专题04根与系数关系

1、全国初中数学教师群 881627464专题 04根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16 世纪的法国数学家韦达所发现的韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：1 求方程中字母系数的值或取值范围；2 求代数式的值；3 结合根的判别式，判断根的符号特征；4 构造一元二次方程；5 证明代数等式、不等式当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路， 需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有

2、两个实数根，所以，应用根与系数的 关系解题时，必须满足判别式0例题与求解【例 1】设关于 x 的二次方程( m2 -4) x 2+(2 m -1) x +1 =0 (其中 m 为实数)的两个实数根的倒数和为s，则s的取值范围是_.【例 2】 如果方程( x -1)(x2-2 x +m ) =0的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数 m 的取值范围是_.a0 m 1bm 34c3 3 b不解方程，求2a+3b2的值全国初中数学教师群 881627464【例 4】 设实数s , t分别满足19 s2 +99 s +1 =0, t 2+99t +19 =0并且st 1，求st +4 s +1

3、t的值【例 5】（1）若实数 a , b 满足 a2 +5 =8a ， b2+5 =8b，求代数式b -1 a -1 +a -1 b -1的值；（2）关于x, y , z3x +2 y +z =a 的方程组 xy +2 yz +3 zx =6有实数解( x, y, z )，求正实数a的最小值；（3）已知x, y均为实数，且满足xy +x +y =17，x 2 y +xy 2 =66，求x 4 +x 3 y +x 2 y 2 +xy 3 +y 4的值【例 6】a , b, c为实数， ac 2 n 2全国初中数学教师群 881627464的方程3x2+2 x +m -8 =0有两个大于-2的根4

4、对于一切不小于 2 的自然数 n 关于 x 的一元二次方程x2 -( n +2) x -2 n 2=0的两根记为a , b ( n 2) n n则1 1+ +( a -2)(b -2) ( a -2)(b -2) 2 2 3 3+( a20071-2)(b2007-2)=5设x , x 是方程 x 1 22-2( k +1) x +( k2+2) =0的两个实根，且( x +1)(x +1) =8 ，则 k 的值为（ ） 1 2a-3或1b-3c1dk 12的一切实数6设x , x12是关于x的一元二次方程x 2 +x +n -2 =mx的两个实数根，且x 0, x -3 x 1 m 1 m

5、1 a b c d m 1n b， 且 方 程3 x 2 +3( a +b ) x +4 ab =0的 两 个 根 a,b 满 足 关 系 式a(a+1) +b(b+1) =(a+1)(b+1) 试求所有整数点对( a , b )10若方程x2+3 x +1 =0 的两根 a, b也是方程 x6 -px 2+q =0的两根，其中 p, q 均为整数，求 p, q 的值全国初中数学教师群 88162746411. 设a , b是 方 程x 2 -3 x + 1= 0的 两 根 ， c，d是 方 程x2 -4 x +2 =0的 两 根 ， 已 知a b c d+ + + =m b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c求证：（1）a 2 b 2 c 2 d 2+ + + =7 m -7 b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c；（2）a3 b3 c3 d 3+ + + =49 m -68 b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c12设 m是不小于-1的实数，使得关于x的一元二次方程x2 +2( m -2) x +m 2-3m +1 =0有两个不相等实数根x , x12（1）若x12+x22=6 ，求 m 的值；（2）求mx 2 mx 2