大一下高等数学期末试题精确答案

1、11 3一 、单选题 （共 1 5分 ，每小题 3分 ）1设函数 f ( x, y ) a f ( x, y ) 在在pp ( x , y ) 的两个偏导 f ( x , y ) ， f ( x , y ) 0 0 x 0 0 y 0 0连续 b f ( x , y ) 在都存在，则 ( ) p 可微c lim f ( x, y )0x x02若 z = y ln x ，则 dz及 lim f ( x , y ) 0y y0等于（ ）都存在 dlim f ( x, y ) ( x , y ) ( x , y )0 0存在a.y ln x ln y y ln x ln y+x yb .y ln

2、x ln y xc . y ln x ln ydx +y ln x ln y xdyd .y ln x ln y y ln x ln x dx + dyx y3设 w 是圆柱面 x2 + y 2= 2 x 及平面 z = 0, z = 1所围成的区域，则f ( x, y, z ) dxdydz =(）wa.p2dq2 cosqdr1f ( r cosq,r sinq, z )dzb.p2dq2 cosqrdr1f ( r cosq,r sinq,z )dz000000c .p2dq2 cosqrdr f ( r cos q,r sin q, z )dzd .pdq2 cos xrdr1f (

3、r cosq,r sinq, z )dz-p2000004 4若a ( x -1)n n在x =-1处收敛，则此级数在x =2处（ ）n =1a 条件收敛 b 绝对收敛 c 发散 d 敛散性不能确定 5曲线 x -y +z =2 z =x 2 +y 2在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）.a. （-1，3，4） b.（3，-1，4） c. （-1，0，3） d. （3，0，-1） 二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）1设x +2 y -2 xyz =0，则z (1,1) =x.2交 换i =edxln xf ( x, y ) dy的积分次序后，i =_103设u =2 xy -

4、z2，则u在点m (2,-1,1)处的梯度为 .4. 已知5. 函数 xnex = ，则 xe-x = n !n =0z =x3 +y 3 -3 x 2 -3 y 2的极小值点是 .三、解答题（共 54 分，每小题 6-7 分）1.（本小题满分 6 分）设z =y arctany z z , 求 , .x x y2.（本小题满分 6 分）求椭球面2 x 2 +3 y 2 +z 2 =9的平行于平面2 x -3 y +2 z +1 =0的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分 7 分）求函数z =x 2 +y 2在点(1,2)处沿向量r r r l = i + j2 2方向的方向导

5、数。4. （本小题满分 7 分）将f ( x ) =1x展开成 x -3 的幂级数，并求收敛域。5（本小题满分 7 分）求由方程2 x 2 +2 y 2 +z 2 +8 yz -z +8 =0所确定的隐函数 z =z ( x, y )的极值。 (1, t ) 1 ei =dyf ( x, y ) dx rnnnn6（本小题满分 7 分）计算二重积分( x2+y2)ds, d由曲线x =- 1 -y2, y =-1, y =1 及 x =-2围成.d7.（本小题满分 7 分）利用格林公式计算xy2dy -x2ydx，其中l是圆周x2+y2=a2（按逆时针方向）.l8.（本小题满分 7 分）计算x

6、ydxdydz，其中 w 是由柱面x2+y2=1 及平面 z =1, x =0, y =0所围成且在第一卦限内的区域.w四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）1（本小题满分 8 分）设级数u , nvn都收敛，证明级数(un+v )n2收敛。2（本小题满分 8 分）设函数n =1 n =1 n =1f ( x, y ) 在 r 2 内具有一阶连续偏导数，且fx= 2 x，证明曲线积分2 xydx + f ( x, y ) dy与路径无关若对任意的t恒有l( t ,1)2 xydx + f ( x, y ) dy = 2 xydx + f ( x, y ) dy，求f ( x, y )的表达

7、式(0,0)(0,0)参考答案一、单选题（共 15 分，每小题 3 分）：1.c 2 d 3 c 4b 5 a 二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）1.-1 2. 3. -2 i +4 j -2 k0 e y三、解答题（共 54 分，每小题 6-7 分）4n =0( -1)n x n !n +15. (2,2)z y 21解： =- ; (3 分) x x 2 +y 2zy=arctany xy+x x 2 +y2( 6 分).2. 解：记切点( x , y , z ) 0 0 0则切平面的法向量为rn =2(2 x ,3 y , z )0 0 0满足：2 x 3 y z 0 = 0 =

8、 02 -3 2，切点为：(1,-1,2)或( -1,1,-2)(3 分 ) ， 切 平 面 ： 2x -3y +2z =9or -9( 4 分 ) ， 法 线 方 程 分 别 为 ：x +1 y -1 z +2 = =2 -3 2或 者x -1 y +1 z -2 = =2 -3 2( 6 分)3. 解：f (1,2) =(2,4)( 3 分),f(1,2)l=1 +2 3( 7 分)4. 解：f ( x ) =1 1 1= 3 +( x -3) 3 x -31 +( )3, ( 2 分)因为n =0( -1) n x n =11 +x，x ( -1, 1),所以1 1 1 x -3 = (

9、 -1) ( ) =3 x -3 3 31 +( ) n =0 n =0 31(-1) n ( ) n +1( x -3) 3n,其中x -3-1 1 ，即 0 x 0 。( 5 分)7在(0, -2)点，z =1，因此2z 4=x2 150，所以(0, -2)为极小值点，极小值为z =1；( 6 分)在16 8 2z 4 16 (0, ) 点， z =- ，因此 =- n时，(u +v ) 2 =u 2 +v 2 +2u v 3u n n n n n nn，因此(u +v ) n n2收敛。（8 分）2证明：因为fx= 2 x，且( 2 xy ) y= 2 x，故曲线积分ln =12 xydx + f ( x, y ) dy与路径无关（4 分）2t 1 11 t tt2 2因此设f ( x, y ) =x +g ( y )，从而( t ,1)(0,0)2xydx + f ( x, y ) dy =0dx +t2 +g ( y )dy =t 2 +g(y ) dy0 0 0，（5 分）(1, t )(0,0)2 xydx + f