大学高数期末考试题与答案

1、下载可编辑第一学期高等数学期末考试试卷答案计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题7 分），1 求极限limx0xx1 cosx 23sin x解：1 cosx lim x02x3sin xlxim0lxim01 cosx xln2e2xxln lim e x0x1 cosxlxim0x1 cosx1 cosx2xln1 cosxlimx 0 1sin xcosx 2x2 设 x0 时， f解：3x由于当 x0时，3xft lim 0 x0kAxkdtlxim所以， lim1k1x 0 6Akxk 13 如果不定积分解：.专业.整理 .1 cosx xln2limxlxim01

2、cosx ln22x2与 x 是等价无穷小，23xdt 与 Axk 等价无穷小，求常数k与Akf t dt 与 Axk 等价无穷小，所以 01323 3 x2k1Akxk 1limx1因此，x21,limx3xf t dt0Axk而2x323x213 3 x2Akxk 1lim k 1 x 0 6Akx k 1lim 1 k 1x 0 6Akxk 1ax22 x 1 2 1 x2dx 中不含有对数函数，求常数a与 b应满足的条件下载可编辑2将 x ax bx 12 1 x2化为部分分式，有2x ax b2x 12 1A B Cx D ， x 1 x 1 2 1 x2因此不定积分ax b12 1

3、 x2dx 中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数2即x2 axx 12 1 x2BD2 1 x2x122B1 x D x 1 21所以，有 x2 ax b B1x212x22Dx B D 比较上式两端的系数，有 1D,2D,所以，得 b 1525 计算定积分 min 1,解：min 1,dx52 所以， min01,dx11dx0dx52x22 dx 1385 设曲线 C 的极坐标方程为 r3asin3求曲线 C 的全长解：曲线 rasin3 3一周的定义域为，即 03 因此曲线 C 的全长为r 2 r 2d32 6 2 4 2 a sin a sin cos d 0 3 3 33

4、2 asin d 033 a2.专业.整理 .下载可编辑二（本题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题 9分），6 求出函数 f xlimnsin x的所有间断点，并指出这些间断点的类型2n2x解：sinfxlim sinn1x2n2x因此 x11 是函数2x 的间断点21lim1 x2lim 01x2lim f x1x2lim12sin x 1 ，因此1 是函数 f x 的第一类可2去型间断点lim f1x2lim sin1x21， lim1x2lim 0 0 ，因此 x1x21 是函数 f x 的第一类可去型2间断点设 是函数 f x arcsin x 在区间0,b 上使用 Lagra

5、nge（拉格朗日） 中值定理中的“中值”，求极限 lim bb0解：fxarcsin x 在区间0, b 上应用Lagrange中值定理，知存在0, b ，使得arcsinbarcsin0所以， 2arcsinb因此，m0lib2m0libarcsinbb2mliarcsinb 2 b2b2 arcsinb 2令 t arcsinb ，则有.专业.整理 .下载可编辑2 m limlimlimlimli2cos2t12t211lim6 t 0cos2tt21 2 sin 2t lim6 t 0 2t1m0lib1x设 f xy2dy，f x dx 解：1f x dxxf1xfx dx1x在方程

6、f xey 2 y dy 中，令 x 1 ，得01 1 0f 1 ey 2 y dyey 2 y dy 0 001x再在方程 f x ey 2 y dy 两端对 x 求导，得 f xe1 x01 1 11因此， f x dx xf x 0 xf x dx xf x dx000111 x2 e11 e 1 1 x2 xe1 x dxx2 e xedxe002029 研究方程x2 e axa0在区间内实根的个数解：设函数 f x2x ax e1，fx 2axex2 x x ax e ax 2 x e令fx0，得函数 f x的驻点 x10,x2 2 由于 a0，所以limfx2x lim ax e1

7、，xx2x2 x2x21limfxlim ax e1 a limx1 a limx1a lim x 1xxxexexex.专业.整理 .下载可编辑因此，得函数 f x 的性态x,000, 222,fx00fx14ae 2 112 若 4ae 2 1 0，即 a e 时，函数 f x ax2e x 1在, 0 、 0, 2 、 2,4各有一个零点，即方程x2 e ax内有3 个实根点， 若 4ae 2 10 ，即 a2e时，函数 f x42xax e1在0、0,内各有一个零即方程 ex2 ax内有2 个实根 若 4ae210 ，即 a2e4 时，函数 f2ax e1在有一个零点，即方程ax2在内

8、有 1 个实根fxt2t22 xx1 x2积分，注意 f 00 ，得 f x f 0xt01dt 即fxx f x 1 ， f 0 0 试求函数 f x的极值解：在方程 fx x fx 1 中令 tx ，得 f t t f t 1 ，即fx x f x 1 10 设函数可导，且满足f x xf x x在方程组 中消去 f x ，得 xf x f x x.专业.整理 .下载可编辑fxx20x1t tt22 dt12ln1x2arctanx 由f2xx2 得函数 f1 x2的驻点x10, x21 而 f x21 2x x 所以，1 x2 2所以， f 00 是函数 f极小值；11 ln 22是函数

9、 f4极大值三应用题与证明题（本题满分 20 分，共有2 道小题，每道小题 10 分）11 求曲线 y x 的一条切线，使得该曲线与切线l 及直线 x0和 x 2所围成的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积为最小解：设切点坐标为 t,1由 y ，可知曲线 y 2tx 在 t,t 处的切线方程为因此所求旋转体的体积为12tx所以， dVdt83t212txt，或12txtdx2t3t0 得驻点 t，舍去 t2 由于3d2Vdt2163t20 ，因而函数2 处达到极小值，而且也是最小值因此所求切线方程为 y12 设函数 f x在闭区间0，1 上连续，在开区间 0，1 内可导，且ef x arctan

10、xdx 1 ，02.专业.整理 .下载可编辑证明：至少存在一点0，1 ，使得121 arctan解：因为f x 在闭区间0,1 上连续，所以由积分中值定理，知存在0, 2 ，使得fxe0arctanxdx2efarctan由于 ef0x arctan xdx1，22f所以， 2 ef arctan再由 f 10 ，得ef arctanefarctan1作函数 gfxx e arctan x ，则函数在区间0,1 上连续，在区间 , 1 内可导所以由Rolle 中值定理，存在1 0, 1使得 g0 而gxfx earctan xfxe1 x2所以存在0, 1 ，使得arctan由于 ef0 ，所

11、以 farctan10 ，即 f1 2 arctan.专业.整理 .下载可编辑一个处处像别人表明自己优秀的，恰恰证明了他（她）并不优秀，或者说缺什么，便炫耀什么。真正的优秀，并不是指一个人完美无缺，偶像般的光芒四射。而是要真实地活着，真实地爱着。对生活饱有热情，满足与一些小确幸，也要经得起诱惑，耐得住寂寞，内心始终如孩童般的纯真。要知道，你走的每一步，都是为了遇见更好的自己，都是为了不辜负所有的好年华。一个真实的人，一定也是个有担当的。不论身处何地，居于何种逆境，他（她）们都不会畏惧坎坷和暴风雨的袭击。因为知道活着的意义，就是真实的直面风浪。.专业.整理 .下载可编辑生而为人，我们可以失败，却

12、不能败的没有风骨，甚至连挑战的资格都不敢有。人当如玉，无骨不去其身。生于尘，立于世，便该有一颗宽厚仁德之心，便有一份容天下之事的气度。一个真实的人，但是又不会过于执着。因为懂得，水至清则无鱼，人至察则无徒的道理。完美主义者最大的悲哀，就是活得不真实，不知道审时度势，适可而止。一扇窗，推开是艳阳天，关闭，也要安暖向阳。不烦不忧，该来的就用心珍惜，坦然以对；要走的就随它去，无怨无悔。人活着，就是在修行，最大的乐趣，就是从痛苦中寻找快乐。以积极的状态，过好每一天，生活不完美，我们也要向美而生。一个真实的人，一定是懂爱的。时光的旅途中，大多数都是匆匆擦肩的过客。只有那么微乎其微的人，才可以相遇，结伴同行。而这样的结伴一定又是基于志趣相投，心性相近的品性。最好的爱，不是在于共富贵，而是可以共患难，就像一对翅膀，只有相互拥抱着才能飞翔。爱似琉璃，正是因为纯粹干净，不沾染俗世的美。懂爱的人，一定是真实的人。正是因为懂得真爱的不易，所以更是以真面目面对彼此，十指紧扣，甘愿与爱的人把世间各种风景都看透，无论风雨，安暖相伴。一个真实的人，定然是有着大智慧的。人生在世，什么都追求好，追求完美，虽然