图 1p图 2其中真命题是： 14 答案：bd解析：a升水对应的体积为v，则正四棱锥的体积v2，正四棱柱的体积为v 5 v