2019年中考数学专题复习抛物线有关压轴题

1、抛物线有关压轴题复习一、基本模型构建常见模型思考在边长为 1 的正方形网格中有 a, b, c 三点，画出以 a,b,c 为其三个顶点的平行四边形 abcd。在射线 bd 上可以找出一点组 成三角形，可 abc bec、 cbd 为等腰三角形。二、拔高精讲精练探究点一：因动点产生的平行四边形的问题例 1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 a（-4，0），b（0，-4），c（2，0）三点（1） 求抛物线的解析式；（2） 若点 m 为第三象限内抛物线上一动点，点 m 的横坐标为 m，amb 的面积为 s求 s 关于 m 的函数关系式，并求出 s 的最大值（3）若点 p 是抛物线上的动点，点 q

2、 是直线 y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 p、q、b、o 为顶点的 四边形为平行四边形，直接写出相应的点 q 的坐标。解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a0），16a -4b +c0将 a（-4，0），b（0，-4），c（2，0）三点代入函数解析式得： c-44 a +2b +c022 1a2解得 b1 c -41，所以此函数解析式为：y= x +x4；21（2）m 点的横坐标为 m，且点 m 在这条抛物线上，m 点的坐标为：（m， m +m4），2s=saom obm aob1 1 1 14（- m2-m+4）+ 4（-m）- 44=-m2-2m+8-2

3、m-8 2 2 2 2=-m2-4m=-（m+2）2+4，-4m0，当 m=-2 时，s 有最大值为：s=-4+8=4答：m=-2 时 s 有最大值 s=4（3）设 p（x，12x2+x-4）当 ob 为边时，根据平行四边形的性质知 pqob，且 pq=ob，q 的横坐标等于 p 的横坐标，又直线的解析式为 y=-x，则 q（x，-x）由 pq=ob，得|-x-（12x2+x-4）|=4，解得 x=0，-4，-225x=0 不合题意，舍去如图，当bo 为对角线时，知 a 与 p 应该重合，op=4四边形 pbqo为平行四边形则 bq=op=4，q 横坐标为 4，代入 y=-x 得出 q 为（4

4、，-4）由此可得 q（-4，4）或（-2+2 5 ，2-2 5 ）或（-2-25，2+25）或（4，-4）【变式训练】如图，经过点 c（0，-4）的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 a（-2，0），b 两点（1） a 0，b2-4ac 0（填“”或“”）；（2） 若该抛物线关于直线 x=2 对称，求抛物线的函数表达式；（3） 在（2）的条件下，连接 ac，e 是抛物线上一动点，过点 e 作 ac 的平行线交 x 轴于点 f是否存在这样的点 e， 使得以 a，c，e，f 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点 e 的坐标；若不存在，请说 明理由解：（1）a

5、0，b2-4ac0；（2）直线 x=2 是对称轴，a（-2，0），b（6，0），点 c（0，-4），将 a，b，c 的坐标分别代入 y=ax2+bx+c，解得：a=1 4，b=- ，c=-4，3 3抛物线的函数表达式为 y=1 4x2- x-4； 3 3（3）存在，理由为：（i）假设存在点 e 使得以 a，c，e，f 为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点 c 作 cex 轴，交抛物线于点 e，过点 e 作 efac，交 x 轴于点 f，如图 1 所示，则四边形 acef 即为满足条件的平行四边形，抛物线 y=1 4x2- x-4 关于直线 x=2 对称，由抛物线的对称性可知，e 点的横坐标为

6、 4， 3 3又oc=4，e 的纵坐标为-4，存在点 e（4，-4）；（ii）假设在抛物线上还存在点 e，使得以 a，c，f，e为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点 e作 efac 交 x 轴于点 f，则四边形 acfe即为满足条件的平行四边形， ac=ef，acef，如图 2，过点 e作 egx 轴于点 g，acef，cao=efg，又coa=egf=90，ac=ef，cao e g，eg=co=4，点 e的纵坐标是 4，4=1 4x2- x-4， 3 3解得：x =2+2 7 ，x =2-2 7 ，1 2点 e的坐标为（2+2 7 ，4），同理可得点 e的坐标为（2-2 7 ，4）。【小

7、结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是解题时需要考虑各种 可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型：（1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构成平行四边形。确定 两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等；两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时， 则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题例 2: 如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 a（1，0）和点 b 与 y 轴交于点 c（0，3），抛 物线的对称轴与 x 轴交于点 d（1）

8、 求二次函数的表达式；（2） 在 y 轴上是否存在一点 p，使pbc 为等腰三角形？若存在请求出点 p 的坐标）；（3） 有一个点 m 从点 a 出发，以每秒 1 个单位的速度在 ab 上向点 b 运动，另一个点 n 从 点 d 与点 m 同时出发， 以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 m 到达点 b 时，点 m、n 同时停止运动，问点 m、n 运动到何2处时，mnb 面积最大，试求出最大面积1+b+c0解：（1）把 a（1，0）和 c（0，3）代入 y=x +bx+c， ，解得：b=-4，c=3，c3二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；（2）令 y=0，则 x2-4x+

9、3=0，解得：x=1 或 x=3，b（3，0），bc=3点 p 在 y 轴上，当pbc 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图 1，当 cp=cb 时，pc=3 2 ，op=oc+pc=3+3 2 或 op=pc-oc=3 2 -3p （0，3+312），p （0，3-322）；当 pb=pc 时，op=ob=3， p （0，-3）；当 bp=bc 时，oc=ob=3，3此时 p 与 o 重合，p （0，0）；综上所述，点 p 的坐标为：（0，3+3 2 ）或（0，3-3 2 ）或（0，-3）或（0，40）；（3）如图 2，设 am=t，由 ab=2，得 bm=2-t，则 dn=2t，smnb

10、12（2-t）2t=-t2+2t=-（t-1）2+1，即当 m（2，0）、n（2，2）或（2，-2）时mnb 面积最大，最大面积是 1。【变式训练】如图，已知二次函数 y =-x2+1134x+c 的图象与 x 轴的一个交点为 a（4，0），与 y 轴的交点为 b，过 a、b 的直线为 y =kx+b2（1）求二次函数 y 的解析式及点 b 的坐标；1（2）由图象写出满足 y y 的自变量 x 的取值范围；1 2（3）在两坐标轴上是否存在点 p，使得abp 是以 ab 为底边的等腰三角形？若存在，求出 p 的坐标；若不存在， 说明理由11212解：（1）将 a 点坐标代入 y ，得-16+13+c=0解得 c=3，113二次函数 y 的解析式为 y=-x2+ x+3，b 点坐标为（0，3）；4（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是 x0 或 x4，x0 或 x4 时，y y ；1 2（3）直线 ab 的解析式为 y=-3 3 x+3，ab 的中点为（2， ），4 24 7 7 7ab 的垂直平分线为 y= x- ，当 x=0 时，y