立体图形的涂色问题

1、立体图形的涂色问题例 1一个表面都涂满红色的立方体，在它的每个面上等距离地切两刀，可 得到 27 个小立方体，而且切面都是白色，这 27 个小立方体中，一面是红色的有多 少个？二面是红色的有多少个？三面是红色的有多少个？各面都没有红色的有多少 个？解析：仔细观察（1） 一面涂有红色的小方块位于每个面的中心。有 6 个（2） 二面涂有红色的小方块位于每条棱的中间。有 12 个（3） 三面涂有红色的小方块位于每个角上，永远都是 8 个。（4） 各面没有红色的小方块位于立方体的内部，用总的小方块的数量减去一 面、二面、三面涂红的块数，就可以了。有 1 个进一步归纳：对于一个 nnn 的正方体，其涂色

2、情况如下 ：（1） 三面涂色的：8 个（2） 二面涂色的：（n-2）12 个（3） 一面涂色的：（n-2）（n-2）6 个（4）各面没涂色的：总的个数减去上面三类的总个数或（n-2）（n-2）（n-2）个例 2有个长方体，长、宽、高分别是 3、5、7（单位：厘米），分别将其表 面涂上红色，然后将它们分割成棱长为 1 厘米的小立方体，一面是红色的有多少 个？二面是红色的有多少个？三面是红色的有多少个？各面都没有红色的有多少 个？解析：（1）三面涂色的在角上，有 8 个（2） 二面涂色的在每条棱中间，长上面有 14=4 个，宽上面有 34=12 个，高上面有 54=20 个，总共 36 个（3）

3、一面涂色的在每个面的中间，上、下面上有 132=6 个，左、右面上 有 352=30 个，前、后面上有 152=10 个，总共 46 个（4） 各面都没涂色的有 357-8-36-46=15 个进一步归纳：对于一个 abc 的长方体（a、b、c 表示长、宽、高），其 涂色情况如下：（1） 三面涂色的：8 个（2） 二面涂色的：（a-2）+（b-2）+（c-2）4 个即（a+b+c-6）4 个（3） 一面涂色的：（a-2）（b-2）+（a-2）（c-2）+（b-2）（c- 2）2 个（4） 各面没涂色的：总的个数减去上面三类的总个数或（a-2）（b-2）（c-2）个练习：1 一个棱长为 3 厘米

4、，在其表面涂满红漆，然后切成棱长都是 1 分米的小正 方体，问三面、二面、一面涂有红漆各有多少个？六面都没红色有多少个？（答 案：8、12、6、1）2 一个长方体木块，长、宽、高分别是 5、3、4 分米，在它六个面上漆满油 漆，然后踞成棱长都是 1 分米的正方体木块。问这些小正方体木块中，三面、二 面、一面有油漆的各多少个？各面都没有油漆的有多少个？（答案：8、24、22、6 个）3 把若干个相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂 上颜色，已知两面被涂上颜色的有 36 个，那么这些小正方体一共有多少个？（答 案：125 个）4 把一长方体表面涂红，分成若干相同的小长方体，其中两面为红的小长方 体恰好 12 块，至少要把这长方体分成多少个小长方体？（答案：20 个）5 有三个长、宽、高分别为 7、9、11；5、7、9；3、5、7（单位：厘米） 的长方体，分别将其表面涂上红色，然后将它们分割成棱长为 1 厘米的小立方体， 其中至少一面涂有红色的小立方体有多少个？（答案：678 个）6 三个完全一样的长方体，棱长总和是 288 厘米，每个长方体相交于一个顶 点的三条棱长恰好是三个连续自然数。给这三个长方体表面涂色：一个