数学必修二重点知识例题

1、2【 例 2 】 一 个 正 三 棱 柱 的 三 视 图 如 右 图 所 示 ， 求 这 个 正 三 棱 柱 的 表 面 积 .解 ： s =s侧1+2 s =3 4 2 +2 4 2 3 =24 +8 3( mm 底2) .【例 4】如图中，正方体 abcda b c d ，e、f 分别是 ad、 aa 的中点. （1）求直线 ab1 1 1 1 1 1和 cc 所成的角的大小；（2）求直线 ab 和 ef 所成的角的大小 .1 1解：（1）如图，连结 dc ， dc ab ， dc 和 cc 所成的锐角 cc d 就是 ab 和 cc1 1 1 1 1 1 1 1所成的角. cc d=45

2、， ab 和 cc 所成的角是 45.（2 ）如图，连结 da 、 a c ，1 1 1 1 1 1 efa d，ab dc ， a dc 是直线 ab 和 ef 所成的角. a dc 是等边三角形， 1 1 1 1 1 1 1 1 a dc =60，即直线 ab 和 ef 所成的角是 60.1 1 1【例 1】已知空间边边形 abcd 各边长与对角线都相等，求异面直线 ab 和 cd 所成的角的大 小.解：分别取 ac、 ad、bc 的中点 p、 m、n 连接 pm、 pn，由三角形的中位线性质知 pn ab，pmcd，于是 mpn 就是异面直线 ab 和 cd 成的角（如图所示）. 连结

3、mn、dn，设ab=2 ， pm=pn=1. 而 an=dn= mn= 2，3， 由 mn ad ， am=1 ， 得mn2=mp2+np2，mpn=90.异面直线 ab、cd 成 90角.【例 2 】在正方体 abcd- a b c d 中， e、 f 分别为棱 bc、 c d 的中点 . 求证： ef平面1 1 1 1 1 1bb d d.1 11证明 ：连接 ac 交 bd 于 o，连接 oe，则 oedc， oe= dc.2 dcd c ， dc=d c ， f 为 d c 的中点，1 1 1 1 1 1 oed f， oe=d f， 四边形 d feo 为平行四边形 . efd o.

4、1 1 1 1又 ef 平面 bb d d， d o 平面 bb d d， ef平面 bb d d.1 1 1 1 1 1 1【例 3 】如图，已知 e 、 f 、 g 、 m 分别是四面体的棱 ad 、 cd 、 bd 、 bc 的中a点，求证： am 平面 efg .证明 ：如右图，连结 dm ，交 gf 于 o 点，连结 oe ，e在 dbcd 中， g 、 f 分别是 bd 、 cd 中点， gf / bc ， g 为 bd 中点， o 为 md 中点，在 damd 中， e 、 o 为 ad 、 md 中点， eo / am ， 又 am 平面 efg ， eo 平面 efg ， a

5、m 平面 efg .bgmocfd点评 ：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了 . 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用 .【例 4】如图，已知 p 是平行四边形 abcd 所在平面外一点， m、n 分别是 ab、pc 的中点（1）求证：mn/平面 pad；（2）若 mn =bc =4 ， pa =4 3 的角的大小.，求异面直线 pa 与 mn 所成解：（1）取 pd 的中点 h，连接 ah，由 n 是 pc 的中点， nh /=12dc . 由 m 是 ab 的bc，on /=00y -y x -xx y1 2中点， nh / am， 即 amnh

6、为平行四边形 . mn / ah . =由 mn 平面pad, ah 平面pad ， mn / 平面pad .（2） 连接 ac 并取其中点为 o，连接 om、on， om /=1 12 2pa， 所以 onm就是异面直线 pa 与 mn 所成的角，且 mo no.由 mn =bc =4 ， pa =4 3 , 得 om=2，on= 2 3 所以 onm =300 ，即异面直线 pa 与 mn 成 30的角点评 ：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行 . 求两条异 面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角 形而得.【例 2

7、】已知棱长为 1 的正方体 abcda b c d 中，e 是 a b 的中点，求直线 ae 与平1 1 1 1 1 1面 abc d 所成的角的正弦值 .1 1解：取 cd 的中点 f，连接 ef 交平面 abc d 于 o，连 ao. 由已知正方体，易知 eo 平1 1面 abc d ， 所 以 eao 为 所 求 . 在 rt deoa 中 ， eo = 1 11 1 2 ef = a d =2 2 1 2，1 5 ae = ( ) 2 +12 =2 2， sin eao =eo 10=ae 5.所以直线 ae 与平面 abc d 所成的角的正弦值为1 1105.【例 2】如图, 在空间

8、四边形 abcd 中， ab =bc , cd =da, e , f , g 分别是 cd, da, ac 的中点，求证：平面 bef 平面 bgd .证明 ： ab =bc , g 为 ac 中点，所以 ac bg .同理可证 ac dg, ac 面 bgd.又易知 ef/ac，则 ef 面 bgd.又因为 ef 面 bef，所以平面 bef 平面 bgd . 知识要点：1. 点斜式：直线 l 2. 斜截式：直线 l过点 p ( x , y ) ,且斜率为 k，其方程为 y -y =k ( x -x ) 0 0 0 0 0的斜率为 k，在 y 轴上截距为 b，其方程为 y =kx +b .3

9、. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 l 过点 p ( x , y ) 且与 x 轴垂直,此时它的倾斜0 0 0角为 90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 x -x =0 ，或 x =x .0 0y -y4. 注 意 ： 0 =k 与 y -y =k ( x -x ) 是 不 同 的 方 程 ， 前 者 表 示 的 直 线 上 缺 少 一 点x -x0p ( x , y ) ，后者才是整条直线 .0 0 0y -y x -x1. 两点式：直线 l 经过两点 p ( x , y ), p ( x , y ) ，其方程为 1 = 11 1 1 2 2 22

10、1 2 12. 截距式：直线 l 在 x、y 轴上的截距分别为 a、b，其方程为 + =1 .a b，3. 两点式不能表示垂直 x、y 轴直线；截距式不能表示垂直 x、y 轴及过原点的直线 .x +x y +y4. 线段 p p 中点坐标公式 ( 1 2 , 1 2 )2 2.1. 一 般 式 ： ax +by +c =0， 注 意 a 、 b 不 同 时 为 0. 直 线 一 般 式 方 程ax +by +c =0 ( b 0) 直线.化为斜截式方程 y =-aaaa x - ，表示斜率为 - ，y 轴上截距为 - 的bbbb2 与 直 线 l : ax +by +c =0平 行 的 直 线

11、 ， 可 设 所 求 方 程 为 ax +by +c =0； 与 直 线ax +by +c =0 垂直的直线，可设所求方程为 bx -ay +c a( x -x ) +b ( y -y ) =0 .0 0=0. 过点 p ( x , y )0 0的直线可写为121 21 2222a+b2经过点 m ，且平行于直线 l 的直线方程是 a( x -x ) +b ( y -y ) =0 ；0 0 0经过点 m ，且垂直于直线 l 的直线方程是 b ( x -x ) -a( y -y ) =0 .0 0 03. 已 知 直 线 l , l 的 方 程 分 别 是 ： l : a x +b y +c =

12、0 （ a , b 不 同 时 为 0 ），1 2 1 1 1 1 1 1l : a x +b y +c =0 （ a , b 不同时为 0），则两条直线的位置关系可以如下判别：2 2 2 2 2 2（1） l l a a +b b =0 ； （2） l / l a b -a b =0, ac -a b 0 ；1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1（3） l 与 l 重合 a b -a b =0, ac -a b =0 ； （4） l 与 l 相交 a b -a b 0 . 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1a b c a b c如果 a b

13、 c 0 时，则 l / l 1 = 1 1 ； l 与 l 重合 1 = 1 = 1 ； l 与 l 相交a b c a b c2 2 2 2 2 2a b 1 1 .a b2 2| ax +by +c |1. 点 p ( x , y ) 到直线 l : ax +by +c =0 的距离公式为 d = 0 00 02 2【例 2 】（1）求经过点 a(3,2)且与直线 4 x +y -2 =0 平行的直线方程；（2）求经过点 b (3,0)且与直线 2 x +y -5 =0 垂直的直线方程 .解：（1）由题意得所求平行直线方程 4( x -3) +( y -2) =0 ，化为一般式 4 x

14、+y -14 =0 . （2） 由题意得所求垂直直线方程 ( x -3) -2( y -0) =0 ，化为一般式 x -2 y -3 =0 .【例 3】已知直线 l的方程为 3x+4y12=0 ，求与直线 l平行且过点（1 ，3）的直线的方程分析 ：由两直线平行，所以斜率相等且为 -34，再由点斜式求出所求直线的方程 .解 ：直线 l:3x+4y12=0 的斜率为-34， 所求直线与已知直线平行， 所求直线的斜率为3- ，4又 由 于 所 求 直 线 过 点 （ 1 ， 3 ）， 所 以 ， 所 求 直 线 的 方 程 为 ： 3x +4 y -9 =0 .3y -3 =- ( x +1) ，

15、 即 4点评 ：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜 式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式 a( x -x ) +b ( y -y ) =0 而直接写出0 0方程，即 3( x +1) +4( y -3) =0 ，再化简而得.【例 2】求经过两条直线 2 x +y -8 =0 和 x -2 y +1 =0 的交点，且平行于直线 4 x -3 y -7 =0 的 直线方程.解：设所求直线的方程为 2 x +y -8 +l( x -2 y +1) =0 ，整理为 (2 +l) x +(1 -2l) y +l-8 =0 . 平行于直线 4 x

16、 -3 y -7 =0 ， (2 +l)(-3) -(1 -2l)4 =0 ，解得 l =2 .则所求直线方程 为 4 x -3 y -6 =0【例 1】求过直线1 10l : y =- x + 和 l : 3 x -y =0 的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方程. 1 3 3解：设所求直线 l 的方程为 3 y +x -10 +l(3 x -y ) =0, 整理得 (3l+1)x +(3 -l) y -10 =0.由点到直线的距离公式可知， d =10(3l+1)2 +(3 -l)2=1, 解得l=3.代入所设，得到直线 l 的方程为 x =1或 4 x -3 y +5 =0 .【

17、例 2】在函数 y =4 x 的距离.2的图象上求一点 p，使 p 到直线 y =4 x -5 的距离最短，并求这个最短解：直线方程化为 4 x -y -5 =0. 设 p ( a,4 a2), 则点 p 到直线的距离为d =| 4 a -4 a 2 -5| 4 2 +( -1)2=| -4( a -1/ 2)172-4 |=4( a -1/ 2) 172+4. 当 a =121时，点 p ( ,1) 到直线的距离最 2145短，最短距离为4 1717.【例 1】若直线（1+a）x+y+1=0 与圆 x2 y22x0 相切，则 a的值为 .解：将圆 x2y22x0 的方程化为标准式：（x1）2y21, 其圆心为（1，0），半径为 1，由直线（1a）xy 10 与该圆相切，则圆心到直线的距离 d =|1 +a +1| (1 +a ) 2 +1=1， a1.【例 2】求直线 l : 2 x -y -2 =0 被圆 c : ( x -3)2+y 2 =9 所截得的弦长.解 ：由题意，列出方程组 4.x x =1 252 x -y -2 =0 ( x -3)2 +y 2 =9，消 y 得 5 x 2 -14 x +4 =0 ，得 x +x = ，1 2设直线 2 x -y -2 =0 与圆 ( x -3)2+y2=9 交于点 a( x , y )1 1， b ( x