中考几何模型解题法

1、111第一讲文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 中考几何模型解题法研修课论文 宋海平以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。第二讲弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。第三讲在熟悉 a 字型相似、8 字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。第四讲中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率

2、较高。本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。第五讲几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如 90 度角，中间夹一个 45 度角），用来求线段或图形的数量关系。本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，快 速找到题目的突破口，提升解题的效率。第六讲本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。培养学生把几何的三大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。一、角平分线模型一、 精讲精练【模型一】夹角模型oa、oc

3、分别是bac、bca 的角平分线，则：aoc=90+ b2bp、cp 分别是abc、acd 的角平分线，则：p= a2ad、cd 分别是eac、fca 的角平分线，则： d=90- b21. 如图，在abc 中，b60，a、c 的角平分线 ae、cf 相交于 o求证：oeofb2. （2011 湖北黄冈）如图， 线 cp 与内角abc 平分线eabc 的外角acd 的平分 bp 交 于 点 p ， 若 bpc=40 ，则 focap=_.3. （ 2011 年山东临沂）如图，abc 中，ab=ac，ad、cd分别是两个外角的平分线.a c（1） 求证：ac=ad；（2） 若b=60，求证：四边

4、形 abcd 是菱形. 【模型二】角平分线加垂直abac，ab=ac，ce 是acb 的平分线，文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.bece，则: be=12cf4. （2011 大连）在abc 中，a90，点 d 在线段 bc 上，edb12c，bede，垂足为 e，de 与 ab 相交于点 f（1）当 abac 时（如图 1），ebf_；探究线段 be 与 fd 的数量关系，并 加以证明；（2）当 abkac 时（如图 2），求【模型三】角平分线加平行线 op 是mon 的角平分线，abon， 则：oa=abbefd的值（用含 k 的式子表示）5.（2011 江

5、苏宿迁）如图，在梯形 abcd 中，abdc，adc 的平分线与bcd 的平分线的交点 e 恰在 ab 上若 ad7cm，bc8cm，则 ab 的长度是 _cm6. （2011 山东滨州）如图，在abc 中，点 o 是 ac 边上（端点除外）的一个动点，过点 o 作直线 mnbc.设 mn 交bca 平分线于点 e，交bca 的外角平分线于点 f，连接 ae、af.那么当点 o 运动到何处时，四边形 aecf 是矩形？并证明你的结论.【模型四】四边形对角互补模型a+c=180，bd 是abc 的平分线，则:ad=cd7. （2011 年山东临沂前两问）如图 1，将三角板放在正方形 abcd 上

6、，使三角板的直角顶 点 e 与正方形 abcd 的顶点 a 重合，三角板的一边交 cd 于点 f，另一边交 cb 的延长线 于点 g.（1） 求证：ef=eg；（2） 如图 2，移动三角板，使顶点 e 始终在正方形 abcd 的对角线 ac 上，其他条件不 变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由弦图模型。一、 知识提要1. 弦图基本模型模型一：模型二：2. 弦图模型之变形二、 专项训练【板块一】弦图基本模型1. 如图，rtabc 中，cdab，垂足为 d，deac，垂足为 e，求证：aabb22aece2. 如图，梯形 abcd 中，ab/ dc，b=90，e

7、 为 bc 上一点，且 aeed若 bc=12，dc=7，文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.be：ec=1：2，则 ab 的长为_ 3. 在abc 中，ab= 2 5 ，ac=4，bc=2，以 ab 为边向abc 外作abd，使abd 为等腰 直角三角形，求线段 cd 的长.【板块二】弦图模型之变形4. （2011 乌鲁木齐）如图，等边三角形 abc 的边长为 3，点 p 为 bc 边上一点，且 bp=1， 点 d 为 ac 边上一点，若apd=60，则 cd 的长为 .5. （2011 锦州）如图，四边形 abcd，m 为 bc 边的中点若b=amd=c=45，

8、ab=8，cd=9，则 ad 的长为（ ）a3 b4 c5 d66. （2011 荆州）如图，p 为线段 ab 上一点，ad 与 bc 交干 e，cpd=a=b，bc 交 pd 于 f，ad 交 pc 于 g，则图中相似三角形有（ ）a1 对 b2 对 c3 对 d4 对7. 在abc 中，ac=bc，acb=90，点 m 是 ac 上的一点，点 n 是 bc 上的一点，沿着直 线 mn 折叠，使得点 c 恰好落在边 ab 上的 p 点，求证：mc：nc=ap：pb相似基本模型三、知识提要1. 相似基本模型 1：“a” 字型相似及其变形2. 相似基本模型 2：“8” 字型相似及其变形四、 专项

9、训练1. 四边形 efgh 是abc 内接正方形，bc=21cm，高 ad=15cm，则内接正方形边长 ef=_.2. 如图，在abc 中，aed=b，de=6，ab=10，ae=8，则 bc 的长度为（ ）a.b.c.3 d.3. 如图，直角梯形 abcd 中， bcd=90，adbc，bc=cd ，e 为梯形内一点，且 bec=90，将bec 绕 c 点旋转 90使 bc 与 dc 重合，得到dcf，连接 ef 交 cd 于 m已知 bc=5，cf=3，则 dm：mc 的值为（ ）a.5：3 b.3：5 c.4：3 d.3：44. 如图，在平行四边形 abcd 中，m，n 为 bd 的三等

10、分点，连接 cm 并延长交 ab 于 e 点， 连接 en 并延长交 cd 于 f 点，则 df：ab 等于（ ）a.1：3 b.1：4 c.2：5 d.3：875. 如图，半圆 o 的直径 ab=7，两弦 ac、bd 相交于点 e，弦 cd= ，且 bd=5，则 de 等2于_.6. 已知：如图，abc 中，aece，bccd，求证：ed3ef.7. 已知：如图，梯形 abcd 中，abdc，e 是 ab 的中点，直线 ed 分别与对角线 ac 和 bc 的延长线交于 m、n 点，求证：md：mend：ne.巧用轴对称解线段和差最值【板块一】线段和最小1. 如图，正方形 abcd 的面积为

11、12，abe 是等边三角形，点 e 在正方形 abcd 内，在对 角线 ac 上有一点 p，使 pd+pe 的和最小，则这个最小值为（ ）ea da 2 3b 2 6文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. c3 d 62. 如图，在五边形 abcde 中，bae=120，b=e=90，ab=bc，ae=de，在 bc， de 上分别找一点 m，n，使得amn 周长最小时，则amn +anm 的度数为（ ）a. 100b. 110c. 120d. 1303. 如图， 在锐角abc 中， ab= 4 2 ，bac=45,bac 的平分线交 bc 于点 d，m， n 分别是

12、 ad，ab 上的动点，则 bm+mn 的最小值是_.4. （2011 福州）已知，如图，二次函数 y =ax2+2 ax -3 a ( a 0)图象的顶点为 h，与 x 轴交3于 a、b 两点（b 在 a 点右侧），点 h、b 关于直线 l : y = x + 3 对称.3（3）过点 b 作直线 bkah 交直线 l于 k 点，m、n 分别为直线 ah 和直线 l上的两个动5.点，连接 hn、nm、mk，求 hn+nm+mk 的最小值. 已知四边形 pabq 在坐标系中的位置如图所示，则当四边形a=pabq 的周长最小时，【板块二】线段差最大16. （2009 四川眉山）如图，已知直线 y

13、= x +1 与 y 轴交于点 a，与 x 轴交于点 d ，抛物线2y =12x2+bx +c与直线交于 a、e 两点，与 x 轴交于 b、c 两点，且 b 点坐标为 (1，0)(3)在抛物线的对称轴上找一点 m，使 ma -mc 的值最大，求出点 m 的坐标大角夹半角模型原题剖析：如图，已知在正方形 abcd 中，e、f 分别是 bc、cd 上的点，若有eaf=45，求证：be+df=ef模型提取：题型对比：1.（2008 天津）已知 abc 中，acb =90a，pca =cbd，有一个圆心角为45，半径的长等于 ca 的扇形 cef 绕点 c 旋转，且直线 ce，cf 分别与直线 ab

14、交于点 m，nb pecb c22ff文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.（）当扇形cef绕点 c 在acb的内部旋转时，如图，求证：mn2=am2+bn2 ；c（）当扇形 cef 绕点 c 旋转至图的位置时，关系式cmn =am +bn2 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 实战训练eaem amn图nbb2. （2010 重庆改编）边长为 2 的等边abc 的两边 ab、图ac 上有两点 m、n，d 为abc 外一点，且mdn=60， bdc=120，bd=dc. 探究：当 m、n 分别在 ab、ac 上 时，amn 的周长是否为定值？典型特例：

15、3.如图，点 c、d 在线段 ab 上，pcd 是等边三角形，apb=120，cd=3，设 ac=x、bd=y，求 y 关于 x 的表达式4.如图，在abc 中，ab=ac=2，bac=20动点 p、q 分别在直线 bc 上运动，且始终保持 paq=100 设 bp=x ，cq=y ， 求 y 与 x 之间的函数关系式.5.如图，将两个全等的等腰直角三角形 abc 与 afg 摆放在一起，a 为公共端点，bac=agf=90，它们的斜边长为 2，若abc 固定不动， afg 绕点 a 旋转，af、ag 与边 bc 的交点分别为 d、 e（d、e 不与 b、c 重合），设 be=m，cd=n.（

16、1） 请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选 取其中一组进行证明；（2） 求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量的取值 范围6. 如图，在abc 中，已知bac=45，adbc 于 d，bd=2，移 动且 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.dc=3，求abc 的面积四点共圆【板块一】对角互补1.2.如图， abc 中，adbc 于 d，dnac 于 n，dmab 于 m，求证： anm= b 如图，在四边形 abcd 中，已知 bad=60， abc=90， bcd=120 ，对角线 ac，bd 交于点 s，且 ds=2sb ，p 为 ac 的中点求证：（1） pbd=30 ；（2）ad=dc【板块二】同线段同侧所张的角相等3.如图，在四边形 abcd 中，bcab，a 在 bc 的垂直平分线上，d 在 ac 的垂直平分线 上，且 ca