立体几何中探索性问题的研究

1、 立体几何中探索性问题的研究追根溯源高考中的立体几何探索性试题，我们一般可以采用综合推理的方法、分析法、 特殊化法和向量法来解决探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，这类试题的一般设问方式是“是 否存在？存在给出证明，不存在说明理由”解决这类试题，一般根据探索性问 题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得 到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设例题如图，在底面是菱形的四棱锥 pabcd 中，abc60，paaca，pbpd 2a，点 e 在 pd 上，且 peed21.(1) 证明：pa平面 abcd；(2) 求以 ac 为棱， eac 与 da

2、c 为面的二面角的大小；(3) 问：在棱 pc 上是否存在一点 f，使 bf平面 aec.证明你的结论审题方法f 是线段 pc 上的点，一般可设 pfpc，求出的值，点 p 是已知的，即可求出点 f.解题思路 (1)证明的是线面垂直，只要努力去找直线与平面内的两条相交直线 垂直即可；(2)按找二面角的方法进行；(3)通过建立恰当的直角坐标系，给出相 应点的坐标，利用坐标关系和向量的相等就可以解决了(1)证明因为底面 abcd 是菱形，abc60，所以 abadaca，在pab中，由 pa2 ab22a2pb2，知 paab，同理 paad，所以 pa平面 abcd.(2)解如图 1 所示，作

3、egpa 交 ad 于 g，由 pa平面 abcd，知 eg平面 abcd，作ghac 于 h，连接 eh，则 ehac，则ehg 为所求二面角的平面角，设为 .又 peed21，3 3所以ae0， a， a 2 1 3 3ac 3 1 bp 图 11 2 3 则 eg a，ag a，ghagsin 60 a，3 3 3eg 3从而 tan ，所以 30.gh 3(3)解以 a 为坐标原点，直线 ad，ap 分别为 y 轴，z 轴，过 a 点垂直平面 pad的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，如图 2 所示由题设条件，相关各点的坐 3 1 3 1标分别为 a(0， 0， 0)，b a， a，

4、0，c a， a，0 2 2 2 2 2 1 0，a)，e0， a， a. ，d(0，a， 0)，p(0， 图 2，ap(0， 0，a)， 3 1a， a，0 2 2，pc a， a，a， 2 2 3 1 a， a，a. 2 2 设 f 是棱 pc 上的点，且pfpc 3 1 a， a，a，其中 01，则 2 2 bfbppf 3 1 3 1 a， a，a a， a，a 2 2 2 2 12 3 a 1 212a 1 a 1 .令bf ac ae，得：1 2 3a 1 2 a 1 a 1133a ，2 11 2a a ， 2 1 3 2a ，21 1解得 ， ，2 1 23 1 1 3 ，即

5、时，bf ac ae，即 f 是 pc 的中点时，bf，ac，ae共面又 2 2 2 2 2bf 不在平面 aec 内，所以当 f 是棱 pc 的中点时，bf平面 aec.例题追根溯源如图，在底面是菱形的四棱锥 pabcd 中，abc60，paaca，pbpd 2 a，点 e 在 pd 上，且 peed1(n*)(1) 证明：pa平面 abcd；(2) 在棱 pc 上是否存在一点 f，使 bf平面 aec.证明你的结论审题方法f 是线段 pc 上的点，一般可设pftpc，求出 t 的值，点 p 是已知的，即可求出点 f.解题思路通过建立恰当的直角坐标系，给出相应点的坐标，令所求直线对应的向量用

6、该平面内的两个不共线向量表示即可(1)证明因为底面 abcd 是菱形， abc60，所以 abadaca，在pab中，由 pa2 ab22a2pb2，知 paab，同理 paad，所以 pa平面 abcd.(2)解方法一以 a 为坐标原点，直线 ad，ap 分别为 y 轴，z 轴，过 a 点垂直平面 pad 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，由题设条件，相关各点的坐标分 别为11 a， a 1 1 1ac 3 1 bp 3 1 11 3 1a(0， 0， 0)，b a， a，0 2 2 1 e0， a， a. 3 1，c a， a，0 2 2，d(0，a， 0)，p(0， 0，a)， 所以

7、ae0， ，ap(0， 0，a)， 3 1a， a，0 2 2，pc a， a，a， 2 2 3 1 a， a，a. 2 2 设 f 是棱 pc 上的点，且pftpc at， at，at，其中 0t1，则bfbp 2 2 pf 3 1 3 1 a， a，a at， at，at 2 2 2 2 3 a t1 212a 1t aat.令bf ac ae，得1 2 3a t1 3a ， 2 21 1 a t1 a a ， 2 2 1 1 2aat a ，1 2解得 t1， t1， (1)(1t)， 1 2即pf1pc，故bf可以由ac和ae线性表示，并且 bf 平面 aec，所以 bf平面 aec.审题方法解题思路作出适当的辅助线，利用中位线定理找到平行关系从 e 点出发，在线段 pe 上找到点 m，使得 e 成为 md 的中点，连接 oe，构造dbm 的中位线，下面只需作 mfec 交 pc 于点 f，这样点 f 就被找到了pe pc 方法二如图 3，在 pe 上取一点 m，使得 meed，过点 m 作 mfec 交 pc 于点 f，连接