人教版高中数学选修4-5 柯西不等式教学题库大全

1、vvv v vvvvvv2 22v vv v2222vv新课标数学选修 4-5 柯西不等式教学题库大全 一、二维形式的柯西不等式( a2+b2)( c2+d2) ( ac +bd )2( a , b , c , d r , 当且仅当 ad =bc时, 等号成立 .)二、二维形式的柯西不等式的变式(1) a2+b2 c2+d2ac +bd ( a , b , c , d r , 当且仅当ad =bc时, 等号成立.)(2) a 2 +b 2 c 2 +d 2 ac +bd ( a , b , c , d r , 当且仅当ad =bc时, 等号成立.)(3)( a +b )( c +d ) ( a

2、c + bd )2( a , b , c , d 0 , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立 .)三、二维形式的柯西不等式的向量形式ab a b. (当且仅当 b是零向量 , 或存在实数k , 使a =kb时 , 等号成立 .)借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对 a2 + b2 + c2， 并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。 基本方法（1）巧拆常数：例 1：设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等。求证：2 2 2 9+ + a +b b +c c +a a +b

3、+c（2）重新安排某些项的次序：例 2： a 、 b 为非负数， a + b =1， x , x r +求证： ( ax +bx )(bx +ax ) x x1 2 1 2 1 2 1 2（3）改变结构：例 3、若 a b c求证：1 1 4+ a -b b -c a -c（4）添项：a b c 3例 4： a, b, c r +求证： + + b +c c +a a +b 2v v v【1】、设a =( -2,1,2), b =6 ，则 a b之最小值为_；此时 b =_。v v v v答案：-18; (4,-2,-4) 解析： a b a b a b 18 -18 a b 18v va b

4、之最小值为-18，此时 b =-2a =(4, -2, -4)v v【2】 设 a =(1，0，-2)， b =(x，y，z)，若 x +y +z =16，则 a b 的最大值为 。 【解】 a =(1，0，-2)， b =(x，y，z) a b =x -2z由柯西不等式12+0 +(-2)(x+y+z2) (x +0 -2z)2 5 16 (x -2z) -4 5 x 4 5v v -4 5 a b 4 5 ，故 a b 的最大值为 4 5【3】空间二向量 a =(1,2,3) ，b =( x , y, z ) ，已知 b = 56 ，则(1) a b的最大值为多少？(2)此时 b =？ a

5、ns：(1) 28：(2) (2,4,6)2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 22 2v v v v2 2222v v v v2 222222 2 2【4】设 a、b、c 为正数，求4 9 36( a +b +c )( + + ) 的最小值。ans：121a b c【5】. 设 x，y，z r，且满足 x +y +z =5，则 x +2y +3z 之最大值为 解(x +2y +3z) (x +y +z )(1 +2 +3 ) =514 =70 x +2y +3z 最大值为70【6】 设 x ，y，z r，若 x +y +z =4，则 x -2y +2z 之最小值为时，

6、(x，y，z) =解(x -2y +2z) (x +y +z )1 +( -2) +2 =49 =36x y z -6 -2 x -2y +2z 最小值为 -6，公式法求 (x，y，z) 此时 = = = =1 -2 2 2 2 +( -2) 2 +2 2 3x =-2 4 -4 ， y = ， z =3 3 3【7】设 x , y, z r ， x 2 +y 2 +z 2 =25 ，试求 x -2 y +2 z 的最大值 m 与最小值 m。 ans： m =15; m =-15【8】、设x, y, z r , x 2 +y 2 +z 2 =25 ，试求 x -2 y +2 z 的最大值与最小

7、值。 答：根据柯西不等式(1 x-2 y +2 z)2 12 +( -2) 2 +2 2 ( x 2 +y 2 +z 2)即( x -2 y +2 z )29 25而有-15 x -2 y +2 z 15故x -2 y +2 z的最大值为 15，最小值为 15。【9】、设x, y , z r , 2 x -y -2 z =6 ，试求 x2+y2+z2之最小值。答案：考虑以下两组向量 u = ( 2, 1, 2)v =( x, y, z ) 根据柯西不等式 (u v) 2 u v ，就有2 x +( -1) y +( -2) z 2 2 2 +( -1) 2 +( -2) 2 ( x 2 +y

8、2 +z 2 ) 即(2 x -y -2 z )29( x2+y2+z 2 ) 将 2 x -y -2 z =6 代入其中，得 36 9( x2+y2+z 2 ) 而有x2+y2+z24 故 x2+y2+z2之最小值为 4。【10】设 x, y , z r ， 2 x -y -2 z =6 ，求 x2+y2+z2的最小值 m，并求此时 x 、y、z 之值。4 2 4ans： m =4;( x, y, z ) =( ,- ,- )3 3 3【11】 设 x ，y，z r ，2x +2y +z +8 =0，则(x -1)+(y +2)+(z -3)之最小值为解： 2x +2y +z +8 =0 2

9、(x -1) +2(y +2) +(z -3) =-9， 考虑以下两组向量u = ( , , )， v =( , , ) (u v) 2 u v2(x -1) +2(y +2) +(z -3)2(x -1)+(y +2)2+(z -3)(2+2+12) (x -1) +(y +2) +(z -3) ( -9)92=9【12】设x, y, zr，若2 x -3 y +z =3 ，则x2+( y -1)2+z2之最小值为_，又此时 y =_。解： 2 x -3 y +z =3 2x -3(y -1) +z =( )， 考虑以下两组向量2 222 2v vv2222222222222222vu =

10、( , , ) ， v =( , , )解析： x2+( y -1)2+z222+( -3)2+12 (2 x -3 y +3 +z )2 x2+( y -1)2+z2 36 18最小值14 7x y-1 z= = t=, 2x 2 - 3 123 t = y =-77-3y +z=3 , 2t ( 2 -) t -3( +3t +1 )=34 9 16【13】 设 a，b，c 均为正数且 a +b +c =9 ，则 + + 之最小值为a b c解：考虑以下两组向量u = ( , , ) ， v =( , , )v v v v(u v) 2 u v (2 3 4 a + b + c ) a b

11、 c24 9 16 ( + + )(a +b +c) a b c4 9 16 ( + + )9 (2 +3 +4) =81a b c4 9 16 81 + + =9a b c 91 2 3【14】、设a, b, c 均为正数，且 a +2b +3c =2 ，则 + + 之最小值为_，此时 a =_。a b c解：考虑以下两组向量u = ( , , )， v =( , , )v v v v (u v) 2 u v1 2 3( a ) 2 +( 2b ) 2 +( 3c ) 2 ( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 (1 +2 +3)a b c21 2 3 ( + + ) 18 ，最小值为 18

12、 a b c等号发生于 u / v 故a1=2b2=3c3abc a =b =c又 a +2b +3c =2 a =13【15】. 设空间向量 a 的方向为a，b，g，0a，b，gp，csca+9csc b+25 csc g 的最小值 为 。解sin a+sin b+sin g=2 由柯西不等式(sina+sin2b+sing)(1 3 5 ) 2 +( ) 2 +( )sin a sin b sin g2 (1 +3 +5)22(csc2a+9cscb+25csc2g)81csc2a+9cscb+25csc2g81 81 故最小值为2 2【注】本题亦可求 tan a+9 tan b+25ta

13、n g 与 cot a+9cot b+25cot g 之最小值，请自行练习。【16】. 空间中一向量 a 与 x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为a，b，g（a，b，g均非象限角）， 1 4 9求 + + 的最小值。sin 2 a sin 2 b sin 2 g解 : 由柯西不等式22222 22(1 2 3) 2 +( ) 2 +( ) 2 (sin sin a sin b sin g2a + sin2b +sin2g)(1sin2 3sin a + sin b+ sin g)2 a sin b sin g (1 4 9) +( ) +( )(sin sin 2 a sin 2 b sin

14、 2 g2a+sin2b+sin2g) (1 + 2 +3)2sina+sinb+sing=22(1 4 9 1 4 9+ + ) 36 ( + + ) 18 sin 2 a sin 2 b sin 2 g sin 2 a sin 2 b sin 2 g1 4 9+ + sin 2 a sin 2 b sin 2g的最小值 =18【17】.空间中一向量 a 的方向角分别为 a, b,g，求 答 72 利用柯西不等式解之9 25 16+ + 的最小值。 sin 2 a sin 2 b sin 2 g【18】、设x, y, z r，若 ( x -1)2+( y +2)2+z2=4 ，则 3x -y

15、 -2 z 之范围为何？又 3x -y -2 z 发生最小值时， x =？答案： ( x -1) 2 +( y +2) 2 +z 2 3 2 +( -1) 2 +( -2) 2 (3 x -3 -y -2 -2 z )24(14) (3 x -y -2 z -5)2-2 14 3 x -y -2 z -5 2 145 -2 14 3 x -y -2 z 5 +2 14x -1 y +2 z若 3 x -y -2 z =5 -2 14 又 = = =t 3(3t +1) -( -t -2) -2( -2t ) =5 -2 143 -1 -2 t =-147 x =-3 147+1【19】 设ra

16、bc 之三边长 x ，y，z 满足 x -2y + z = 0 及 3x + y -2z = 0，则rabc 之最大角是多 少度？【解】x -2 y +z =0 3 x +y -2 z =0-2 1 1 1 1 -2 x ：y：z = ： ： = 3：5：71 -2 -2 3 3 1设三边长为 x = 3k，y = 5k，z = 7k 则最大角度之 cosq=(3k )2+(5k ) 2 -(7 k ) 2(3k )(5k )21= - ，q= 120 2【20】. 设 x ，y，z r 且【解】( x -1) 2 ( y +2) 2 ( z -3) 2+ + =1 ，求 x +y +z 之最

17、大值，最小值。16 5 4ans 最大值 7；最小值 -3( x -1) 2 ( y +2) 2 ( z -3) 2 + + =116 5 4由柯西不等式知x -1 y +2 z -34 +( 5 ) +2 ( ) 2 +( ) 2 +( ) 4 5 22+ x -1 y +24( ) + 5( ) +2 4 5z -3( )22 25 1 (x +y +z -2) 5 |x +y +z -2| -5 x +y +z -2 5-3 x +y +z 7vvvv222 2 22 222222故 x +y +z 之最大值为 7，最小值为 -3【21】. 求 2sinq+ 3 cosqsinf-cos

18、qcos f 的最大值与最小值。答. 最大值为 2 2 ，最小值为 -2 2【详解】令向量 a =(2sinq， 3 cosq，-cosq)， b =(1，sinf，cos f)v v由柯西不等式 | a b | | a | b |得| 2sinq+ 3 cosqsin f-cosqcosf| 4 sin 2 q+3cos 2 q+cos 2q，1 +sin 2 f+cos 2 f 4(sin 2 q+cos 2 q)(1 +sin 2 f+cos 2 f) =2 2 所求最大值为 2 2 ，最小值为 -2 2【22】abc 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为 r，求证：( a2+b2+c

19、2)(1 1 1+ + ) 36 r sin 2 a sin 2 b sin 2 c2证明：由三角形中的正弦定理得sin a =a 1 4r 2 1 4 r 2 1 4r 2，所以 = ，同理 = ， = 于是左边= 2 r sin 2 a a 2 sin 2 b b 2 sin 2 c c 2( a2 +b 2 +c 24r 2 4 r 2 4 r 2 2r 2r 2 r )( + + ) ( a +a +a )a 2 b 2 c 2 a b c2=36 r2。【23】求证:点 p(x ,y )到直线 ax+by+c=0 的距离 d=0 0| ax +by +c | 0 0a 2 +b 2.

20、证明:设 q(x,y)是直线上任意一点,则 ax+by+c=0.因为|pq| =(x-x ) +(y-y ) ,a +b 0,由柯西不等式得0 0(a +b )(x-x ) +(y-y ) a(x-x )+b(y-y )=(ax+by)-(ax +by )=(ax +by +c) ,所以|pq|0 0 0 0 0 0 0 0| ax +by +c | 0 0a 2 +b 2.当x -x y -y ax +by +c0 = 0 =- 0 0a b a 2 +b 2时,取等号,由垂线段最短得 d=| ax +by +c | 0 0a 2 +b 2.【24】已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=x

21、yz,且不等式解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得1 1 1+ +x +y y +z z +x 恒成立,求 的范围.1 1 1 1 1 1 1 z + + + + = (x +y y +z z +x 2 xy 2 y z 2 zx 2 x +y +z+x x +y +z+y x +y +z)1 z x y 3 (12 +12 +12 )( + + ) =2 x +y +z x +y +z x +y +z 23故 的取值范围是 ,+).2温馨提示本题主要应用了最值法 , 即不等式1 1 1 1 1 1+ + 恒成立 , 等价于 ( + +x +y y +z z +x x +y y +z z +x) , 问题转 max化为求 f(x,y,z)=1 1 1+ +x +y y +z z +x的最大值.2 2 2 2 2 22222222 2 2 2【25】设 a,b,c,x,y,z 均为正实数,且满足 a +b +c =25,x +y +z =36,ax+by+cz=30.求 解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.a +b +c x +y +z的值.由柯西不等式等号成立的条件,知a b c a +b +c= = =,再由等比定理,得 =.因此只需求 的值即可.由柯西不 x y z x +y +z等式,得