定积分在实际问题中的应用

1、第二节 定积分在实际问题中的应用Application of Definite Integral教学目的 : 熟练掌握求解平面图形的面积方法 ,并能灵活、恰当地选择积分变量 ; 会求平行截容 教学重点 教学难点 教学方法 教学容 :面面积已知的立体的体积 ,并能求解旋转体的体积 ; 能够解决物理应用中变力作 功、液体压力方面的问题 .定积分几何应用 ; 定积分在物理中的应用 . 求解平面图形的面积 ; 求旋转体的体积 . 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积 精讲 :定积分的几何应用 ;多练 :用定积分求平面图形的面积和立体的体积、定积分的几何应用1. 平面图形的面积设函数 y f1(x)

2、,y f2(x)均在区间 a,b上连续 ,且 f1(x) f2(x),x a,b ,现计算 由 y f1(x),y f2(x),x a,x b所围成的平面图形的面积 .分析求解如下 :(1) 如图 6-3 所示,该图形对应变量 x的变化区间为 a,b ,且所求平面图形的面积 S对 区间 a,b 具有可加性 .(2) 在区间 a,b 任取一小区间 x,x dx ,其所对应的小曲边梯形的面积 ,可用以 dx为 底, f1(x) f2 ( x)为高的小矩形的面积 (图6-3) 中阴影部分的面积 )近似代替 .即面积微元为 dS f1(x) f2(x)dx(3) 所求图形的面积bS a f2(x) f

3、2(x)dx图 6-3【例 1】求曲线 y ex，直线 x 0,x 1及 y 0所围成的平面图形的面积 . 解 对应变量 x的变化区间为 0,1 ,在0,1任取一小区间 x,x dx ,其所对应小窄条 的面积用以 dx为底 ,以 f(x) g(x) ex 0 ex为高的矩形的面积近似代替 ,即面积 微元dS exdx 于是所求面积例2】解由求曲线 y2x积微元于是所求面积1Sexdx ex0x2及 y 2 x2 所围成的平面图形的面积 .10 e 12 求出交点坐标为 xdSdS( 1,1)和 (1,1),积分变量 x的变化区间为 1,1,面 f (x) g(x)dx(22(12x2xx2)d

4、x)dx112(11(10x2)dxx2 )dx12x3若平面图形是由连续曲线面积应如何表达呢 ?分析求解如下 :(1) 对应变量 y的变化区间为 c,d ,且所求面积(2) 在 y的变化区间 c, d 任取一小区间 y,y(y) 为长 , 以 dy 为宽的矩形面积近似代替x (y),x(y),(y) (y),y c,y d所围成的 ,其用以 (y)S对区间 c,d 具有可加性 . dy ,其所对应的小曲边梯形的面积可,即面积微元为于是所求面积例3】解由此时 (y)于是所求面积dS2y 2,直线 y (y) (y)dyd (y) (y)dy求曲线 x2y解得交点坐标为 (x222, (y) y

5、2 ,则面积微元 dS 2 所围成的平面图形的面积1,1)和(4,2) ,则对应变量 y的变化区间为 1,2 ,(y) (y)dy (y 2 y2 )dy2S dS121(y 2y2)dy122y2132y 13 y3922【例 4】 求由 y x2及 y x所围成的平面图形的面积 解 为了确定积分变量的变化围 , 首先求交点的坐标 2yx由 得交点 (0,0),(1,1) .yx方法一选 x 为积分变量 ,则对应 x的变化区间为 0,1 ,此时(xdS f(x)g(x)dxf (x) x, g(x) 2xx2 面积微元1S 0(xx2 )dx)dx12x213x3方法二选 y 为积分变量 ,

6、 对应 y 的变化区间为(y)dS (y) (y)dy ( y y)dy0,1 ,此时y, (y)y 则面积微元S 0( y23y2y)dy1212y22132 注 :由此例可知 ,积分变量的选取不是唯一的 解问题的难易程度也会不同 .16,但在有些问题中 , 积分变量选择的不同,求2y2 1 的面积 . b2解 椭圆关于 x轴, y轴均对称 ,故所求面积为第一象限部分的面积的4 倍,即2 x 例 5】 求椭圆 2 aS 4S1a4 ydx利用椭圆的参数方程acostbsint应用定积分的换元法 ,dxasintdt,且当 x0时,t 2,x a时,t 0,于0S 4 bsint( acost

7、)dt24ab 2sin2 tdt04ab 21 cos2t dt02t14ab sin2t2 ab2402. 空间立体的体积(1) 平行截面面积为已知的立体的体积设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知,则这个立体的体积可用微元法求解.不失一般性 ,不妨取定轴为 x轴,垂直于 x 轴的各个截面面积为关于x的连续函数S(x), x的变化区间为 a,b.该立体体积 V 对区间 a,b具有可加性 .取 x为积分变量 ,在a,b 任取一小区间 x,x dx ,其所对应的小薄片的体积用底面积为S(x) ,高为 dx的柱体的体积近似代替 ,即体积微元为dV S( x) dx 于是所求立体的体积bV S

8、(x)a【例 6】 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成角,计算这个平面截圆柱体所得契形体的体积 .2 2 2 解 取该平面与底面圆的交线为 x 轴建立直角坐标系 ,则底面圆的方程为 x2 y2 R2 , 半圆的方程即为 yR2 x2 .在 x 轴的变化区间 R,R 任取一点 x,过 x 作垂直于 x 轴的截面 ,截得一直角三角形 , 其 底长为 y,高度为 ytan ,故其面积1S(x) y y tan212y tan21 2 2(R2 x2 )tan2于是体积R S( x)dxR1 tanR21tan21 tan2(R2(R2xx2)dxx2)dx3x)2R3tan3(2

9、) 旋转体的体积 类型 1: 求由连续曲线 一周而成立体的体积 .过任意一点 x a,b 作 垂直于 S(x)f 2 ( x) ,于是所求旋转体的体积f(x),直线 x a,x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转轴的平面,截面是半径为 f(x) 的圆,其面积为ba S(x)dxb2f 2(x)dxa2【例 7】 求由 y x2及 x 1,y 积.解 积分变量 x 轴的变化区间为 0,1 ,此处 f (x)1 1 4 x dx 00 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成立体的体V 0 (x2)2dxx2 ,则体积15 0 5 【例8 】连接坐标原点 O及点 P(h,r)的直线 ,直线 x

10、h及 x轴围成一个直角三角形 求将它绕 x 轴旋转一周而成的圆锥体的体积 .解 积分变量 x 的变化区间为 0,h , 此处 yrf(x)为直线 OP的方程 y hr x,于是体2dx类型 2: 求由连续曲线 x2 r h22 r h2x2dx0302rh3(y),直线 y c,yd 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转(y) 的圆 , 其面积为一周而成的立体的体积 (c d).过任意一点 y c,d , 作垂直于 y 轴的平面 , 截面是半径为2S(y) 2( y) ,于是所求旋转体的体积dd 2V c S(y)dyc 2(y)dycc例9】求由 y x3,y 8及 y轴所围成的曲边梯形

11、绕 y轴旋转一周而成的立体的体积.解 积分变量 y的变化区间为 0,8 ,此处 x(y) 3 y .于是体积8 0 (3 y)dy8 960582 y3dy 0 3 y5353y32x例 10 】求椭圆 2a22 y b2 解 若椭圆绕 x 轴旋转 , 积分变量 y f(x) b a2 a1分别绕 x轴、 y 轴旋转而成椭球体的体积x 的变化区间为 a,a ,此处x2 , 于是体积b2aa2x2 dxb22 a b2 a2aa(a22x )dxa2xa 4 ab2a3若椭圆绕 y轴旋转 ,积分变量的变化区间为 b,b ,此处 x (y) a b2 y2 ,于 b是体积2 ab b2 y2 dy

12、2 a b22 a b2b2bb(b2b2yy2)dy133y3a2b二、定积分在物理中的应用1. 变力所做的功如果一个物体在恒力 F 的作用下 ,沿力 F 的方向移动距离 s,则力 F 对物体所做的功是 W F S.如果一个物体在变力 F ( x)的作用下作直线运动 ,不妨设其沿 Ox轴运动 ,那么当物体由 Ox轴上的点 a 移动到点 b时,变力 F ( x)对物体所做的功是多少 ?我们仍采用微元法 ,所做的功 W对区间 a,b 具有可加性 .设变力 F ( x)是连续变化的 ,分 割区间 a,b ,任取一小区间 x,x dx ,由F ( x)的连续性 ,物体在 dx这一小段路径上移动时F(

13、 x)的变化很小 ,可近似看作不变的 ,则变力 F(x) 在小段路径上所做的功可近似看作恒力 做功问题 ,于是得到功的微元为dW F(x)dx将微元从 a到b积分 ,得到整个区间上力所做的功bW F(x)dxa【例 11 】将弹簧一段固定 ,令一段连一个小球 ,放在光滑面上 ,点O为小球的平衡位置 . 若将小球从点 O拉到点 M(OM s) ,求克服弹性力所做的功 .,方向指向平衡位置解 由物理学知道 , 弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度成正比 O,即F kx其中 k 是比例常数 .dx ,则力 f 所做的功的微元 kxdx若把小球从点 O(x 0)拉到点 M(x s) ,克服弹性力 F ,

14、所用力 f 的大小与 F相等, 但方向相反 ,即 f kx ,它随小球位置 x 的变化而变化 .在 x 的变化区间 0,s 上任取一小段 x,xdW于是功k2skW kxdx s02【例12 】某空气压缩机 ,其活塞的面积为 S ,在等温压缩的过程中 ,活塞由 x1处压缩到 x2 处 ,求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功.解 由物理学知道 ,一定量的气体在等温条件下 , 压强 p 与体积 V 的乘积为常数 k , 即 pV k由已知 ,体积V 是活塞面积S与任一点位置 x的乘积 ,即V Sx,因此kkpV Sx于是气体作用于活塞上的力pS Skx S kxSx x活塞作用力 fk , 则力xf

15、 所做的功的微元dWkdxx于是所求功x2x1k dxxxx12 kln x12x25 米,底圆半径为 3 米,桶盛满了水 .试问要把桶的水全kln x【 例 13 】一圆柱形的贮水桶高为 部吸出需做多少功 .解 取深度 x为积分变量 ,则所求功 W对区间 0,5 具有可加性 .应用微元法 ,在0,5 上 任取一小区间 x,x dx ,则所对应的小薄层的质量32 dx 9 dx.将这一薄层水吸出桶外时 ,需提升的距离近似为 x ,因此需做功的近似值 ,即功的微元为dW x 9 dx 9 xdx于是所求功5W90xdx92 x5225202将339.8 103N /m3 ,得W225980063

16、.46 106 J22. 液体压力现有面积为 S的平板 ,水平置于密度为,深度为 h 的液体中 ,则平板一侧所受的压力F pS h S( p为水深为 h 处的压强值 )若将平板垂直放于该液体中 ,对应不同的液体深度 ,压强值也不同 , 那么平板所受压力应 如何求解呢 ?设平板边缘曲线方程为 y f(x),(a x b) ,则所求压力 F 对区间具有可加性 ,现用 微元法来求解 .在a,b 上任取一小区间 x,x dx ,其对应的小横条上各点液面深度均近似看成x,且液体对它的压力近似看成长为f(x)、宽为 dx的小矩形所受的压力 ,即压力微元为dFx f(x)dx于是所求压力Fbx f (x)d

17、x a【 例 14 】有一底面半径为1 米 ,高为2 米的圆柱形贮水桶 , 里面盛满水 . 求水对桶壁的压力.解 积分变量 x的变化区间为 0,2 ,在其上任取一小区间 x,x dx,高为 dx的小圆柱面所受压力的近似值,即压力微元为dFx21dx 2xdx于是所求压力为22 x2F2xdx24020将 9.8 103 N /m3 代入F49.8103 3.92104N【例15 】有一半径 R 3米的圆形溢水洞 ,试求水位为 3 米时作用在闸板上的压力 .解 如果水位为 3 米,积分变量 x的变化区间为 0, R ,在其上任取一小区间 x,x dx , 所对应的小窄条上所受压力近似值 ,即压力微元dW x 2ydxx 2 R2 x2 dx2 x R2 x2dx于是所求压力RF 0 2 x R2 x2dx2 2