函数 不等式恒成立问题经典总结

1、2函 数 、 不 等 式 恒 成 立 问 题 解 法 （ 老 师 用 ） 恒成立问题的基本类型：类型 1：设f ( x) =ax2+bx +c ( a 0)，(对于任意实数 r 上恒成立)（1）f ( x ) 0在x r上恒成立 a 0且d0；（2）f ( x ) 0在x r 上恒成立 a 0且d0 时， f ( x) 0在x a,b- 上恒成立 b2a b bb 或 2 a 或 2 a，f (a) 0 d0f ( x ) 0在x a,b 上恒成立 f (a) 0 f ( b) 0（2）当 a 0在x a,b 上恒成立 f (a) 0 f ( b) 0f ( x ) 0在x a,b b- bf

2、 (a) 0 d0f (b) 0类型 3：f ( x ) a。类型 4：f ( x ) g ( x)对一切x i恒成立 f ( x)的图象在g ( x )的图象的上方或f ( x) ( x i )ming ( x)max恒成一、用一次函数的性质对于一次函数f ( x) =kx +b, x m, n 有：例 1：若不等式2 x -1 m ( x2-1) 对满足 -2 m 2 的所有 m 都成立，求 x 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为：m ( x2-1) -(2 x -1) 0，；令f ( m ) =m ( x2-1) -(2 x -1) ， 则 -2

3、 m 2 时 ， f ( m ) 0恒 成 立 ， 所 以 只 需 f ( -2) 0 f (2) 0即-2(x-1) -(2 x -1) 0 2( x 2 -1) -(2 x -1) 0( a 0, x r )有：（1）（2）f ( x ) 0在x rf ( x ) 0且d0 a 0且d0的解集是 r，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为 20 恒成立，满足题意；（2）m -1 0 时，只需 m -1 0 d=( m -1)2-8( m -1) 0，所以，m 1

4、,9)。三、利用函数的最值（或值域）（1）f ( x) m对任意 x 都成立 f ( x)minm；（2）f ( x) m对任意 x 都成立 m f ( x )max。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在 d abc 中，已知f ( b) =4sin b sin2(p4b+ ) +cos 2b, 且 | f ( b) -m |2 2恒成立，求实数 m 的范围。解析：由f ( b ) =4sin b sin 2 (p4+b2) +cos 2b =2sin b +1,q 0 b p,sin b (0,1，f ( b ) (1,3，

5、q| f ( b ) -m |2 恒成立， -2 f ( b ) -m f ( b ) -2 ，即 m sin x -cos x, x 0,p恒成立的实数 a 的范围。解 析 ： 由 于 函a sin x -cos x =2 sin( x -p p 3p ), x - - , 4 4 4， 显 然 函 数 有 最 大 值2， a 2。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式a sin x -cos x, x -p p(0, )4 2恒成立的实数 a 的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得y =sin x -cos

6、x的最大值取不到2，即 a 取2也满足条件，所以a 2。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利 用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。12 2例 5：已知a 0, a 1, f ( x ) =x2 -a x, 当x ( -1,1)时, 有f ( x ) 12恒成立 ，求实数 a 的取值范围。解析：由f ( x) =x2 -a x1 ，得x22-12ax，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交，则由1 1

7、 12 - =a及(-1) 2 - =a2 2-1得到 a 分别等于 2 和 0.5，并作出函数y =2x1 及y =( )2x的图象，所以，要想使函数x21- 1时, 只有 a 2才能保证，而0 a 0 |0 +1 +c | c 2 -1 1 +1同步练习，故选 d。1、设 f ( x ) =lg1 +2x +a 43x, 其中 a r ，如果 x ( -.1) 时， f ( x) 恒有意义，求 a 的取值范围。分析：如果 x ( -.1) 时， f ( x) 恒有意义，则可转化为 1 +2 x +a 4x 0 恒成立，即参数分离后 a -1 +24xx=-(2 -x +2 -2x ) ，

8、x ( -.1) 恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果 x ( -.1) 时， f ( x) 恒有意义 1 +2 x +a 4x 0 ，对 x ( -,1) 恒成立. a -1 +24xx=-(2 -x +2 -2x ) x ( -.1) 恒成立。令 t =2-x1 1， g (t ) =-(t +t 2) 又 x ( -.1) 则 t ( , +) a g (t ) 对 t ( , +)恒成立，又2 2aa2 minmin21 1 3 3q g (t ) 在 t , +)上为减函数， g (t ) =g ( ) =- ，a - 。2 max 2 4 42 、设函数是定义在 (

9、 -,+)上的增函数，如果不等式f (1-ax -x2) f (2 -a ) 对于任意x 0,1 恒成立，求实数 a 的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为 1 -ax -x 2 2 -a 对于任意 x 0,1 恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：q f ( x) 是增函数 f (1-ax -x2) f (2 -a ) 对于任意 x 0,1 恒成立 1 -ax -x 2 0 对于任意 x 0,1 恒成立，令 g ( x ) =x 2 +ax +1 -a ， x 0,1 ，所以原问题 g ( x) 0 ，又 g ( x)min求得 a 0 1-a, a 0 =g(

10、- ), -2 a 0 即 g ( x) =- -a +1, -2 a 0 易 2 42, a -2 2, a -23、 已知当 xr 时，不等式 a+cos2x5-4sinx 恒成立，求实数 a 的取值范围。方法一）分析：在不等式中含有两个变量 a 及 x，本题必须由 x 的范围（xr）来求另一 变量 a 的范围，故可考虑将 a 及 x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解 a 的取值范围。解：原不等式 4sinx+cos2x-a+5当 x r 时，不等式 a+cos2x(4sinx+cos2x)max设 f(x)=4sinx+cos2x 则 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin

11、2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3 3 -a+53 a2方法二）题目中出现了 sinx 及 cos2x，而 cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把 sinx 换元成 t,则可把原不等式转化成关于 t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。 解：不等式 a+cos2x5-4sinx 可化为a+1-2sin2x5-4sinx,令 sinx=t,则 t -1,1, 不等式 a+cos2x0,t -1,1恒成立。设 f(t)= 2t2-4t+4-a，显然 f(x)在-1，1内单调递减，f(t) =f(1)=2-a, 2-a0a2min4、 设 f(x)=x -2ax+2,

12、当 x -1,+ )时，都有 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围。分析：在 f(x) a 不等式中，若把 a 移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间 恒成立问题。解：设 f(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当 d=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0 时，即-2a1 时，对一切 x -1,+ )，f(x)0 恒成立；）当 d=4（a-1)(a+2) 0 时由图可得以下充要条件： a12 a2lld0 (a -1)( a +2) 0 f ( -1) 0 即 a +3 0y-2 a- -1, 2a -1,-1 ox得-3 a -2;综上所述：a 的取值范围

13、为-3，1。5、当 x (1,2)时，不等式(x-1)2log x 恒成立，求 a 的取值范围。a分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可 以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解 a 的取值范围。解：设 t : f ( x) = ( x -1)2 ,t : g ( x ) =log x ,则 t 的图象为右 1 2 1图所示的抛物线，要使对一切 x (1,2), f ( x ) 1,并且必须也只1 2需 g (2) f (2)1yy =(x-1)2y =log x故 log 21,a1,10,若将等号两边分别构造函数即二次函数 y= x2+20x 与一次

14、函数 y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 t ：y = x2+20x=（x+10）2-100, t ：y =8x-6a-3,则如 1 1 2 2图所示，t 的图象为一抛物线，t 的图象是一条斜率为定值 8，而 1 2截距不定的直线，要使 t 和 t 在 x 轴上有唯一交点，则直线必须1 2位于 l 和 l 之间。（包括 l 但不包括 l )1 2 1 2当 直 线 为 l 时 ， 直 线 过 点 （ -20 ， 0 ） 此 时 纵 截 距 为1163-6a-3=160,a= - ;61当直线为 l 时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a= -2y1-20 ol2x163 1a 的范围为 - ， - ）。6 27、对于满足|p| 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+12p+x 恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、p,并且是给出了 p 的范围要求 x 的相应范围，直接从 x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x 看成参变量，则上述问 题即