应力和应变分析

1、第八章应力和应变分析 强度理论8.1何为单向应力状态和为二向应力状态？圆轴受扭时，轴表面各点处于何种应力状态？梁受横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各点处于何种应力状态？解：三个主应力中只有一个不等于零的应力状态称为单向应力状态；三个主应力中有两个不等于零的应力状态称为二向应力状态。圆轴受扭时，轴表面各点处于二 向应力状态；梁受横力弯曲时，梁顶、梁底处于单向应力状态，其它各点处于二向应力状态。8.2构件如图所示。（1)确定危险的位置。（2）用单元体表示危险点的应力状态。m(c)(b)P(a)(b)(c)(d)题8.2图危险点为任一横截面上的任一点。（不计自重量） 危险点在3M与2M间任一截面的边缘上

2、任一点。 危险点在如图示 A、B C三点处。危险点为任一横截面上的外边缘上任一点。单元体应力状态如图。(b)Zjr1/n (c)- A8.3在图示各单元体中,MPa试用解析法和图解法求斜截面70(b)a *70300 b-Z1(c)- Cab上的应力.应力的单位50(d)100 +bf(1)解析法：z a = (70-70)/2+ (70+70)cos600/2 = 35 MN/m 2n a = (70+70) sin60 0/2 = 60.6 MN/m 2解:图解法：按比例尺从图中量出，Z a(b)解：(1)解析法:35 MN/m2 , n a = 61MN/m22z a = (70+70)

3、/2+ (7070)COS 600/2 = 70 MN/mn a = (70 -J70)sin60 0/2 = 0(2)图解法：从图中看出，应力圆退缩成一点，所以任意斜面上的应力皆为2Z a = 70MN/m , n a = 0即任意斜面皆为主平面(c)解：(1)解析法：Z a= 100+502+ 100-502cos1200 = 75-12.5=62.5MN/mn 匸曾 sin120= 216MN/m2(2)图解法：从图中量出，z a= 62MN/m n a=22MN/m(d)解：(1)解析法:a= -50+100+-50-100 -cos3000 = -12.5MN/m2 2n 尸严 si

4、n300 0 十 65MN/m8.4已知应力状态如图所示，图中应力单位皆为 MPa试用解析法及图解法求：（1）主应力 的大小，主平面的位置；（2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。20（a）* 厂 I50(e)20题8.4图(T 1T x+ T y(T 32 /50+57-72 + 20 2MN/rma 0= - 1920x+ 20 2=32 MN/吊2 a 0= -40 0a 0= - 202n ma= 32MN/m（2）图解法：按比例尺，从图中量得，z 1= 57MN/m,2z 3= -7MN/m(f)解：(1)解析法:在图示应力状态中,MPa。8.5试用解析法和图解

5、法求出指定斜截面上的应力(应力单位(c)解：(1)解析法：6040(c)图解法：从图中量得,+cos900-40sin90 0 = -10MN/nf(2)2z a = - 10MN/m2n a = -30MN/m0 - 6022(T at = 10 mm，内受蒸汽压力 p = 3MPa。试求: n max；( 2)斜截面上的正应力及最大剪应力。| 0 + 608.7z 1、锅炉直径D = 1 m , Z 2和最大剪应力(1)壁内主应力壁厚题8.7图解：Z i = pD/(2t) = (3 1)/( 2 1 放 10-2) = 150 MN/m2Z 2 = pD/(4t) = (3 1/ 4 W

6、10-2) = 75 MN/m 2Z 3 = 0 max = ( Z i - Z 3)/2 = 75MN/m2斜截面ab上的正应力及剪应力分别为Z :. = (150+75) /2 + (150-75) cos(-60 )/2=131MN/m2 ： - = (150- 75) sin(-60 )/2 = -321MN/m28.8已知矩形截面梁某截面上的弯矩及剪力分别为M = 10kN.m, Q = 120kN,试绘出截面上1、2、3、4各点应力状态的单元体，并求其主应力。题8.8图T(b)解：1、2、3和4点的应力状态如图8.8(b)图所示。各点的应力状态如下：T =W=T 1 =T 2 =:

7、0,点1：点3:101002 -6(1/6 ) 5 102 1062 o- 3 = (T = - 120 MN/m=-120 MN/m 2|31 QL3X1120 x 102k =2bh2-45 x10 x10T 1=36MN/mT 2= 0(T 3=36 MN/m2My 10103 ( 10/4 ) 10- 2点2:点3:36MN/m点 3:；点3:33I (5 10 )/12 1 10-=60 10 N/m2= 60 MN/m2T =QSI120 沆 10 3 汇 46.8 沆 10 - 6 I ( 5 汉 10 3 ) /12 ” 10 - 8汇5汇 10 - 2=27 1 06N/nf

8、= 36 MN/m2其中:主应力：0-151022Uy ) = iF(4-2.522h2)10 - 6= 46.84602一2+ 27210 m2 2=70.4 MN/m2-10.4 MN/m0-2 = 0点4:点3:2t 1 = t = 120 MN/m,CT2 =(T 3 = 08.9 薄壁圆筒扭转-拉伸试验的示意图如图所示。若 P = 20 Kn , T = 600 N.m，且 d = 50 mm , S = 2 mm试求：（1） A点在指定斜截面上的应力；（2） A点主应力 的大小及方向（用单元体表示）。0解：圆筒的平均半径为轴向正应力C为（T =_2-4r = (2.5+0.1) 1

9、0 = 2.6 10 m320 x103-42 n 2.6 0.2 102=61.2MN/m2M22nrS6002 -62n2.6 X0.2 X10=70.6 106 N/m2 = 70.6MN/m2在指定斜面上，正应力和剪应力是_ 61.2(T a =2+ 61.2cos2402-(-70.6)si n240=-45.8MN/m61.2si n2402+(-70.6)cos240 = 8.79MN/m2A点主应力大小和方向为(T1=61.2CT 32tg2 a 0 =-8.11图示简支梁为36a工字钢，P = 140 kN，匸4m。A点所在截面在集中力P的 左侧，且无限接近P力作用的截面。试

10、求：（1） A点在指定斜截面上的应力；（2） A点的主应力及主平作用的截面（用单元体表示）。解：A点所在指定斜截面的弯矩和剪力为M= PL/4 = 140 4/4 = 140 KN m, Q = P/2 = 70 kN(T(ThxTT图 8.11a图 8.11bA点的正应力和剪应力在指定斜面上的正应力和剪应力ao0.5162050CT 3CT 1CT 1题8.11图013 6A点主应力及主平面的方位(图 8.11b )(图 8.11a )(b)解CT aT a10-6 = 79.9 KN / m252. 2 MN/m -42.2 MN/m2+ 40284. 9 MN/m -5 MN/m2根据3

11、6a工字钢的截面尺寸，求：A点以下部分截面对中性轴的静矩是S = ( 13.61.5817.2 + 17.4212.7 )10-6 = 464 10-6 m3Z =熨Ia 0 = -13 6MPa。+(20.6) 230-202兰222 汉 20.6_79.9=8.19试求图示各应力状态的主应力及最大剪应力(应力单位为2(79.9)30+20 ) 22Z a = 79.9/2 + 79.9cos1200/2 -20.6sin120 0 = 2.13n*N=79.9 (sin1200 + 20.6cos120 0 )/2 = 24.3 MN/m 23 1214010910-8157601070

12、x 103 x 464 x 10-662c 8:2乂 10-6 = 20.6 KN / m2 15760 0 疋 1 汇 102题8.19b图P21F1/2i1I h/4.179.9 丄= + ”CT 32 1tg2 a oZ 2= 50 MN / m2, n 2 = ( 52.2+42.2 )/2 = 47.2MN/ m8.26在一体积较大的钢块上开一个贯穿的槽，其宽度和深度都是10 mm在槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，它的尺寸是10X10X10 mm当铝块受到压力P=6kN的作用时，假设钢块不变形。铝的弹性模量E = 70 Gpa ,卩=0.33。试求铝块的三个主应力及相应的变形。解：求

13、铝块的主应力Z 1 = 060001 1 10- 4=_ 6010 6N/ m2 = - 60 MN/ m2由 2 = Z 2 /E - K Z 3 + Z 1 )/E = 0得 z 2 = kZ 3 = 0.33 ( - 60 ) =- 19.8MN/m 由主应力求得主应变 1和& 2 1 = z 1 /E - KE( z 2 + z 3 ) = 0.376 10- 3 3 = z 3 /E -KE( Z 1 + Z 2 ) = 0.764 10- 3铝块在z 1、Z 2和z 3方向的变形分别是：题8.26图_3_3/11 = 3.76 10 mm , /12 = 0 , /13 = - 7

14、.64 10 mm,zAC的长度00 (T 30A30(T题（8.27 ）图8.27从钢构件内某一点的周围取出一单元体如图所示。根据理论计算已经求得 =30 MPa, n = 15 MPa。材料的 E = 200 GPa ,卩=0.30。试求对角线 改变 1。解：沿对角线AC取单元体如图所示。求出正应力Z 300和Z 1200 z 300 = 30/2 + 30cos600/2 + 15sin60 0 = 35.5 MN/rhZ 1200 = 30/2 +30cos2400/2 + 15sin240 0 = - 5.5MN/rm由虎克定律得 300 =( Z 300- Z 1200 ) /E = 186 10-0_6_3/ Lac = Lac 30 = 50 186 10 = 9.30 10 mm8.36 炮筒横截面如图所示。在危险点处，Z t = 550 MPa。 Z n=