高中物理变力做功问题

1、()高中物理变力做功问题摘要：在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如用动能定理、功率的表达式w=pt、功能关系、平均值、 f -s 图像、微元累积法、转换参考系等来求变力做功。关键词：功 変力 动能定理 功率 功能关系 平均值 图像 微元累积法 转换参考系对于功的定义式 wfs cosa，其中的 f 是恒力，适用于求恒力做功，其中的 s 是力 f 的作用点发生的位移， a 是力 f 与位移 s 的夹角。在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。求变力做功的方法很多，比如用动能定理、

2、功率的表达式w=pt、功能关系、平均值、 f -s 图像、微元累积法、转换参考系等来求变力做功。一、运用功的公式求变力做功求某个过程中的変力做功，可以通过等效法把求该変力做功转换成求与该変力做功相同的恒力的功，此时可用功定义式 wfs cosa求恒力的功，从而可知该変力的功。等效转换的关键是分析清楚该変力做功到底与哪个恒力的功是相同的。例 1：人在 a 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量 m=50kg 的物体，如图 1 所示，开始绳与水平方向夹角为 60 o，当人匀速提起重物由 a 点沿水平方向运动s =2 m而到达 b 点，此时绳与水平方向成30o角，求人对绳的拉力做了多少功？【解析】人对绳的拉力

3、大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移 s 方向一直水平，所以无法利用 wfs cosa直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉 力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力，可利用 w fs cos a求了！g60o30o设滑轮距地面的高度为 h，则：h cot 30o-cot 60 o=sa图 1b人由 a 走到 b 的过程中，重物上升的高度 dh 等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：( ) ( )对绳子做的功为： w =mg dh=mgs 3 -1 =1000 3 -1 j 732 jdh=h h-sin 30 o sin 60o，人二、运

4、用动能定理求变力做功动能定理的表述：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的 改变。对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求，该过程其它力做功可求，那么该过程中変力做功可 求。运用动能定理求变力做功关键是了解哪些外力做功以及确定物体运动的初动能和末动能。例 2：如图 2 所示，原来质量为 m 的小球用长 l 的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力 f 将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成 角的位置的过程中，拉力 f 做功为（ ）a.fl cos qb.fl sin qc.fl(1-cosq)d.mgl (1-cosq)【解析】很多同学会错选 b，原因是没有分

5、析运动过程，对flcos 来求功的适用图 2范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是 缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此 f 的大小不断变大，f 做的功是变力功，小球上升过程 中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解：所以w =-w =mgl (1-cos f gq)，故 d 正确。三、运用 w =pt 求变力做功涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率 p 恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过w=pt求変力做功。m/st例 3：质量为 5000k

6、g 的汽车，在平直公路上以 60kw 的恒定功率从静止开始启动，速度达到 24 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的 总位移为 1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间.【解析】牵引力是変力，该过程中保持功率 p 恒定，牵引力的功可以通过w =pt来求。汽车加速运动的时间为 ，由动能定理得：1pt - f s=0 1 f汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则p =fv =f v m fm即f =fpvm可求得汽车加速运动的时间为t =1f sfps 1200= = s =50 s v 24m关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止，由动量定

7、理得：可求得汽车匀减速运动的时间为t =2mv mv 2 5000 242 m = m =f p 60 1000 fs =48s则汽车运动的时间为：tt t 50s48s98s1 2四、运用功能关系求变力做功做功是能量转化的原因，做功是能量转化的量度，我们可以根据能量转化的情况来判断做功的情况，则给求変力做功提供了一条简便的途径。运用功能关系求変力做功，关键是分清研究过程中有多少种形式的能转化，即有什么能 增加或减少，有多少个力做了功，列出这些量之间的关系。例 4：一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭 的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未 触及井

8、底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。如图 3 所 示，现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力 f，使活塞缓慢向上移 动。已知圆管半径 r=，井的半径 r=2r，水的密度=10 3kg/m3 ，大气压.p =105pa ，求活塞上升 h=的过程中拉力所做的功（井和管在水面上及水 0面下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度f2g=10m/s）。【解析】 大气压 p 能够支撑的水柱高度为0h =0p0rg=10 m从开始提升到活塞至管内外水面高度差为 10m 的过程中，活塞始终与水面图 3接触，设活塞上升h1，管外液面下降h2，则有：h =h +h 0 1212 2因液

9、体体积不变，有：h pr2 1 2 = =h pr2 -pr2 3 1得h =134h =7.5m h 0此过程拉力为変力，根据功能关系，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量等于除重力以外其它力做功。根 据题意，则拉力做功等于水的重力势能的增量，即：活塞从 h 上升到 h 的过程中，液面不变，拉力 f 是恒力， 14jw =w +w =1.65 10所求拉力所做的总功为：1 2f =pr2p0，则做功为：五、运用 f-s 图像中的面积求变力做功某些求変力做功的问题，如果能够画出変力 f 与位移 s 的图像，则 f-s 图像中与 s 轴所围的面积表示该过 程中変力 f 做的功。运用 f-s 图像

10、中的面积求变力做功的关键是先表示出変力 f 与位移 s 的函数关系，再在画 出 f-s 图像。例 5：用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次 击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板 1cm，则第二f次击钉子进入木板的深度为多少？kx2【解析】 铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，kx1其大小与深度成正比，f=kx，以 f 为纵坐标，f 方向上的位移 x 为横坐标，作 出 fx 图象，如图 4，函数线与 x 轴所夹阴影部分面积的值等于 f 对铁钉做的s1s2功.由于两次做功相等，故有：s =s (面积) 即：1 21 1kx 2=

11、k(x +x )(x x )2 1 2 1o图 4x1x2x得x = 2 cm2所以第二次击钉子进入木板的深度为： 六、运用平均值求变力做功求変力做功可通过w=f s求，但只有在変力 f 与位移 s 成正比例、或一次函数关系时，即成线性关系时，f =f +f1 22才成立。用平均值求变力做功的关键是先判断変力 f 与位移 s 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力 f 和末状态的力 f 。1 2例 6：如图 5 所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块 的边长为 h，其密度为水的密度的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水 面高为 2h，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水

12、不会溢出，求压力所做的 功。【解析】 木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等 于增加的浮力，压力是変力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本 题的解法很多，功能关系、 f-s 图像法、平均值法等均可求変力做功，现用平均 值法求。图 5木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降x1，水面上升x2根据水的体积不变，则：2112h2x =h12x 得 x =x 2 1 2h所以当木块下降 时，木块恰好完全浸没在水中，4所以h0 +rgh2h f +f h h 1w =f = 1 2 = = rgh 4 4 2 4 2 4 8木块恰好完全浸没在水中经3h 5 h dh =2

13、 h - = h 到容器底部，压力为恒力 f =rgh 24 4 2所以w =fdh =rgh 22h 5 5 h = rgh2 4 84故压力所做的功为：w3=w +w = r4gh4七、运用微元法求变力做功求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒 力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。由此可知，求摩擦力和阻力做功，我 们可以用力乘以路程来计算。用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处 理，微元累积法对数学知识的要求比较高。例 7 ：如图 6 所示，质量为 m 的小车以恒定速率 v 沿半

14、径为 r 的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的摩擦因数为 m ，试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，克服摩擦力做的功。【解析】小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是変力，故而摩擦力为一変力，本题可以用微元法来求。如图 7，将小车运动的半个圆周均匀细分成 n（ n ）等分，在每段长prn的圆弧图 6上运动时，可认为轨道对小车的支持力ni不变、因而小车所受的摩擦力fi不变，摩擦力的功可以用w =f s计算。当小车运动到如图所示的 a 处圆弧时，有y则f =m(m iav 2r+mg sin q).b当小车运动到如图所示的与 a 关于 x 轴对称的 b 处圆

15、弧时，有nibmg x则fibv 2=m(m -mg sin rq)oniaa由此，小车关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为：mg于是可知，小车沿半圆周从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦 的总功为：八、转换参考系求变力做功图 7力做在有些物理问题中，要用功能原理，其中求做功时要涉及到变力做功，但若通过转换参照系，可 化求变力做功为恒力做功，而大大简化解题过程。例 8 ：宇宙中某一惯性参照系中，有两个质点 a 和 b，质量分别为 m 和 m，相距 l，开始时 a 静止，b 具有 a、b 连线延伸方向的初速度 v，由于受外力 f 的作用，b 做匀速运动。（1） 试求 a、b 间距离最大时的 f 值；（2） 试求从开始到 a、b 最远时力 f 做的功；m【解析】此题中 a 在万有引力作用下做变加速运动，要用功能原理来解。若用微元法求变力做功，会因数学知识的限制而不易找出 f 作用的位移和 a、b 间的距离的对应关系而很难求解。而本题可通 过变换参照系，在同样满足机械能守恒的条件下，避开求变力做功，从而简化了解题过程。将原来的惯性参照系记为 s，相对 b 静止的参照系记为 s，在 s