“设而不求”的未知数

1、“设而不求”的未知数 让我们先看一道简单的数学题有志者事竟成三角形的面积解 设这个三角形的斜边长度为 c，因为斜边上的中线长是 1，所以斜边长 c=2再 设两条直角边的长度是 a，b，面积是 s，那么a +b2+2ab=6 把 ， 代 入 式 得 4+4s=6 ，2在这个题目中，只要求出未知数 s 的值，而我们却设了三个未知数：a，b，s， 并且在解题过程中，我们也根本没求 a，b 的值但是由于增设了 a，b 后，给我 们利用等量关系列方程及方程组求 s 的值，带来了很大的便利，像这种未知数(如 a，b)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解

2、决问题增设的一些参 数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用例 2 若求 x+y+z 的值分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比 解 令则有 x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，所以 x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，所以 x+y+z=0说明 本例中所设的 k，就是“设而不求”的未知数例 3 已知 p，q，r 都是 5 的倍数，rqp，且 r=p+10，试求有志者事竟成解 不妨设 p=5k ，q=5k ，r=5k ，由题意可知，k ，k ，k 都是整数因为 rq1 2 3p，所以 k k k 又因为

3、 r=p+10，1 2 3321所以 5k =5k +10，k =k +2， 所以 k +2k k ，所以 k =k +1 313112121将，代入所求的代数式得说明 本题中 k ，k ，k 均是“设而不求”的未知数1 2 3a1，并且设分子：n-13=ak1，分母：5n+6=ak2其中 k ，k 为自然数由得 n=13+ak ，将之代入得 5(13+ak )+6=ak ，12112即 71+5ak =ak ，1 2所以 a(k -5k )=712 1由于 71 是质数，且 a1，所以 a71，所以 n=k 71+13故 n 最小为 841例 5 甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余

4、下一人的年龄分别为 29， 23，21 和 17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解 设四个人的年龄分别记为 a，b，c，d，根据题意有有志者事竟成由上述四式可知比较，知，d 最大，c 最小，所以-得所以 d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为 18说明 此题不必求出 a，b，c，d 的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁， 作差即可求解例 6 设有 n 个数 x ，x ，x ，它们的值只能是 0，1，2 三个数中的一个，12n如果记试用 f 和 f 表示12解 设在 x ，x ，x 这几个数中取值为 0 的有 s 个，取值为 1 的有 t 个，取值 1 2 n为 2 的

5、有 r 个，则 s+t+r=n，0tn，0sn，0rn，由此得f =t+2r，f =t+4r所以 =(2 )f -(2 -2)f 1 2 k-1 2 k-1 1说明 本题借助于 s，t，r 找到了 f 与 f ，f 的关系表达式k12整除根据一个数能被 9 整除的特征有 6+2+4+2+7=9m(m 为自然数)，即 +3=9m1(m1 为自然数)又由于 09，09，则有 3+321，从而有+=6 或+=15 同理，按照一个数被 11 整除的特征有-=-2 或-=9 与相结合，并考虑 09，09，故只有=2，=4有志者事竟成所以原自然数为 6 224 427例 8 我手中的卡片上写有一个三位数，

6、并且个位数不为零，现将个位与百位数 字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字 对调后的三位数相加，最后的和是多少？=a100+b10+c-(c100+b10+a) =99a-99c=100a-100c-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+910+(10-a+c)因 k 是三位数，所以 2a-c8， 1a-c-17所以 210-a+c8 差对调后为 k=(10-a+c)100+910+(a-c-1)，所以 k+k=100(a-c-1)+910+(10-a+c)+(10-a+c)100+910+(a-c-1) =1089说明 本例中 a，b，c 作为参

7、数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它 们的值这正是“设而不求”的未知数的典型例子在列方程解应用题中，更是经常用到增设参数的方法，下面再举几个例题例 9 从两个重量分别为 12 千克(kg)和 8 千克，且含铜的百分数不同的合金上切 下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个 合金含铜的百分数相等求所切下的合金的重量是多少千克？分析 由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含 铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已 知，为列方程创造条件 解法 1 设所切下的合金的重量为 x 千克，重 12 千克的合金的含铜

8、百分数为 p， 重 8 千克的合金的含铜百分数为 q(pq)，于是有整理得 5(q-p)x=24(q-p)因为 pq，所以 q-p0，因此 x=4.8，即所切下的合金重 4.8 千克解法 2 设从重 12 千克的合金上切下的 x 千克中含铜 m 千克，从重 8 千克的合 金上切下的 x 千克中含铜 n 千克(mn)，则这两个合金含整理得5x(n-m)=24(n-m)有志者事竟成因为 mn，所以 n-m0，因此 x=4.8，即所切下的合金重 4.8 千克说明 在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未 知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关例 10 某队伍长 1998 米(m)，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立 即返回，当这个战士回到排尾时，全队已前进 1998 米，如果队伍和这个战士行 进的速度都不改变，求这个战士走过的路程解法 1 设这个战士走过的路程为 s 米，所需要的时间为 t 小时(h)，消去参数 t 得解之得解法 2 设这个战士的行进速度为 v1 米/小时，队伍行进的速度为有志者事竟成因此所以这个战士所走距离为说明 在同一个问题中，由于考虑问题的角度不同，所以增设的参数也会有所不 同(如上例中的两种解法)练习九字)，又 n 是 4的倍数，且 n 被 11 除余 5，那么 x+y 等