高三立体几何重点专题复习教案(空间角)

1、高三立体几何重点专题复习教案 空间的角教学目标:掌握异面直线所成角的概念和异面直线所成角的求法;2. 掌握直线与平面所成角的概念,以及直线与平面所成角的求法;3. 理角二面角及平面角的概念掌握求二面角大小的方法.4. 培养学生将空间问题转化为平面问题的化归能力.教学过程:一、 提问检查基础知识1、 两条异面直线所成角的定义？范围是多少？2、 直线与平面所成角的定义？直线与平面所成角的范围是什么？怎样求直线与平面所成的角？3、 二面角的定义？怎样定义二面角的平面角？二面角的平面角的范围？怎样确定二面角的平面角？ 二、基本技能训练讲评:在一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则

2、这两个二面角的大小关系是( ) (a)相等 (b)互补(c) 相等或互补 (d)不能确定讲评:复习二面角的有关概念,选 d三、基本方法课堂演练：1如图，在正方体 ac 中，求面对角线 a b 与对角面 bb d d1 1 1 1所成的角d1oc1a1b1dcab解：连结 ac 与 b d 交于 o ，连结 ob ， 1 1 1 1dd ac1 1 1，b d ac1 1 1 1，ao 1平面bb d d1 1，a bo1是a b1与对角面bb d d1 1所成的角，在rt da bo1中，ao =112a b1，a bo =30 1说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后

3、求斜线与其射影的夹角 另外，在条件允许的情况下，用公式cosq=cosq cos1q2求线面角显得更加方便2如图， ab 平面 bcd ， bd cd ，若 ab =bc =2 bd ，求二面角 b -ac -d ae的正弦值bfcd200分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过 d 作 de ac 于 e ，过 e 作 ef ac 交 bc 于 f ，连结 df ，则 c 垂直于平面 def ， fed 为二面角 b -ac -d ac df ，的平面角，又ab 平面bcd，ab df，ab cd，df 平面abc，df ef，df bc，又ab cd，bd cd，cd 平面

4、abd，cd ad，设 bd =a ，则 ab =bc =2a，在 rt dbcd 中， sdbcd=1 1bc df = bd cd ， df = 2 232a，同理，rt dacd中，15de = a2 2， sin fed =dfde3a= =15a2 2105，所以，二面角b -ac -d的正弦值为105四、综合能力提升1 、 已 知 四 棱 锥 p abcd 的 底 面 为 直 角 梯 形 ， ab dc ， dab=90 ,pa 底 面 abcd ， 且1pa=ad=dc= ab=1，m 是 pb 的中点。21、 证明：面 pad面 pcd；1、 求 ac 与 pb 所成的角余弦值

5、；2、 求面 amc 与面 bmc 所成二面角的余弦值。pmeanbdc分析：本小题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角的有关知识与思维能力及空间想象能力。 （1） 证明：pa面 abcd,cdad,由三垂线定理得：cdpd，因而，cd 与面 pad 内 内条相交直线 ad、pd 都垂直，cd面 pad，又 cd平面 pcd，面 pad面 pcd。（2）解：过点 b 作 beca，且 be=ca，则pbe 是 ac 与 pb 所成的角连结 ae，可知 ac=cb=be=ae= 2 ，又 ab=2，所以四边形 acbe 为正方形，由 pa面 abcd 得：peb=90 ,在 peb 中，be=

6、be 10cos pbe =pb 52，pb=5，ac 与 pb 所成的余弦值61112(3)解：作 ancm，垂足为 n，连结 bn，在 pab 中，am=mb，又 ac=cb， amcbmc. bncm,故anb 为所求二面角的平面角。 cbac，由三垂线定理，得 cbpc，在 rt pcb 中， cm=mb ，所以 cm=am.在等腰三角形 amc 中,an mc =cm2ac-( )22acan =32 2=5 5ab=2, cos anb =an 2 +bn 2 -ab 2 2=-2 an bn 32故所求的二面角余弦值为 说明:本题也可通过建立坐标系采用向量方法求解.7. 如图所示

7、,正三角形 abc 的边长为 3，过其中心 g 作 bc 边的平行线,分别交 abac 于 b ,c , 将c1 1 1 1折起到b c 的位置.使点 a 在平面 bb c c 上的射影恰是线段 bc 的中点 m,求(1)二面角 a b c m 1 1 1 1 1 1 1 1 1的大小。（2）异面直线 a b 与 cc 所成角的余弦值大小。1 1 1aaccbgpmb7. 解 (1) 如图所示，连结 am ， a g .1g 是正三角形 abc 的中心，且 m 为 bc 的中点 a 、 g 、 m 三点共线， am bc b c bc1 1 b c am 与 g ，即 gm b c ， 1 1

8、 1ga b c a gm 是二面角1 1 1 1a - b c - m 的平面角1 1 1点 a 在平面 bb c c 上的射影1 1 1为 m ， a m mg ， a mg = 90 1 1在 rt da gm 中，由 a g = ag =1 12 gm 得 a gm = 60 ，即二面角1a - b c - m 的大 小是 60 1 1 1(2) 过 b 做 c c 的平行线交 bc 与 p ，1 1则 a b p 等于异面直线 a b 与 cc 所成的角1 1 1 1 1由 pb c c 是平行四边形得1 1b bp = c c = 1 = bp ，1 11pm = bm - bp

9、= ， a b = ab = 21 1 1a m 面 bb c c 于 m ，1 1 1 a m bc ， a mp = 90 1 1在 rt da gm 中，15210 0a m =ag sin 60= 1 13 3 3=2 2在rt da mp中，1a p 2 =a m 2 +pm 1 123 1 5 =( ) 2 +( ) 2 =2 2 2在da b p中，由余弦定理得 1 1=cos a b p = 1 1522+12 -= 2 21 8a b 2 +b p 2 -a p 1 1 1 12 ab bp 1 1 12 a b 与cc 所成角的大小为arccos 1 1 158五.课堂小结

10、:（1） 本节我们复习了用几何方法求异面直线所成的角、直线与平面成角、二面角的平面角等几个概念，同 学们要注意这几个角的定义、范围等。（2） 在用几何方法求空间角时，要注意空间角转化为平面角求解这一转化思想。（1） 常用的解题步骤是：一作、二证、三计算学生作业1.一条直线和平面所成角为 ，那么 的取值范围是（ ）（a）（0,90） （b）0,90（c）0,180 （d）0,180答案：选 b2.从平面外一点 p 引与平面相交的直线，使 p 点与交点的距离等于 1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （a）0 或 1 （b）0 或无数条（c）1 或 2 （d）0 或 1 或无数条答案：选 d3、如图，在正方体 abcd-a b c d 中，e、f 分别为棱 ab、c d 的中点，则 a b 与截面 a ecf 所成角1 1 1 1 1 1 1 1 1的正弦值为（ ）（a）3 6 1 2 2（b） （c） （d） 3 3 3 3a1ddfb1cc1讲评:复习直线与平面所成角的求法.容易证得平面 a b ca ecf,即b a c 为所求.1 1 1 1 1在b c 中,容易求解.选 b